Non, je vais pas faire une analyse des promesses en cette année électorale (bien que le sujet pourrait être amusant, on peut penser aux propos du candidat Newt Gingrich qui veut que la lune devienne un état américain, ici ou là). Non, en fait je voulais faire un billet sur le sujet les assureurs sont-ils vraiment des voleurs ? En effet, lorsqu’en classe on présente le fonctionnement d’un contrat d’assurance – en particulier lorsque l’on parle de tarification et de l’inversion du cycle de production, ou du provisionnement – on explique que l’assuré achète une promesse: celle de se faire indemniser les sinistres survenus pendant la période dite de couverture. Car formellement, c’est bien de cela qu’il s’agit. Sauf qu’il y a toujours quelqu’un pour faire noter que ce n’est peut-être pas aussi simple et que l’assureur, souvent, rechigne à payer.
En fait, il est parfaitement rationnel – d’un point de vue économique (on s’entend) – que l’assureur négocie. En tous les cas si l’assureur a une vision à très court terme… Et c’est ce que justifient Briegleb & Lemaire (1982), sur l’analyse du marchandage ou Lemaire (1982) (dont sera très largement inspiré ce billet).
Considérons un cas très simple: un assuré a subit une perte 
(connue, de l’assuré comme de l’assureur). Mais l’assureur refuse de payer. Et l’assuré envisage d’aller au tribunal. Afin de voir s’il s’agit d’une décision rationnelle, on suppose que l’assuré (
) avait une richesse 
avant que le sinistre ne survienne, qu’aller en justice lui coûte 
, et qu’il estime que sa probabilité de gagner le procès est 
. De son coté, la compagnie (
) d’assurance a une richesse 
, qu’aller en justice lui coute 
, et que la probabilité que la compagnie perde le procès est – selon la compagnie – 
(les 
sont alors les probabilités que l’assuré gagne son procès, mais vu des deux cotés). Au tribunal, on suppose que le juge rend un verdict du genre tout ou rien (on n’autorise pas ici de compensation plus importantes que le cout réel du sinistre, et on ne parle pas non plus de remboursement des frais d’avocat en cas de victoire du procès).
L’espérance d’utilité de l’assuré est
alors que pour la compagnie d’assurance, son espérance d’utilité est
La situation est Pareto optimale si
décroissante), alors
alors que
Aussi, une condition nécessaire pour que la situation soit Pareto-optimale est que
i.e. 
. Aller au tribunal n’est pas Pareto optimal si croit plus en ses raisons de gagner que . Si 
, il peut alors être optimal de ne pas aller au tribunal…. On ne dit pas ici qu’il faut que la compagnie indemnise (intégralement) l’assuré, mais que l’assureur et l’assuré peuvent avoir intérêt a trouver une solution amiable…
Si , il peut être intéressant d’aller au tribunal… mais pas forcément… Du point de vue de l’assureur, on peut supposer que sa richesse lui permet de ne pas être risquophobe, ou au moins d’être risque neutre (face a cette assuré au moins). Elle est donc indifférente entre aller au tribunal (et avoir un rendement incertain) et verser un règlement amiable si le versement correspond à son espérance de perte si elle va au procès. Autrement dit 
. L’assuré acceptera cette somme si l’utilité qu’il en tire est plus grande que l’espérance d’utilité qu’il aura en allant au tribunal,
La différence entre le terme de gauche et le terme de droite est une fonction 
. Si l’agent a une utilité exponentielle
alors
doit être une fonction positive. Un calcul rapide de dérivées montre que cette fonction est convexe, avec un minimum atteint en
Moralité ?
- pour les petits et pour les gros sinistres, il est normal que l’assureur et l’assuré cherchent une solution amiable (transaction)
- en revanche, pour les sinistres de cout intermédiaire, il peut être légitime d’aller au tribunal (procès).
Maintenant, si on a les grandes directions… peut-être peut-on essayer de mieux comprendre quelle serait le montant de la transaction dans le cas ou une solution amiable est envisagée. Nash (1950) a envisagé un jeu non-coopératif afin de décrire le marchandage. La transaction optimale est la quantité 
qui maximise le produit des deux gains d’utilité (cf Nash (1950) ou Roth (1979))
La condition du premier ordre donne l’équation suivante
Si on fait un peu de calcul numérique, on note que la solution 
est décroissante en 
: plus l’assuré est risquophobe, plus faible sera la montant de la transaction…. Ce qui n’est pas surprenant, on retrouve ici un résultat noté dans Peeters (1981), Roth (1982) ou ecnore Osbourne (1985). Maintenant, sur le modèle théorique on pourrait bien entendu argumenter que le tribunal fonctionne selon une règle trop simple du tout ou rien, et qu’un procès peut couter beaucoup cher que le simple remboursement du cout du sinistre. Ou qu’il pourrait créer une jurisprudence. On pourrait aussi regarder économétriquement le lien entre le cout des sinistres et les montants des ententes amiables (c’est ce que fait Ayusoa, Bermúdezb & Santolinoc (2012)) mais c’est une autre histoire…. ou ça pourrait être le sujet pour une autre histoire… à suivre donc.
Petit souvenir de vacances, avant la rentrée… lorsque nous sommes arrivés à la campagne, j’ai eu le réflexe (que je croyais avoir perdu depuis que j’ai quitté Paris) de fermer à clé les portes de la voiture après avoir vidé le coffre. Et comme toujours, les réflexions n’ont pas tardé, avec un classique “eh, ici c’est pas la ville ! tu peux laisser ta voiture ouverte !“. Ne souhaitant froisser mon hôte, j’ai laissé la voiture ouverte, mais je me suis promis que je poserais la question à Laurent Mucchielli (
