(avec le sous-titre “De l’actuariat contemplatif à l’actuariat prédictif“)

En mars 2024, Gavin Schmidt, directeur du Goddard Institute for Space Studies de la NASA, publiait dans Nature un texte au titre inhabituellement inquiet : Climate models can’t explain 2023’s huge heat anomaly — we could be in uncharted territory. L’année 2023 avait surpris les climatologues. Plusieurs facteurs connus permettaient d’expliquer une partie de l’anomalie observée, mais pas toute. L’expression uncharted territory, « territoire inconnu », avait marqué la communauté scientiqieu. Un peu plus de deux ans plus tard, le point le plus intéressant n’est peut-être plus de savoir ce qui, exactement, rendait 2023 singulière (la même question se posera probablement pour 2026). La question soulevée par Gavin Schmidt est plus générale : que signifie « prévoir » lorsque le système que l’on cherche à prévoir est lui-même en train de changer ?

Elle devrait être familière aux actuaires. Leur métier consiste précisément à parler de choses qui ne se sont pas encore produites. Une prime est fixée aujourd’hui pour couvrir les sinistres de demain. Des provisions sont constituées pour des paiements futurs. Les engagements d’un assureur-vie peuvent s’étendre sur plusieurs décennies. Quant aux catastrophes naturelles, les événements dont il faut évaluer le coût sont précisément ceux que l’on observe rarement. Et pourtant, une grande partie de l’actuariat traditionnel a peut-être été moins prédictive qu’on aime à le penser. Elle a été principalement « contemplative », au sens où on observe très attentivement le passé, on en mesure les régularités, puis on considère que celles-ci resteront suffisamment stables pour éclairer l’avenir. Cette stratégie a remarquablement fonctionné jusqu’à présent. Mais elle repose sur une hypothèse forte, et probablement révolue : demain doit suffisamment ressembler à hier.

Transformer l’incertitude en risque

Il y a plus d’un siècle, Frank Knight proposait une distinction devenue classique entre risque et incertitude. Dans le premier cas, la distribution des résultats d’un ensemble de situations comparables peut être connue, par le calcul ou par l’observation. Dans le second, cette distribution n’est pas disponible, notamment parce que la situation est trop singulière pour être rangée dans une classe d’expériences homogènes. On le sait, pour l’assurance, cette distinction est fondamentale. On ne sait pas qui aura un accident de voiture l’année prochaine, mais, sur plusieurs centaines de milliers d’assurés, on peut estimer relativement bien combien d’accidents se produiront. On ne sait pas à quel âge mourra une personne donnée, mais une table de mortalité décrit avec une remarquable régularité la mortalité d’une grande population.

L’assurance réalise ainsi une opération extraordinaire, puisqu’elle transforme l’incertitude individuelle en risque collectif. Frank Knight l’avait parfaitement compris. Lorsque la probabilité est mesurable, explique-t-il, le regroupement d’un grand nombre de situations permet de réduire l’incertitude. C’est précisément ce que réalise l’assurance. Mais ce mécanisme suppose que les cas regroupés soient suffisamment comparables. Si la situation est nouvelle, la difficulté n’est plus seulement que nous manquons d’observations. Nous ne savons plus exactement quelles observations constituent la bonne population de référence.

C’est le problème lorsque l’on cherche à estimer les incendies futurs dans une région dont le climat change, la sinistralité d’un parc automobile largement électrique ou la mortalité future d’une population qui bénéficiera de traitements aujourd’hui inexistants. De quelles expériences passées ces situations futures sont-elles réellement des répétitions ? L’actuariat s’est construit sur la possibilité de constituer des classes homogènes, et surtout stables. Une partie de son problème contemporain vient de ce que ces classes peuvent elles-mêmes devenir instables.

Rebus sic stantibus

Emil Gumbel avait formulé cette difficulté dès la première page de Statistics of Extremes, publié en 1958, qui a posé les fondements statistiques des techniques utilisées au quotidien par les actuaires, en particulier en réassurance. Pour utiliser les extrêmes observés afin de prévoir les extrêmes futurs, il faut supposer rebus sic stantibus, « les choses demeurant en l’état ». La distribution dont sont issus les événements et ses paramètres doivent rester constants dans le temps, ou bien l’effet du temps doit être explicitement pris en compte. Il ajoutait aussitôt que cette hypothèse, pourtant commune au travail statistique, n’est pratiquement jamais exactement réalisée. Une crue dite « centennale » possède une interprétation immédiate si la probabilité annuelle de dépassement reste constante. Que signifie en revanche une « période de retour » de cent ans si cette probabilité change d’année en année ?

Le même problème existe pour le calcul des provisions pour sinistres à payer. L’approche chain-ladder utilise les cadences des développements passés des sinistres pour prolonger le triangle vers le futur. Son principe même repose sur l’idée que les profils historiques de développement renseignent sur les profils à venir. Taylor soulignait déjà dans les années 1970 que les influences exogènes ne devaient pas trop perturber cette stationnarité. En mortalité, les actuaires ont rencontré cette difficulté encore plus tôt. Une table décrivant les décès observés à une période donnée devient insuffisante si la mortalité s’améliore durablement. Il faut alors passer d’une table statique à une table prospective : il ne suffit plus d’estimer la mortalité présente, il faut modéliser son évolution future. C’est exactement ce qu’ont proposé les modèles de type Lee-Carter, au début des années 1990.

Aucune de ces méthodes n’est naïve. Toute statistique suppose une certaine permanence. Si absolument tout changeait continuellement, aucune expérience ne pourrait nous apprendre quoi que ce soit. Ce qui devient plus difficile aujourd’hui est de laisser cette permanence implicite. Le climat en fournit un exemple assez clair, mais il n’est pas seul en cause. Technologies, médecine, mobilité, urbanisation, droit, coûts de réparation ou comportements changent également. L’assureur n’est donc pas seulement confronté à des événements aléatoires. Le cadre dans lequel ces événements se produisent évolue lui aussi.

Prédire sans vraiment prévoir

Le paradoxe est que jamais nous n’avons autant parlé de modèles « prédictifs ». Le machine learning est largement organisé autour de cette idée. On entraîne un modèle sur certaines observations et on mesure ses performances sur d’autres qu’il n’a pas utilisées. Galit Shmueli avait justement insisté sur la nécessité de distinguer « expliquer » et « prédire ». Comme nous l’expliquions avec Rodophe Bigot en 2020, un modèle destiné à comprendre un phénomène et un modèle destiné à produire de bonnes prédictions ne répondent pas au même objectif. La performance prédictive doit notamment être évaluée sur des observations qui n’ont pas servi à l’estimation. Pour l’actuaire, une deuxième distinction s’impose. Prédire une nouvelle observation n’est pas nécessairement prévoir l’avenir.

Prenons une base de contrats automobiles couvrant les années 2020 à 2025. On peut en utiliser une partie pour entraîner un algorithme et conserver le reste pour mesurer sa performance. Une validation croisée permettra de répéter l’exercice. Un excellent résultat démontrera que le modèle sait prédire des contrats qu’il n’avait jamais vus. Mais ceux-ci appartiennent au même environnement que les données utilisées pour l’apprentissage. C’est l’idée de « généralisation », pierre centrale de l’apprentissage automatique. Mais que nous dit cette validation sur la performance du modèle en 2030 si, entre-temps, le parc automobile, les comportements de mobilité ou le coût des réparations ont changé ? Beaucoup moins. Nous pensions tester notre capacité à prévoir demain. Nous testions surtout notre capacité à prédire une autre observation issue du même régime statistique.

La littérature sur le dataset shift a formalisé précisément ce problème. Les méthodes usuelles de machine learning supposent généralement que les données d’apprentissage et les données sur lesquelles le modèle sera utilisé suivent la même distribution. Or, dans le monde réel, les conditions d’utilisation diffèrent souvent des conditions dans lesquelles le modèle a été construit. Le cas le plus simple est le covariate shift. La population change, mais la relation entre les caractéristiques observées et le risque reste stable. Des méthodes de repondération permettent alors de donner davantage de poids aux observations passées qui ressemblent à la population future.

Mais cette solution suppose précisément que le mécanisme sous-jacent n’ait pas changé. Repondérer les incendies anciens ne suffit pas si leur propagation se transforme. Repondérer les accidents anciens ne suffit pas si la technologie des véhicules en modifie les conséquences. Et la littérature technique souligne elle-même que la validation croisée ordinaire peut devenir biaisée lorsque les distributions d’apprentissage et d’utilisation diffèrent. Le problème n’est donc plus simplement statistique. Il faut déterminer ce qui peut raisonnablement être transposé du passé vers l’avenir.

Quand le futur ne peut pas être validé

Les sciences du climat offrent ici un parallèle particulièrement éclairant. À court terme, la prévision météorologique annonce la température de la semaine suivante, puis on observe ce qui s’est passé. Les erreurs peuvent être rapidement mesurées et les modèles améliorés. Mais à long terme, pour le climat de 2070, cette boucle n’existe pas. David Stainforth et ses coauteurs soulignaient dès 2007 qu’à ces horizons, le problème est fondamentalement un problème d’extrapolation. Les modèles simulent des états du système que nous n’avons jamais observés. Leur capacité à reproduire le passé est nécessaire pour inspirer confiance, mais elle ne suffit pas à les calibrer pour un régime futur différent.

Une distinction devient alors essentielle. Il y a ce que nous ignorons dans un modèle, par exemple la valeur exacte d’un paramètre. Et il y a ce que nous ignorons sur le modèle : certains mécanismes peuvent manquer, certaines interactions être imparfaitement représentées, certaines échelles mal décrites. C’est ce que Stainforth et ses coauteurs appellent notamment l’inadequacy du modèle. Cette forme d’incertitude devient particulièrement importante précisément lorsque l’on extrapole vers des situations nouvelles.

Elle modifie aussi le statut des probabilités produites par les modèles. Une distribution obtenue à partir d’un ensemble de simulations n’est pas automatiquement une distribution de probabilités des états futurs du monde. Stainforth et ses coauteurs sont très explicites sur ce point : la fréquence des résultats au sein d’un ensemble de modèles peut être utile pour comprendre les modèles, sans représenter pour autant la probabilité du comportement réel du climat. La leçon est directement actuarielle, au sens où estimer une probabilité n’est pas exactement la même chose que connaître une probabilité. Un quantile à 99,5%, une perte bicentennale ou une distribution prédictive peuvent donner une impression de précision considérable, avec plusieurs chiffres après la virgule. Cette précision est parfaitement légitime lorsqu’elle quantifie une incertitude statistique bien identifiée. Elle l’est moins si elle fait oublier l’incertitude sur le mécanisme qui a permis de produire le chiffre. Reconnaître cette limite ne conduit pas à abandonner les modèles. Cela oblige à préciser ce que leurs nombres signifient.

Faut-il vraiment mieux prévoir pour mieux décider ?

Reste une question embarrassante : comment décider si nous ne savons pas prévoir avec suffisamment de précision ? Suraje Dessai, Mike Hulme, Robert Lempert et Roger Pielke posaient en 2009 une question volontairement provocatrice : Do We Need Better Predictions to Adapt to a Changing Climate? Leur cible était une logique qu’ils qualifiaient de predict-then-act : produire d’abord la meilleure prévision possible du futur, puis choisir l’action optimale compte tenu de cette prévision. Cette démarche fonctionne lorsque l’incertitude peut être suffisamment réduite. Elle devient plus fragile lorsqu’une décision doit être prise avant que l’incertitude soit résolue, ou lorsque certaines incertitudes sont irréductibles.

Suraje Dessai et ses coauteurs proposent alors de renverser la question. Au lieu de demander quelle décision serait optimale si notre prévision est correcte, on examine les performances de plusieurs décisions dans une gamme de futurs plausibles. Une stratégie est robuste si elle demeure satisfaisante sous des hypothèses sensiblement différentes. Robert Lempert, Steven Popper et Steven Bankes poussent cette logique plus loin dans leurs travaux sur la décision sous incertitude profonde. Celle-ci apparaît lorsque l’on ne connaît pas, ou que l’on ne parvient pas à s’accorder sur le bon modèle du système, les distributions de probabilité pertinentes, voire la manière d’évaluer certains résultats. La réponse n’est alors plus nécessairement de rechercher la solution optimale pour un futur privilégié, mais une stratégie qui résiste à plusieurs futurs et qui puisse évoluer à mesure que de nouvelles informations deviennent disponibles.

Cette idée est désormais suffisamment installée pour que le dernier rapport du GIEC consacre explicitement une place aux méthodes de décision robuste sous incertitude profonde : poser des questions de type « que se passerait-il si ? », conserver de la flexibilité et rechercher des politiques qui fonctionnent dans des futurs différents. Pour les actuaires, le déplacement n’est finalement pas si exotique. Il ressemble beaucoup à un stress test. Au lieu de demander seulement « quel est mon meilleur modèle du risque ? », on peut demander « quelles modifications plausibles du monde rendraient ma décision actuelle mauvaise ?

Des probabilités aux storylines

Les storylines développées en sciences du climat offrent une façon concrète de répondre à cette deuxième question. Theodore Shepherd et ses coauteurs définissent une storyline comme un déroulement cohérent et physiquement plausible d’événements passés ou futurs. Il ne s’agit pas nécessairement de lui attribuer une probabilité. L’objectif est d’étudier les mécanismes susceptibles de produire une situation et les conséquences qui en découleraient. Pour l’assurance, le raisonnement est très naturel.

On peut partir d’une catastrophe historique et demander ce que produirait aujourd’hui un événement analogue dans un climat plus chaud, sur un territoire davantage urbanisé et avec des valeurs assurées plus importantes. On peut aussi partir d’un portefeuille et rechercher les combinaisons d’événements susceptibles de le mettre en difficulté. Les storylines se prêtent notamment aux risques composés : sécheresse et chaleur, vent et fortes précipitations, crue et surcote. Aucun phénomène pris isolément ne doit nécessairement être exceptionnel pour que leur combinaison produise des conséquences extrêmes. Elles permettent ainsi de partir d’une vulnérabilité pour construire un stress test cohérent.

La démarche est même décrite comme un passage possible de la prédiction à l’exploration. Aux Pays-Bas, par exemple, l’adaptation à l’élévation du niveau marin s’appuie sur des scénarios susceptibles d’être révisés à mesure que les connaissances changent. Il ne s’agit donc pas de remplacer les probabilités par des histoires. Il s’agit de ne pas demander aux probabilités davantage qu’elles ne peuvent fournir. À la question classique, « quelle est la probabilité de cet événement ? », s’en ajoute une autre « que faisons-nous s’il se produit ? »

Un actuariat réellement prédictif

L’actuariat ne doit évidemment pas cesser de regarder le passé. Il reste sa principale source d’information, et l’assurance repose toujours sur la capacité à faire apparaître des régularités collectives derrière l’incertitude individuelle. Mais il faut peut-être distinguer trois opérations.

• Décrire consiste à identifier les régularités du passé.
• Prédire consiste à appliquer ces régularités à une nouvelle observation issue d’un environnement comparable.
• Prévoir consiste à se demander ce qu’elles deviennent lorsque cet environnement change.

C’est cette troisième ambition qui prend aujourd’hui une importance croissante. Elle oblige à expliciter ce qui, dans nos modèles, est supposé rester stable. Elle demande parfois de compléter les corrélations historiques par une compréhension des mécanismes. Elle conduit à tester les modèles dans des scénarios où leurs hypothèses cessent d’être vraies. Et elle invite à rechercher non seulement des décisions optimales dans un scénario central, mais des décisions suffisamment robustes dans plusieurs futurs plausibles.

La distinction proposée il y a un siècle par Frank Knight retrouve alors une actualité presque inattendue. Le défi contemporain n’est pas de renoncer à cette opération visant à transformer l’incertitude en risque. Il est d’identifier les situations dans lesquelles elle devient plus difficile, parce que les sinistres futurs seront produits dans des conditions différentes de celles qui ont produit nos données.

Pendant longtemps, l’actuaire a pu traiter le futur, au moins approximativement, comme un nouvel échantillon du passé. Il lui faut désormais apprendre à faire quelque chose de plus difficile : utiliser le passé pour penser un avenir qui ne lui ressemblera pas nécessairement. Le « territoire inconnu » évoqué par Gavin Schmidt n’annonce donc pas la fin de la prévision actuarielle. Il pourrait au contraire marquer le moment où elle commence vraiment.

Références

Rodolphe Bigot et Arthur Charpentier (2020). « Quelle responsabilité pour les algorithmes ? » Risques, 122, 113-119.

Suraje Dessai, Mike Hulme, Robert Lempert et Roger Pielke Jr. (2009), « Do We Need Better Predictions to Adapt to a Changing Climate? », Eos, 90(13), 111-112.

Emil J. Gumbel (1958), Statistics of Extremes, Columbia University Press.

Frank H. Knight (1921), Risk, Uncertainty and Profit, Houghton Mifflin.

Robert J. Lempert, Steven W. Popper et Steven C. Bankes (2003), Shaping the Next One Hundred Years: New Methods for Quantitative, Long-Term Policy Analysis, RAND.

Vincent A. W. J. Marchau, Warren E. Walker, Pieter J. T. M. Bloemen et Steven W. Popper (dir.) (2019), Decision Making under Deep Uncertainty: From Theory to Practice, Springer.

Joaquin Quiñonero-Candela, Masashi Sugiyama, Anton Schwaighofer et Neil D. Lawrence (dir.) (2009), Dataset Shift in Machine Learning, MIT Press.

Gavin Schmidt (2024), « Climate models can’t explain 2023’s huge heat anomaly — we could be in uncharted territory », Nature, 627, 467.

Theodore G. Shepherd et al. (2018), « Storylines: an alternative approach to representing uncertainty in physical aspects of climate change », Climatic Change, 151, 555-571.

Galit Shmueli (2010), « To Explain or to Predict? », Statistical Science, 25(3), 289-310.

David A. Stainforth, Myles R. Allen, Emily R. Tredger et Leonard A. Smith (2007), « Confidence, Uncertainty and Decision-Support Relevance in Climate Predictions », Philosophical Transactions of the Royal Society A, 365, 2145-2161.

GIEC (2022), « Decision-Making Options for Managing Risk », chap. 17 de Climate Change 2022: Impacts, Adaptation and Vulnerability