Allez, un petit billet léger pour bien commencer les vacances de Noël. Toujours sur le projet R de la formation en Data Science pour l’Actuariat, Cyril Legrand a proposé de fusionner deux bases, une sur le revenu moyen par foyer (fiscal) par commune, et une sur le nom de licenciés dans les clubs sportifs. Il est faire un peu de retraitement des codes INSEE pour la jointure, car par exemple Marseille est codée sur les arrondissements dans une des bases, sur la ville dans l’autre.
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Pourquoi frapper aussi fort la balle au service ?
Au tennis, il n’est pas rare de voir les joueurs servir très fort sur leur première balle, puis de se calmer sur la seconde. Est-ce pour se reposer un peu après le premier effort ou bien y-a-t-il une réelle logique derrière ?
Modélisons un peu tout ça (en reprenant une modélisation présentée par David Gale en 1971). Un joueur a un ensemble 
de services possibles. A son premier service, il choisit le service 
. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note 
la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera 
. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,
- un service puissant a peu de chance de passer (
petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée ( grand) - un service faible a de grandes chances de passer ( grand), mais la balle sera alors facile pour l’adversaire, et la probabilité de gagner le point sera faible ( petit)
A un service 
donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors 
.
Supposons que soit “ordonné” au sens où peut être supposée strictement croissante.
Compte tenu de la remarque que nous avions faite initialement, il n’est pas absurde de supposer que la fonction
soit à valeur dans 
, avec une fonction croissante pour 
, puis décroissante pour 
.
Le joueur cherche à maximiser sa probabilité de gagner le point.
Mais au tennis, si le premier service ne passe pas, le serveur a le droit a une deuxième chance. Le serveur choisi alors en réalité un couple 
correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie 
donnée, est alors
On peut noter que la stratégie optimale pour la seconde balle est indépendante de ce qui a été fait pour la première. En effet, si on cherche à résoudre, à 
donné
la condition du premier ordre est
i.e
Autrement dit, le second service doit être celui qui maximise sa probabilité de gagner le point, i.e. 
.
Mais si on sait qu’il est optimal de jouer , dans ce cas, pour le premier service, le joueur cherche à résoudre
dont la condition du premier ordre est
i.e.
Le point s_1 qui vérifie cette condition peut se visualiser sur la figure ci-dessous, car 
s’interprète comme 
, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente 
, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),
Autrement dit, il est optimal de servir plus fort la première fois que la seconde… Comme quoi finalement tout peut se démontrer avec un joli modèle…
Tennis and risk management
As mentioned already here, while we were going to Québec City for the workshop, we had interesting discussions in the car, and Maciej mentioned an article recently published in The Actuary,
Hence, I wanted to discuss (extremely) rare event probabilities in tennis. The story is simple: in June 2010, at Wimbledon, Nicolas Mahut and John Isner have played the longest match ever. 980 points, 11 But first of all, we need a dataset. Thanks to Duncan Murdoch, I have been able to run a short code to build up a dataset:
CITIES=c("berlin","madrid","paris","rolandgarros","wimbledon","sydney",
"beijing","shanghai","singapore","tokyo","melbourne","melbourne-indoor")
YEARS=1970:2009
BASE0=data.frame(YEAR=NA,TRNMT=NA,LENGTH=NA,SETS=NA)
for(i in 1:length(CITIES)){
for(j in 1:length(YEARS)){
city=CITIES[i]
year=YEARS[j]
localization = paste("http://www.resultsfromtennis.com/",
year,"/atp/",city,".html",sep="")
essai = try(readLines(localization), silent=TRUE)
ERROR404=FALSE
if(inherits(essai, "try-error")){ERROR404=TRUE}
if(ERROR404==FALSE){
B=scan(localization,"character")
SETS=NA
LENGTH=NA
if(length(B)>270){
I=(substr(B,1,10)=="class=rez>")
sum(I)
X0=B[I]
X3=as.numeric(substr(X0,11,13))
X2=as.numeric(substr(X0,11,12))
X1=as.numeric(substr(X0,11,11))
X0=X3
X0[is.na(X3)==TRUE]=X2[is.na(X3)==TRUE]
X0[is.na(X2)==TRUE]=X1[is.na(X2)==TRUE]
JL=c(which(substr(B,1,9)=="class=nl>"),length(B))
IL=which(substr(B,1,10)=="class=rez>")
IC=cut(IL,JL)
base=data.frame(IC,X0)
LENGTH=as.numeric(tapply(X0,IC,sum))
SETS=as.numeric(tapply(X0,IC,length))/2}
BASE=data.frame(YEAR=year,TRNMT=city,LENGTH,SETS)
BASE0=rbind(BASE0,BASE)}}}
write.table(BASE0,"BASE-TENNIS-TOTAL.txt")
Here I consider only tournaments where players have to win 3 sets (and actually more tournaments than those in the code above), and I have something like a bit more than 72,000 matches,
> I=is.na(TENNIS$LENGTH)==FALSE
> BT=TENNIS[I,]
> nrow(BT)
[1] 72754
> maxr=function(x){max(x,na.rm=TRUE)}
> T=paste(BT$TRNMT,BT$YEAR)
> DUREE=tapply(BT$SETS,T,maxr)
> LISTE=names(DUREE[DUREE>3])
> BT=BT[T%in%LISTE,]
so, if we look briefly at matches over 35 years, we have the following boxplot (one boxplot per year),
The red line being the epic Isner-Mahut match in June 2010 (4-6, 6-3, 7-6, 6-7, 70-68, i.e. 183 games, here for the score card).
If we study theory (e.g. from Paul Newton and Kamran Aslam), a lot of results can be obtained for the expected value of the number of games, but if we want to study extremely rare events, we should generate Markov chains (with a lot of generation since the probability should be extremely small). But how many ? Consider below matches with more than 50 games,
The tail plot (over 50), i.e. the log-log Pareto plot indicates that it will be difficult to study tails,
and similarly with the Hill plot (assuming that tails are Pareto type….)
Anyway, if we want to study tails, we should consider a threshold high enough. For instance, with a threshold at 68 (we keep only 24 match), we have
> seuil=68+0.25 > GPD1=gpd(X,seuil,method = "ml") > GPD2=gpd(X,seuil,method = "pwm") > > xi=GPD1$par.ests[1] > mu=seuil > beta=GPD1$par.ests[2] > x=180 > P=exp((-1/xi)*log(1 + (xi * (x - mu))/beta)) > as.numeric((1-GPD1$p.less.thresh)*P) [1] 5.621281e-09 > > xi=GPD2$par.ests[1] > mu=seuil > beta=GPD2$par.ests[2] > x=180 > P=exp((-1/xi)*log(1 + (xi * (x - mu))/beta)) > as.numeric((1-GPD2$p.less.thresh)*P) [1] 3.027095e-09
I.e. the probability that one match last more than 183 games is 1 chance over a billion… With, say, 2500 match per year, that gives us a return period of 400 years. So yes, we might say that this way a rare event… So perhaps, generating several billions of chains, it should be possible to get a more precise estimation of the probability to play 183 games in a single match…