
Mercredi, pour le dernier cours, nous allons revenir sur l’estimation, les tests, et plus généralement sur la modélisation statistique. Pour cela, j’avais pensé travailler sur les nombres de buts marqués, par match, lors de différentes coupes du monde de soccer (1982, 1998 et 2010). Je ne mets pas l’intégralité du code aujourd’hui, l’idée est pour l’instant de mettre en ligne des données qui serviront à répondre aux questions qui seront posées mercredi. Le code (accompagné – éventuellement – d’explications théoriques) sera posté par la suite.
soccer1982=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1982") S82=(soccer1982$V1+soccer1982$V2) soccer1998=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1998") S98=(soccer1998$V1+soccer1998$V2) soccer2010=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer2010") S10=(soccer2010$V1+soccer2010$V3)
Les boxplot associés à ces trois échantillons sont les suivants,

On va se poser des questions autour de ces données, par exemple voir s’il est vraisemblance (ou pas) que le nombre moyen de but dans un match (avant prolongation, s’il y en a eu). On peut commencé par essayer de se demander quel modèle utiliser. Classiquement, la loi de Poisson est la plus utilisée (en plus, c’est la seule loi qui est autorisée lorsqu’on publie un billet le 1er avril). Les histogrammes sont les suivants
boxplot(S82,S98,S10,col=c("red","yellow","blue"), label=("1982","1998","2010")) hist(S82,breaks=0:11,col="red") hist(S98,breaks=0:11,col="yellow") hist(S10,breaks=0:11,col="blue")
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Si on compare les fonctions de répartition empiriques à celles de lois de Poisson ajustées par maximum de vraisemblance, on obtient, pour la coupe du monde de 1982

et pour celle de 2010,

Visuellement, l’ajustement semble relativement bon, surtout en 2010. On peut aussi faire un test du chi-deux,
> library(vcd) > (GF=goodfit(S10,type="poisson")) Observed and fitted values for poisson distribution with parameters estimated by ML count observed fitted 0 7 6.6409703 1 17 15.0459484 2 13 17.0442384 3 14 12.8719508 4 7 7.2907534 5 5 3.3036226 6 0 1.2474617 7 1 0.4037543 > summary(GF) Goodness-of-fit test for poisson distribution X^2 df P(> X^2) Likelihood Ratio 5.586765 5 0.3485255
On voit que l’on accepte l’ajustement par une loi de Poisson. Pour ceux qui veulent une visualisation, sur la figure ci-dessous, on a la densité d’une loi du chi-deux. Le premier trait vertical est la valeur observée, et l’aire jaune est alors la p-value (qui excède largement 5%). En rouge on a 5%, donc le second trait vertical est la borne de la région critique associé au test pour une erreur de première espèce valant 5%,

On peut ensuite faire plein de tests. On suppose que . On va pouvoir tester

contre une hypothèse alternative

Comme on a une hypothèse sur la loi des observations qui semble robuste, on peut utiliser un test de type rapport de vraisemblance.
On peut aussi faire un test de la forme

contre

(histoire de tester des hypothèses simples – qui ont une interprétation). Sinon, comme ce qui nous intéresse, c’est de savoir si on a plus de trois buts par matchs, on peut définir la variable binomiale
, en notant que

est une proportion – donc facile à tester – qui nous intéresse ici compte tenu du problème que l’on cherchera à résoudre. On pourra alors tester, par exemple

contre

Ces derniers tests sont alors facile à mettre en œuvre,
> Z=(S10>=3)*1 > prop.test(sum(Z),length(Z),p=1/2,alternative="less") 1-sample proportions test with continuity correction data: sum(Z) out of length(Z), null probability 1/2 X-squared = 1.2656, df = 1, p-value = 0.1303 alternative hypothesis: true p is less than 0.5 95 percent confidence interval: 0.0000000 0.5322764 sample estimates: p 0.421875
On peut aussi faire des tests de moyenne sur

Un test de l’hypothèse

contre une hypothèse alternative








, et on cherchait à tester une hypothèse de la forme





, on va utiliser un test sur une loi multinomiale, avec


.

le nombre de points tombés dans un ensemble
(ou
désigne la région globale). Si on suppose qu’un nombre aléatoire
de points sont lancés aléatoirement dans
, alors 
(de même taille, éventuellement – afin de garder toutes les observations – formant une partition de 



En cours, nous avons poursuivi sur la loi multinomiale, et le test du chi-deux. Je voulais mettre un petit billet pour récapituler les différents points, et montrer une application numérique (nous reviendrons en détails mercredi sur des applications des outils vus jusqu’à présent).
peut prendre
modalités, notées
, avec
. On posera
appartient au simplexe de
au sens où



). Mais plus généralement, on finira les calculs permettant d’établir que, pour 

).

avec
et pour
.
est
.
est une matrice de projection si elle est idempotente, i.e.
. Ses valeurs propres sont alors 0 ou 1, et si
est le nombre de fois où 1 est valeur propre, et si
, alors
.
. Alors

(qui est aussi le nombre de fois où 1 est valeur propre). Donc


de dimension
. Posons
, pour
le rang de
, en supposant que les 
pour
sont des variables indépendantes.
pouvant prendre toutes les deux deux modalités (disons deux lois binomiales). On est alors face a une loi multinomiale à 4 modalités
avec probabilité 
avec probabilité 
avec probabilité 
avec probabilité 




et
. tels que
et
. On a alors
contraintes sur les paramètres. Ces deux contraintes additionnelles font que la statistique de test s’écrit
i.e.
d’après le théorème de Cochrane.
contre
dans un modèle Gaussien,
, la région d’acceptation (de niveau
) sera de la forme

soit acceptée avec un niveau 
, l’intervalle de confiance pour
est


pour
appartient à 

(contre l’hypothèse bilatérale
).


-value en cours (avant de parler tout à l’heure de tests asymptotiques). Intuitivement, la
est vraie.
et on cherche à tester
. On dispose pour cela d’un échantillon
.
telle que plus
est grande, plus on s’éloigne de 
. Si
, on va construire une région de rejet de la forme
est choisi en fonction d’une probabilité d’erreur de première espèce souhaitée a priori, i.e.
. On dispose de
observations pour tester
. L’échantillon est le suivant

, la région critique s’obtient à l’aide du rapport de vraisemblance



. Ici,
, la puissance est la probabilité de rejeter
sous l’hypothèse où
est vraie (rejeter
.
, on définit alors une fonction puissance pour toute valeur
lorsque H_1 est une hypothèse de la forme
.
.
. Ce qui n’a pas de sens si l’on s’en tient au formalisme énoncé en cours:
, correspondant à la puissance du test (cf la discussion dans le paragraphe précédant).
: si
on accepte
: si
on rejette 
2 would be obtained by chance only 8.9 times in a hundred, from a series of values in random order. There is thus some reason to suspect that the distribution of rainfall in successive years is not wholly fortuitous, but that some slowly changing cause is liable to affect in the same direction the rainfall of a number of consecutive years.”
, un estimateur naturel pour le paramètre était
. On appelle cette méthode la méthode des moments. Mais il est possible, que, plus généralement
, et on pourrait considérer comme estimateur naturel





On va supposer que l’on peut ajuster une loi de Pareto, dont la fonction de survie est donnée par










is the maximum of n random variables i.i.d. uniformly distributed on the unit interval
. I gave a hint last week about the cumulative distribution function for the maximum, i.e.
,



is a random variable with finite variance, then







as
. Here, it is then possible to get
, then
(see the prof of the central limit theorem we got a few days ago).
is the cumulative distribution of the
‘s (the random variables used to build up the maximum). This work since the 
