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Estimer une variance… ou un écart-type ?

Lors du cours de demain, nous allons parler (longuement) de l’estimation de la variance (comme cela avait commencé en TD vendredi dernier). Mais en pratique, c’est souvent l’écart-type qui nous intéresse. On va passer par mal de temps à chercher un estimateur sans biais de la variance, et montrer que

devrait convenir, mais cela ne nous donne pas vraiment d’information sur le biais de l’estimateur naturel de l’écart-type, à savoir

car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/variance-est03.png.
Bref, il y a sûrement un biais, et ça pourrait être intéressant de le quantifier. Classiquement, on suppose disposer d’un échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma01.png i.i.d. On va faire une hypothèse forte, à savoir que leur loi est une loi normale http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma03.png, où http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma02.png est inconnu.
Naturellement, on voudrait considérer

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma04.png

On va poser, afin de simplifier un peu,

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma07.png
et on va chercher à calculer

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma06.png

où http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma08.png est la densité de cette variable. Or on sait que http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma20.png suit une loi du chi-deux à http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma11.png degrés de liberté, dont la densité est la loi gamma suivante

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma13.png

En notant que l’on peut réécrire

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma22.png

on a que cette espérance s’écrit

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma24.png

soit en faisant un peu de calculs,

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma26.png

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma27.png

Ce qui va se simplifier en utilisant la fonction gamma

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On a ainsi

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/stdvariance.png

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma35.png

Un peu de terminologie statistique

Suite à quelques questions (anodines) posées au fil du cours de statistique, je prends 5 minutes pour refaire le point sur les abréviations qui me semblent classiques, mais qui le ne sont peut-être pas (car je n’ai pas l’habitude d’enseigner en deuxième année, pour ceux qui en doutaient encore).

Tout d’abord des locutions latines. Par exemple i.e. n’est pas Internet Explorer mais vient du latin id est et signifie donc c’est-à-dire. Parmi les petites locutions proches, e.g. vient du latin exempli gratia, et signifie littéralement par la grâce de l’exemple mais on retiendra que cela signifie par exemple.

A l’occasion, il m’arrive d’utiliser ca qui est une abréviation du latin circa, signifiant environ.Et quid signifie en latin quoi. Sinon dans les textbook, q.e.d. vient du latin quod erat demonstrandum, que l’on traduit souvent par ce qu’il fallait démontrer, ou cqfd. Enfin, vs est une contraction du latin versus signifiant comparé à. Bon, je pense avoir fait le tour pour les expressions latines.

Du côté des lettres grecques couramment utilisées en statistique, α i.e. alpha, et β i.e. beta, que l’on verra apparaître dans les erreurs de tests statistiques. Γ est une fonction qu’il pourrait être utile d’utiliser dans les calculs d’intégrales (correspondant à une généralisation de la factorielle). δ i.e. delta, apparaît dans la notation de la masse de Dirac. ε i.e. epsilon que l’on retrouve un peu partout en analyse pour dénoter une constante qui peut être aussi petite qu’on le souhaite. θ i.e. theta qui correspond au paramètre de nos lois, mais parfois on utilisera aussi λ i.e. lambda qui apparaît comme paramètre de la loi de Poisson ou de la loi exponentielle. μ i.e. mu qui désigne généralement la moyenne d’une variable aléatoire, ν i.e. nu qui désigne les degrés de liberté dans les lois de Student ou de Fisher. ρ i.e. rho qui désigne parfois la corrélation. σ i.e. sigma qui désigne l’écart-type d’une variable aléatoire. χ i.e. khi (ou chi) qui apparaît souvent avec une puissance 2, dans la loi du chi-deux. Et enfin ω i.e. omega qui désigne un état de la nature, appartenant à Ω (la lettre majuscule).

Voilà pour le premier point de terminologie. Je me laisse la possibilité de poursuivre, en particulier sur les abréviations plus mathématiques (comme les p.s. ou en anglais a.s., ou autres w.r.t.). Toutes les suggestions sont les bienvenues…