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Histogramme et densité en échelle logarithmique

Il y a presque 20 ans, Paul-André Rosental, Gilles Postel-Vinay, Akiko Suwa-Eisenmann et Jérôme Bourdieu publiaient Migrations et transmissions inter-générationnelles dans la France
du XIXe et du début du XXe siècle qui présentait le graphique ci-dessous,

On est tombé sur ce graphique avec Ewen Gallic en écrivant notre article Using Collaborative Genealogy Data to Study Migration (qui paraîtra très bientôt dans le journal The History of the Family). Classiquement dans un article académique, on a besoin de se positionner par rapport à la littérature existante. Avec nos propres données, et nous avions construit l’histogramme suivant

histoire de montrer que nous retrouvions cette forme bimodale. Depuis le début, je suis pas très confortable avec ce graphique, mais on l’a laissé non pas pour ses vertus sémiologiques, mais parce qu’il valide notre approche, en obtenant des résultats comparables à d’autres, déjà établis dans la littérature.

Je repensais à tout ça avant hier, en mentionnant sur twitter le graphique suivant

qui contient quelque chose de similaire, à savoir une espèce d’histogramme en bleu, sauf que la largeur des bandes décroit ici de manière logarithmique…

Je suis très mal à l’aise face à ces graphiques, parce que je ne sais pas comment les interpréter.  Mais peut-être faut-il revenir à la base, pour comprendre ce qu’on fait.

On a un échantillon \{x_1,\cdots,x_n\} disons de montant d’impôt payé. On a un échantillon comme on dit en statistique descriptive. En statistique mathématique, on suppose que les x_i sont des réalisations de variables aléatoires. On pourrait ainsi dire que x_i=X(\omega_i)X est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}). Pour rappel, \Omega, c’est l’univers, une espèce d’espace fondamental abstrait. Sur le site les-mathématiques, on nous dit que \Omega est l’espace des observables, ce qui me déplait assez car pour moi, justement \Omega est un espace abstrait. En théorie de la décision, si on reprend par exemple Probability and Uncertainty in Economic Modeling, on parle d’états de la nature (c’est aussi la terminologie que l’on retrouve dans States of Nature and the Nature of States). Et assez souvent, on oublie cet espace, grâce au théorème de transfert : en effet, si on a une variable aléatoire réelle, X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} , alors {\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\int _{\Omega }\varphi {\big (}X(\omega ){\big )}\mathbb {P} (\mathrm {d} \omega )=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)\mathbb {P} _{X}(\mathrm {d} x)} ce qui veut dire, de manière polie, qu’on ne se place jamais sur ces espace fondamental, mais on regarde juste leur “transfert” sur la droite réelle (ici, je vais me contenter du cas unidimensionnel), c’est à dire la “valeur” prise par la variable aléatoire (je reviendrai tout à l’heure sur ces écritures sous forme intégrales). C’est un abus de langage que l’on fait quand on dit que pour un lancer de dé, l’univers est \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, correspondant aux valeurs des faces du dé. En fait, l’espace fondamental, des “états de la nature” peut être plus compliqué que ça, mais pour mieux comprendre, on va le “transférer” sur l’espace comptable \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Mais je commence à m’écarter du sujet, surtout que je m’étais promis que je ne ferais pas (trop) de théorie de la mesure. L’autre raison est que je pense que ce n’est pas exactement la formalisation qu’on utilise en statistique. Je pense que x_i=X_i(\omega) où les variables X_1,\cdots,X_n sont des variables aléatoires indépendantes, et de même loi. Pourquoi ? Avec les notations précédentes, on dispose de l’échantillon suivant

que l’on peut voir comme une réalisation des variables aléatoires suivantes

Une statistique sera alors une fonction construit sur notre échantillon, \hat{\theta}=h(x_1,\cdots,x_n) , par exemple la moyenne (empirique)

qui est alors un nombre. Mais ça peut être aussi une variable aléatoire, \hat{\theta}=h(X_1,\cdots,X_n) , soit ici, pour la moyenne

La principale difficulté est qu’en statistique mathématique, on utilise la même notation, \widehat{\theta} pour deux objets de nature très différentes. Et donc avoir des abus de langage, en pouvait dire en cours “ici la moyenne vaut 37.5%” et ensuite demander de “calculer la variance de la moyenne”. Mais là encore, je m’écarte. Revenons à notre variable aléatoire X. Souvent, on va essayer de décrire sa loi de probabilité.

Le plus simple est de passer par la fonction de répartition, définie sans ambiguïté par F(x) = \mathbb{P}[\{\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x\}] (ce qui a du sens cas la mesure de probabilité \mathbb{P} est effectivement définie sur l’espace des états de la nature \Omega. Mais par abus de langage, on se contentera de noter F(x) = \mathbb{P}[X\leq x] . Supposons maintenant que notre variable X est absolument continue. Alors dans ce cas – ça correspond je pense au premier théorème de l’analyseF(x)=\int _{-\infty}^{x}f(t) dt, où f est alors la densité de la variable aléatoire. Le point un peu subtile ici est que l’intégrale est ici définie par rapport à la mesure de Lebesgue (ce qui permet de définir proprement ce qu’est ce dt à la fin de l’intégrale). Mais oublions ce point un instant.

On arrive enfin au premier point auquel je voulais arriver : pour les variables (absolument) continue, on peut “représenter” leur loi par leur densité. C’est le dessin ci-dessus, si X est une variable qui suit une loi lognormale

u=seq(0,1000,length=251)
v=dlnorm(u,5,1)
plot(u,v,type="l",xlab="",ylab="")

L’interprétation est simple : comme la probabilité \mathbb {P} (a<X\leq b) se calcule alors par la relation suivante : \mathbb {P} \left(a<X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f(t)dtla probabilité \mathbb {P} (a<X\leq b) se lit comme l’aire sous la courbe sur l’intervalle [a, b].

Parmi les estimateurs usuels de la densité, on peut utiliser un histogramme. Même si c’est un objet que tout le monde manipule depuis ses cours au secondaire, la construction formelle de cet objet est un peu technique. En effet, le premier point est qu’il faut découper l’ensemble des valeurs prises par les observations x_i – disons (a,b] – en une partition, c’est à dire un ensemble d’intervalles disjoints qui vont recouvrir  (a,b], I_1,\cdots,I_k. Le plus simple est d’avoir une partition régulière, I_1=(a,a+(b-a)/k], I_2=(a+(b-a)/k,a+2(b-a)/k], etc. Généralement, I_j=(a+(b-a)(j-1)/k,a+(b-a)j/k]. Et classiquement, on construit un histogramme en comptant le nombre d’observations dans chacun des intervalles,

x=rlnorm(500,5,1)
hist(x,xlim=c(0,1000),breaks=seq(0,10000,by=100))

C’est l’histogramme classique, avec un pas de 100.

hist(x,xlim=c(0,1000),breaks=seq(0,10000,by=100),probability=TRUE,ylim=c(0,.005))
lines(u,v,col="red")

Pour avoir une densité (i.e. une “fonction en escalier qui va s’intégrer à 1”) il faut normaliser la hauteur (en divisant par le pas). On peut d’ailleurs superposer la densité de la loi lognormale.

Dans les graphiques que je présentais, on utilise en échelle logarithmique en abscisse. On peut le faire avec R en demandant

plot(u,v,log="x",type="l")

ce qui correspond aux graphiques précédant. On peut aussi, à la main, dire qu’on veut non plus voir \{x,f(x)\} mais \{\log(x),f(x)\}.

plot(log(u),v,type="l")

L’aire précédente devient alors

Visuellement, on raisonne par comparaison. Quand on dit que la densité est une aire sous la courbe, en réalité, c’est la proportion de l’aire sous la courbe (par rapport à l’aire totale) qui nous parle. Mais autant le faire avec deux aires, pour mieux comprendre. A droite, en rouge, on a la probabilité d’avoir une valeur entre 200 et 600, soit ici environ 30%.

plnorm(600,5,1)-plnorm(200,5,1)
[1] 0.3015131

et en bleu, on a la probabilité d’être entre 92 et 200, qui vaut là aussi environ 30%

plnorm(200,5,1)-plnorm(92,5,1)
[1] 0.3010197

Ici les deux aires sont égales. On notera que ce n’est pas forcément évident, au premier coup d’œil, et l’asymétrie (vers la droite) laisse à croire que l’aire rouge est peut-être plus grande. Mais passons.

Considérons maintenant notre échelle logarithmique, en abscisse,

ou alors la version sur le logarithme des abscisses,

Comme on le notait auparavant, on aime ce graphique car on reconnait une forme de densité de “loi normale” (ce qui pourrait faire du sens, car on obtient une loi lognormale justement en prenant l’exponentielle d’une loi normale…). Cela dit, on a clairement un problème d’échelle ici, car l’aire totale sous la courbe vaut moins de 1%… autrement dit, on est loin de 1. Mais on peut quand même retrouver une loi normale,

lines(u2,dnorm(u2,4,1)/90,col="blue")

(on pourra noter d’ailleurs que non seulement, il a fallu diviser par 90, mais la moyenne est ici 4, et pas 5). Comme on a la densité d’une loi normale (à une transformation près), on peut facilement faire des calculs, en particulier, calculer les deux aires, rouges et bleues

range(log(c(u[I],rev(u[I]))))
[1] 5.300315 6.396263
pnorm(range(log(c(u[I],rev(u[I])))),4,1)
[1] 0.9032535 0.9917184
diff(pnorm(range(log(c(u[I],rev(u[I])))),4,1))
[1] 0.08846485
diff(pnorm(range(log(c(u[I2],rev(u[I2])))),4,1))
[1] 0.2019666

Aussi, l’aire bleue vaut ici plus du double de l’aire rouge. Autrement dit, si on interprète la courbe comme une densité sur le graphique ci-dessous

on a intuitivement envie de dire qu’il y a 2 fois plus de chance d’avoir une valeur entre 92 et 200 qu’entre 200 et 600. Ce qui est faux.

Si on essaye de comprendre un peu mieux, je vais revenir sur deux points… La première c’est que, aussi étrange que ça puisse paraître, c’est presque un coup de chance qu’en prenant une échelle logarithmique, on obtient une densité lognormale. On avait écrit un article avec Emmanuel Flachaire (Log-Transform Kernel Density Estimation of Income Distribution) qui revenait sur l’importance de cette transformation logarithmique. Mais ici, c’est un peu différent. On a en effet deux graphiques : le premier c’est \{x,f(x)\} alors le second c’est \{\log(x),f(x)\}, soit, en faisant un changement de variable y=\log(x) (ou x=e^y), c’est \{y,f(e^y)\}. Or dans le premier cas, on avait une loi lognormale, autrement dit f(x )=\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-\frac {(\log x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}\right)={\frac {1}{x}}\phi(\log(x);\mu ,\sigma^2 )\phi est la densité de la loi normale centrée réduite. Si on regarde le second graphique, \{y,f(e^y)\}, on représente alors \{y,e^{-y}\phi(y;\mu ,\sigma^2 )\}. La magie va opérer parce qu’on peut rentrer le e^{-y} dans la densité de la loi normale, ce qui donnera deux choses (1) une translation de la moyenne, (2) un facteur multiplicatif sur la densité. Ce sont les deux phénomème que nous avions observé ici. Si on détaille un peu e^{-y}\exp \left(-\frac {(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}\right)=\exp \left(-\frac {(y-[\mu-\sigma^2] )^{2}}{2\sigma ^{2}}+\star\right)où on retrouve la translation de 1 de moyenne (centrée sur 4 et non plus sur 5, mais c’est logique puisqu’on avait pris \sigma^2 ayant pour valeur 1. Je laisse les plus courageux calculer le \star qui va donner le facteur multiplicatif. Le second point est un peu plus technique, il est lié à un problème de mesure. Dans le premier cas, quand on faisait un calcul d’intégrale, on avait un dx et dans le second cas, on calcule des aires avec un dy, mais ce n’est pas la bonne transformation. En effet, si y=\log(x) (ou x=e^x) alors dx=e^ydy. Plus formellement, dans le premier cas, quand on calculait \mathbb{P}[X\in[a,b]] on calculait l’intégrale \int _{a}^{b}f(x) dx. Dans le second cas, on calcule \int _{\alpha}^{\beta}f(e^y) dy puisqu’on visualise la courbe \{y,f(e^y)\}. Mais si on fait un changement de variable propre \int _{\alpha}^{\beta}f(e^y) dy=\int _{a}^{b}f(x) \frac{dx}{x}qui n’est plus du tout l’intégrale qu’on cherche à calculer. Je pense que cette histoire de dy correspondant à x^{-1}dx pourrait avoir une interprétation en terme de changement de mesure (la mesure de référence n’est plus la mesure de Lebesgue, qui nous donne une relative uniformité sur l’axe des abscisses, et permet de faire un lien avec l’intégrale “classique” – au sens de Rieman).

Bref, cette histoire de mettre une échelle logarithmique en abscisse pour visualiser une densité est très perturbant. L’intuition que l’on peut en avoir est biaisée, et l’objet mathématique que l’on créé est complexe…

Visualizing effects of a categorical explanatory variable in a regression

Recently, I’ve been working on two problems that might be related to semiotic issues in predictive modeling (i.e. instead of a standard regression table, how can we plot coefficient values in a regression model). To be more specific, I have a variable of interest Y that is observed for several individuals i, with explanatory variables \mathbf{x}_i, year t, in a specific region z_i\in\{A,B,C,D,E\}. Suppose that we have a simple (standard) linear model (forget about time here) y_i=\beta_0+\beta_1x_{1,i}+\cdots+\beta_kx_{k,i}+\sum_j \alpha_j \mathbf{1}(z_i\in j)+\varepsilon_i

Let us forget the temporal effect to focus on the spatial effect today. And consider some simulated dataset. There will be only one (continuous) explanatory variable. And I will generate correlated covariates, just to be more realistic.

n=1000
library(mnormt)
r=.5
Sigma=matrix(c(1,r,r,1), 2, 2)
set.seed(1)
X=rmnorm(n,c(0,0),Sigma)
X1=cut(X[,1],c(-100,quantile(X[,1],c(.1,.4,.7,.85)),
100),labels=LETTERS[1:5])
X2=X[,2]
Y=5+X[,1]-X[,2]+rnorm(n)/2
db=data.frame(Y,X1,X2)

Here we have y_i=\beta_0+\beta_1x_{1,i}+\sum_{j\in\{A,B,C,D,E\}} \alpha_j \mathbf{1}(z_i\in j)+\varepsilon_i The goal here is to get to graph to visualize the vector \hat\alpha=(\hat\alpha_A,\cdots,\hat\alpha_E). Let us run the linear regression

reg1=lm(Y~X1+X2,data=db)
idx=which(substr(names(reg1$coefficients), 1,2)=="X1")
v1=reg1$coefficients[idx]
names(v1)=LETTERS[2:5]
barplot(v1,col=rgb(0,0,1,.4))

Note that it is possible to add some sort of “confidence interval” to discuss significance (or to avoid to spend hours discussing differences in bar heights that are not significantly different)

library(Hmisc)
sv1=summary(reg1)$coefficients[idx,2]
(bp1=barplot(v1,ylim=range(c(0,v1+2*sv1))))
errbar(bp1[,1],v1,v1-2*sv1,v1+2*sv1,add=TRUE)

My main concern here is the “reference” that is considered. Should A be the reference? Why not B

db$X1=relevel(db$X1,"B")
reg1=lm(Y~X1+X2,data=db)
idx=which(substr(names(reg1$coefficients),1,2)=="X1")
v1=reg1$coefficients[idx]
names(v1)=LETTERS[c(1,3:5)]
library(Hmisc)
sv1=summary(reg1)$coefficients[idx,2]
(bp1=barplot(v1)
errbar(bp1[,1],v1,v1-2*sv1,v1+2*sv1,add=TRUE)

Why not the smallest one? Why not the largest one?… What if there is no simple way to choose. Furthermore, let us get back to the original point, which is that there might be some temporal aspects. More precisely, we can have \hat\alpha^{(t)}=(\hat\alpha_A^{(t)},\cdots,\hat\alpha_E^{(t)}). If we have also \hat\alpha^{(t+1)} and we get another plot, how do we interpret it. If for E the bar is taller, it means that relative to A, the difference has increased. I have the feeling that the interpretation is more complicated because we do not see, on that graph, changes in \hat\alpha^{(t)}_A.

Let us try something else. First, let us get back to the original setting

db$X1=relevel(db$X1,"A")

Consider here the regression without the intercept, so that all values remain

reg1=lm(Y~0+X1+X2,data=db)
idx=which(substr(names(reg1$coefficients),1,2)=="X1")
v1=reg2$coefficients[idx]
names(v1)=LETTERS[1:5]
barplot(v1)

It can be hard to read, especially if Y takes (very) large values, and you think that barplots should start at 0. But still, having those 5 values is nice. Why not rescale that graph?

A natural idea my be to consider the case where no spatial component is considered, and to look at the difference with that reference.

reg1=lm(Y~1+X2,data=db)
reg2=lm(Y~0+X1+X2,data=db)
idx=which(substr(names(reg2$coefficients),1,2)=="X1")
v1=reg2$coefficients[idx]
v2=v1-reg1$coefficients["(Intercept)"]
barplot(v2,col=rgb(0,0,1,.4))
sv2=summary(reg2)$coefficients[idx,2]
(bp2=barplot(v2,ylim=range(c(v2-2*sv2,v2+2*sv2))))
errbar(bp2[,1],v2,v2-2*sv2,v2+2*sv2,add=TRUE)

I like that graph, I should admit it. Now, I still have some remaining questions. For instance, can we insure that when only the intercept is considered, the value of \hat\beta_0 is somewhere between \hat\beta_A,\cdots,\hat\beta_E? Is it possible that \hat\beta_A-\hat\beta_0,\cdots,\hat\beta_E-\hat\beta_0 are all positive? In that case, I would find that hard to interpret.

Actually, if I really want values that can be seen as compared to some average, why not consider a (weighted) average of \hat\beta_A,\cdots,\hat\beta_E? (weights being here proportion in each class, in each region)

w=table(db$X1)
v3=v1-sum(w*v1)/sum(w)
(bp3=barplot(v3,ylim=range(c(v3-2*sv3,v3+2*sv3))))
errbar(bp3[,1],v3,v3-2*sv3,v3+2*sv3,add=TRUE)

I like that one. But what if, instead of normalizing at the end, we normalize the original dependent variable. By “normalize”, I mean “rescale”, to have a centered variable.

db$Y0=db$Y-mean(db$Y)
reg3=lm(Y0~0+X1+X2,data=db)
sv3=summary(reg3)$coefficients[idx,2]
(bp3=barplot(v3,ylim=range(c(v3-2*sv3,v3+2*sv3))))
errbar(bp3[,1],v3,v3-2*sv3,v3+2*sv3,add=TRUE)

This one is nice, because it is extremely simple to explain. But what if instead of a linear regression, we add a logistic one (with Y\in\{0,1\})? or a Poisson regression…

So maybe it cannot be the best solution here. Let us try something else… In insurance ratemaking, people like to use “zonier“. It is a two-stage regression. The idea is to run a regression without any spatial components, first. Then, consider the regression of residuals on spatial variables. Here, it would be something like

reg1=lm(Y~1+X2,data=db)
reg2=lm(Y~0+X1+X2,data=db)

Since we focus on residuals, those are centered, and we have an easy interpretation of respective values

sv4=summary(reg4)$coefficients[idx,2]
v4=reg4$coefficients
(bp4=barplot(v4,names.arg=LETTERS[1:5])))
errbar(bp4[,1],v4,v4-2*sv4,v4+2*sv4,add=TRUE)

I guess that it can also be use in generalized linear models, with Pearson (or deviance) residuals.

Another possible idea can be the following. Again, the goal is not to have the true values, but to visualize on a graph how regions can be different. Here, all of them are significantly different. And in region A, Y is smaller, ceteris paribus (other things equal in the sense that we have taken into account x_1). And in region E it is larger. Here, the graph helps to “see” those differences.

Why not consider a completely different graph. What if we plot vector a instead of \alpha, where a_A can be interpreted as the value of the coefficient if we consider region A against “not region A“. What if we consider 5 regressions where dichotomous versions of Z are considered : Z_j=\mathbf{1}_{Z=j}.

v5=sv5=rep(NA,5)
names(v5)=LETTERS[1:5]
for(k in 1:5){
reg=lm(Y~I(X1==LETTERS[k])+X2,data=db)
v5[k]=reg$coefficients[2]
sv5[k]=summary(reg)$coefficients[2,2]}

We can plot that sequence of values, including some confidence intervals (that would be related to significance with respect to all other regions)

(bp5=barplot(v5,ylim=range(c(v5-2*sv5,v5+2*sv5))))
errbar(bp5[,1],v5,v5-2*sv5,v5+2*sv5,add=TRUE)

Looking at values does not give intuitive results, but I have the feeling that it is easy to explain what we plot (we compare each region to “the rest of the world”), and the ordering of a seems to be consistent with \alpha (but I could not prove it).

Here are some ideas I got. I should be able to provide other graphs, but I would love to discuss with anyone on that topics, to find a proper and nice way to visualize effects of a categorical explanatory variable in a regression model (that can be a logistic one). Comments are open…

Sur le graphique du taux d’imposition, en France

Voilà plusieurs années (en 2011) Landais, Piketty et Saez publiaient le graphique suivant, présentant le sytème fiscal, en France, avec l’évolution du taux global d’imposition, en fonction du revenu.

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2017/02/revol-fiscale.png

Il y a deux ans, Yves Guiard critiquait ce graphique (rappelant que “la conversion numérique/graphique obéit à certaines règles“) et proposait une version “correcte“, sous la forme

J’ai déjà dit – voilà plusieurs semaines – que cette vision dogmatique des règles de représentation graphique ne me plaisait pas. Mais le plus simple est peut être de reprendre la réponse de Thomas Piketty, sur cette critique (je me retrouve totalement dans le propos),

(je suis désolé de découvrir cette discussion aussi tard, Béatrice m’a posté un commentaire ce matin, qui pointait vers ces deux articles)

Mais essayons de regarder un peu plus en détails. Oui, si on utilise la représentation standard de la courbe, on retrouve le graphique suivant

avec les plus pauvres à gauche, et les plus riches à droites. On a ici un graphique où le même pas sur l’axe des abscisses correspond au même nombre d’individus. Les 10% les plus pauvres (bande verticale la plus à gauche) ont un taux moyen d’imposition de 40.46% alors qu’il est de 48.09% pour les 10% qui sont juste au dessus du salaire médian (bande juste à droite de 50%). Je ne reviendrais pas sur le débat de commencer le graphique à 0% (ce débat aurait du sens, j’en conviens, mais commencer à 0% et mettre du texte entre l’axe des abscisses et la courbe, c’est un peu tricher), mais si on respecte cette règle, on obtient

Mais ce n’est pas cette visualisation qui est retenue dans le livre de Landais, Piketty et Saez, mais plutôt quelque chose qui ressemble au graphique ci-dessous (je commence à 30% pour éviter d’avoir un billet trop long)

Ce graphique est (je pense) plus intéressant que le premier. Bon, bien sûr, il se rapproche de la courbe parfaite que tout statisticien qui se respecte essaye de reproduire

mais surtout, il permet de tenir compte de l’hétérogénéité qui existe dans ce dernier décile. Histoire d’illustrer mon propos, je voudrais proposer une représentation alternative de celle de Landais, Piketty et Saez. Pour se faire, on va utiliser une information complémentaire (en ligne sur le site) à savoir le revenu moyen, par centile, dans la population (voire plus fin dans le centile le plus élevé)

L’idée sera d’utiliser en abscisse non pas un pourcentage de personnes, mais un pourcentage de richesse (un peu comme avec la courbe de Lorenz),

Par exemple sur le graphique ci dessus, la bande la plus à gauche ne représente pas 10% des français, mais la fraction de français les plus pauvres, qui totalisent 10% de la richesse totale. La bande la plus à droite, ce sont les français les plus riches, qui accumulent 10% de la richesse totale. On peut d’ailleurs être un peu plus éclairant (je pense) en mettant des bandes non pas tous les 10% du revenu cumulé, mais faire l’équivalent du premier graphique, avec 10% des français. Bien entendu, les 10% les plus pauvres possède un très faible pourcentage de la richesse totale. En fait, les 30% les plus pauvres possèdent, tous ensemble, 5% de la richesse totale. Alors que les 10% les plus riches possèdent un tiers de la richesse. C’est ce qu’on peut voir sur le graphique ci-dessous

Ce graphique est – je pense – juste, au sens des normes sémiologiques, et permet de faire passer le message du graphique initial.

Après, on peut tenter une vision qui irait encore plus loin, avec non plus un taux en abscisse, mais un niveau de richesse. Aussi, le taux d’imposition, en fonction du revenu brut mensuel (sur une échelle logarithmique) ressemble au graphique ci-dessous