Revenons à nos histoires d’alcoolique un instant (les précédentes sont en ligne iciet là). L’avant dernière fois (ici), nous avions parlé de la marche aléatoire, et du temps mis avant de trouver la sortie de la rue de la soif.

Et j’avais évoqué la probabilité la probabilité qu’il ne récupère pas les clés (i.e. qu’il ne repasse pas par l’origine) s’il peut sortir un jour de la rue. En probabilité, on appelle cela la probabilité de repasser par l’origine et cela vérifie une propriété étrange dès lors que l’on change de dimension… On va suivre notre alcoolique et noter  sa position à la date , puis poser

autrement dit la probabilité de se retrouver à sa position initiale à la date n (et de retrouver ainsi ses clés), le  pouvait être en n’importe quelle dimension, on posera

correspondant à la probabilité de premier retour à la position initiale, et enfin

qui est la probabilité de revenir un jour au point de départ, c’est à dire … C’est cette dernière grandeur qui nous intéresse….

• De la probabilité de récupérer ses clés dans la rue

La rue est ici infinie (contrairement à l’autre fois, où on pouvait en sortir, soit vers la place de Lices, soit vers la place Sainte Anne). Autrement dit, on s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur  issue de  repasse un jour par . S’il va à droite ou à gauche avec probabilités  et  respectivement, notons que , car il faut un nombre de pas pairs pour revenir à l’origine, et

Il est possible de montrer que

et en particulier

On peut relier les  et les  en notant que

Or  constitue une distribution de probabilité, dont on peut définir la fonction génératrice

On notera que que l’on peut écrire

soit, en utilisant l’expression donnée auparavant

Soit finalement

ce qui se traduit par  si la série  converge. Aussi,

donc si , notre alcoolique repassera presque sûrement par le point d’origine, alors que si , il ne repasse pas par le bar où il a oublié ses clés avec probabilité |.

• De la probabilité de récupérer ses clés sur une place

La place est ici infinie de part et d’autre. Autrement dit, on s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur  issue de  repasse un jour par . Il a alors 1 chance sur 4 d’aller devant lui, autant d’aller en arrière, d’aller à gauche ou d’aller à droite. On peut noter que là encore
, car il faut un nombre de pas pairs pour revenir à l’origine, et

Or on peut réécrire cette somme en notant que

et que

aussi,

que l’on peut approcher (via la formule de Stirling) sous le forme

La série  est alors divergente, et donc . Aussi, même sur une place, notre alcoolique reviendra presque sûrement à sa place initiale (et ce une infinité de fois, car une fois qu’il y est revenu et qu’il en repart, il repassera presque sûrement à cette position, etc).

• De la probabilité de récupérer ses clés dans l’espace

Bon, cette fois notre alcoolique passe en dimension 3…. j’admets, il faut de l’imagination. On s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur  issue de  repasse un jour par . Il a alors 1 chance sur 6 d’aller devant lui, autant d’aller en arrière, d’aller à gauche ou d’aller à droite, d’aller en haut ou d’aller en bas.

Il y a désormais 6 voisins, et en raisonnant comme avant (le maillage est un peu plus complexe), on obtient que

Je laisse les amateurs de combinatoires faire des calculs ou des approximations, mais on peut montrer que

La série \sum u_n est alors convergente, et

qui vaut un peu plus de 1/3. Autrement dit, on a seulement 1 chance sur 3 de revenir à l’origine et de retrouver ses clés…
Bref, en dimension 1 ou 2, on repasse presque sûrement une infinité de fois à l’origine, mais en dimension 3, on a 2 chances sur 3 de ne jamais y repasser…. J’ai toujours trouvé ça étonnant….