Longtemps, dans les formations d’actuariat, le provisionnement était un sujet traité en 2 heures, car malgré son importance stratégique dans les résultats d’une entreprise d’assurance, il ne s’agissait que d’une “règle de trois“.

• De l’importance des provisions en assurance

D’un point de vue comptable, les provisions pour sinistres à payer sont une quantification des engagements pris par l’assureur envers ses assurés. En reprenant des vieux tableaux dans l’Argus, avec une compagnie d’assurance spécialisée en grands risques (AXA Corporate Solutions), une mutuelle (MAIF), et une autre société anonyme (Groupama), on obtient

Pour les grands risques, on notera que le montant de provision (plus de 5 milliards) est plus de 3 fois supérieur au montant des primes encaissées (1,5 milliards). Aussi, si l’on pense qu’il faut augmenter de 5% le montant des provisions (ce qui pourrait paraître acceptable à un statisticien) il faudrait augmenter le chiffre d’affaire de 15%.

• Histoire de la “règle de trois“

Le Petit Robert prétendait que l’expression « règle de trois » remontrait à 1538, même si le résultat sous-jacent est tout simplement le théorème de Thalès… Les manuels d’arithmétiques expliquaient ainsi que “la règle de trois est la méthode servant à résoudre les problèmes dans lesquels, étant données des grandeurs pouvant former les trois termes d’une proportion, on demande de trouver le quatrième terme“. On peut retrouver beaucoup plus d’infos sur le site images des mathématiques (ici) ou (là), où on trouve d’ailleurs cette illustration,

La “règle de trois” est aussi le premier souvenir de raisonnement mathématique exposée par Paul Lévy dans sa biographie (“quelques aspects de la pensée d’un mathématicien“), lorsqu’il raconte qu’à 7 ans, il tenait la main d’une fille de 12 ans, il était surpris de lever la main. En effet, certes la jeune fille était plus grande que lui, mais son bras devait également être plus grand. Il compris alors le principe des règles de proportionnalité.
Bref, comme toujours, les actuaires ont inventé un nouveau mot pour la “règle de trois” (je renvoie à un vieux papier de Claude Bébéar sur la novlangue utilisée par les actuaires, ici, mais je reviendrais longuement sur le jargon une autre fois).

• Les méthodes de provisionnement: Chain Ladder
  

J’avais évoqué il y a quelques temps les travaux d’Eugène Astesan (ici), précurseur de la méthode Chain Ladder, même si l’estimateur qu’il avait alors proposé n’était pas celui de variance minimale dans la classe des estimateurs. Les premiers travaux sur les modèles stochastiques de provisionnement ont chercher à justifier la règle de trois, par exemple via le papier de Thomas Mack “which stochastic model is underlying the chain ladder method” (ici).
Pour venir deux minutes sur la méthode “chain ladder“, par exemple à l’aide du triangle suivant, on peut estimer les montants à payer (dans la partie inférieure) via une simple règle de trois. Considérons le triangle suivant, tiré du livre de Partar, Lecoeur, Nessi,  Nisipasu et Reiz

Pour la seconde colonne, on fait une simple règle de trois, en calculant les sommes sur chacune des colonnes,

Aussi, ici,

i.e.

On peut ensuite passer à la troisième colonne, puis la quatrième, etc. La règle de trois donne ici

Voici pour la méthode dite “chain ladder“. Et Thomas Mack a été le premier à essayer de quantifier l’erreur de prédiction commise en utilisant cet estimateur. En particulier, les travaux théoriques des années 90 ont essayer d’étudier l’incertitude associée à l’estimation de la charge ultime, calculée aujourd’hui. Comme le notait un article paru dans l’Argus, les compagnies d’assurance qui utilisaient ces techniques étaient encore rares il y a 5 ans (et celles qui le faisaient cherchaient également à le faire savoir, ici). Mais les derniers documents (ici ou là) partent sur un objectif radicalement différent, que j’exposerais d’ici quelques jours, en revenant sur la novlangue des récents papiers sur le provisionnement..