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La parité, comme condition d’équilibre stable non dégénéré

Alors que le Sénat, en France, publie un rapport “femmes et sciences“, s’inquiétant de la sous-représentées des femmes dans les domaines et les carrières scientifiques (à tel point que pour l’illustration, ils sont obligés de faire appel à de l’IA générative pour avoir une image de femme faisant de la science ?), je me suis dit que je pourrais revenir sur ces questions, qui me semblent essentielles. Avec un point de vue un peu différent, montrant que si les visions d’éthiques ne suffisent pas à trancher, les mathématiques peuvent peut être éclairer ce débat…

La démocratie est le pire des dictatures, parce qu’elle est la dictature exercée par le plus grand nombre sur la minorité.

La formule de Pierre Desproges est (volontairement) provocatrice, mais elle contient une vérité mathématique. Dans tout système collectif, le rapport de force entre majorité et minorité n’est jamais neutre. Quand un groupe devient trop petit, il perd non seulement du pouvoir, mais aussi de la visibilité, de la légitimité et du lien social. Et cette perte n’est pas linéaire : elle s’accélère à mesure que le déséquilibre s’accroît. On retrouve cette dynamique dans les démocraties politiques, bien sûr (mais aussi dans les entreprises, les laboratoires, ou les départements universitaires). La parité hommes–femmes en est un exemple intéressant. Dans le monde universitaire, je suis sensible en particulier à l’idée de projection (ou “rôle-modèle”) pour les étudiantes, qui ont besoin de modèles féminins visibles pour se projeter dans des carrières académiques ou scientifiques. Et je suis entièrement d’accord sur le fait que voir seulement des hommes occuper les postes de professeurs, de chercheurs ou de doyens, cela entretient un effet de désidentification, leur faire croire (ou comprendre) que ces trajectoires leur sont moins accessibles ou moins “naturelles”.

Mais mon point aujourd’hui c’est de discuter un autre argument, à savoir que quand les femmes deviennent trop rares dans un environnement donné, ce n’est pas seulement leur voix qu’on n’entend plus, c’est tout le système relationnel qui se réorganise, jusqu’à rendre leur présence plus difficile encore. Et le déséquilibre devient alors auto-entretenu. Sous un certain seuil, les interactions se referment, la mixité se délite, et les comportements déviants trouvent un terreau plus favorable. La majorité ne domine plus seulement, elle façonne la norme et exclue la minorité.

Le paradoxe de la parité « auto-entretenue »

Les débats sur la parité ou les politiques dites de « discrimination positive » sont souvent ramenés à une question morale ou politique : faut-il ou non imposer des quotas ? Mais on oublie parfois qu’au-delà du principe, il existe des dynamiques collectives mesurables qui rendent ces politiques nécessaires pour la stabilité d’un groupe.

Dans de nombreux environnements humains (entreprises, labos, écoles, communautés en ligne, etc) la proportion de femmes ou de minorités influence la structure même des interactions sociales. Et cette structure, à son tour, façonne les comportements, les normes, et les risques de déviance. Mon point est que la parité n’est pas qu’un objectif symbolique : c’est un paramètre structurel d’équilibre.

Des ordres de grandeur ?

Pour avoir quelques ordres de grandeur dans le monde universitaire et les professions scientifiques,

  • Union européenne: professeurs “grade A” (équivalent professeur·e titulaire) : 29,7% de femmes (données 2022 agrégées UE, eraportal)
  • En France, en mathématiques (corps enseignants-chercheurs) : 22,8% de femmes (toutes disciplines on est plus proche de ≈ 40%). (femmes-et-maths)
  • États-Unis: emplois STEM : 26,7% de femmes (occupations, ACS 2021, census.gov)
  • Canada: personnes diplômées en STEM : 34% de femmes et personnes en emplois STEM : < 25% de femmes (randstad)

Mais on peut aussi regarder un peu plus les études, en France (en restant focalisé maths/sciences) où ces questions ont donné lieu à plusieurs articles,

  • Terminale générale parmi les classes très “maths/sciences” (couple Mathématiques + Physique-chimie, 2021-2022) : 35% de filles dans ces classes (enseignementsup-recherche.gouv)
  • En terminale, en 2021, 31% des élèves de l’option maths expertes étaient des filles (Femmes et maths)
  • Classes Préparatoires aux Grandes Écoles,  CPGE (scientifiques MP/PC/PSI/PT) en France : 30% de femmes à la rentrée 2023-2024 (enseignementsup-recherche.gouv)
  • À l’École Polytechnique (cycle ingénieur) : ≈ 20% de femmes (constat 2023); pour les nouveaux admis 2024 : ≈ 16% de femmes (école polytechnique)

Quand la minorité devient invisible

Les sciences sociales ont depuis longtemps observé un phénomène de « masse critique » : lorsque la proportion de femmes dans un collectif tombe sous un certain seuil (souvent estimé autour de 20 à 30% – c’est pour ça que je donnais les ordres de grandeurs auparavant), la dynamique interne change qualitativement.
Rosabeth Moss Kanter, dans un ouvrage paru en 1977, montrait que les femmes deviennent alors des tokens, des figures symboliques plus qu’intégrées, perçues d’abord comme “femmes” avant d’être reconnues comme “collègues”. Sous ce seuil, les femmes se retrouvent sous surveillance permanente, souvent contraintes de représenter leur groupe.

Mais paradoxalement, elles deviennent aussi moins visibles en termes d’influence : leurs interactions se raréfient, leur exposition à des soutiens féminins diminue, et leurs réseaux deviennent périphériques. Des analyses récentes de réseaux sociaux, par exemple celles de Karimi et al. (2017), montrent que la visibilité minoritaire dépend directement de la taille relative du groupe et du degré d’homophilie : plus un groupe est petit, plus il est enclavé, et moins ses membres perçoivent ou sont perçus par le reste du réseau.

La spirale de l’exclusion

Cette invisibilité engendre une spirale d’auto-exclusion : moins il y a de femmes, plus l’environnement devient masculin, plus les normes de comportement s’adaptent à ce nouvel équilibre. Les remarques déplacées, le paternalisme ou la mise à l’écart sont perçus comme « normaux » par la majorité. Les femmes, elles, se sentent de plus en plus en décalage, et finissent par partir. On peut formuler cela en termes de théorie des graphes : chaque individu appartient à un réseau d’interactions ; les liens (collaboration, affinité, soutien) dépendent souvent du genre, par homophilie ; si la proportion de femmes r_t devient trop faible, le sous-graphe féminin se fragmente ; la probabilité de contacts mixtes (femme-homme) diminue, alors même que la probabilité d’interactions entre hommes reste stable ou croît. Dans ce cadre, la dynamique de sortie (découragement, départ, désaffection) devient auto-renforçante : une fois sous un certain seuil r^\star, la remontée devient improbable sans intervention externe. C’est un point de bascule, comparable aux transitions de phase dans les systèmes physiques.

Les vertus dynamiques de la discrimination positive

On peut alors lire les politiques de parité ou de « discrimination positive » non pas comme des interventions morales, mais comme des mécanismes de stabilisation de système. Elles visent à maintenir la proportion de femmes r_t au-dessus du seuil r^\starcelui où le système bascule dans la spirale d’exclusion. Autrement dit, une politique d’équilibre n’est pas simplement « juste », elle est préventive. Elle évite de franchir la frontière où les dynamiques sociales, la perception mutuelle et les normes collectives cessent d’être égalitaires. Des études empiriques soutiennent cette intuition : dans les entreprises, universités ou administrations où la représentation féminine dépasse 30%, on observe une baisse significative des plaintes pour harcèlement ou comportements hostiles, ainsi qu’une amélioration du sentiment de légitimité des femmes dans leur rôle (Kanter (1977), Karami et al. (2021), Paustian-Underdahlan et al. (2025), Walker et al. (2024)).

Un signal inquiétant : la baisse des filles en sciences

Or, ce seuil semble aujourd’hui menacé dans plusieurs domaines. En France comme ailleurs, la proportion de filles dans les filières scientifiques, et notamment en mathématiques, recule depuis une dizaine d’années. Dans certaines classes préparatoires ou départements universitaires, on revient à des niveaux proches de ceux des années 1980. Ce n’est pas seulement une question de représentation : c’est le signal d’un risque structurel. Si je reviens à mes maths, si la proportion de filles r_t passe sous le seuil critique r^\star, le système risque de s’enfermer dans une dynamique où les jeunes femmes se sentent de moins en moins légitimes, soutenues, ou simplement à leur place. À ce stade, la parité ne reviendra plus « naturellement ». Il faudra une action extérieure (bourses ciblées, recrutement préférentiel, visibilité médiatique) pour recréer les conditions d’un équilibre stable.

Les modèles issus de la théorie des réseaux ou de la physique sociale permettent de penser autrement les enjeux de diversité : non comme un débat moral, mais comme une question de stabilité dynamique. Une société qui néglige la parité risque d’entrer dans une zone de rétroaction négative, où le déséquilibre s’auto-entretient et finit par exclure les minorités non par décision explicite, mais par inertie structurelle. Les quotas, les politiques d’équilibre ou les actions ciblées sont alors, en un sens, l’équivalent social des « forces de rappel » qui empêchent un système complexe de diverger. Ils ne garantissent pas l’égalité parfaite, mais ils assurent que le système reste dans une zone où l’égalité reste possible.

Where does that 2 come from in the likelihood ratio test?

This afternoon, in class, we’ve seen Wald test, the likelihood-ratio test, and finally the score test. All of them rely on the same idea

and then, use that if   with , we can write

Or – slightly more interesting – if  , then

Then one can get that

Based on that property, we can derive Wald statistics,

that can be visualized below

The score test is a test on the square of the slope

The idea for the likelihood ratio test is to consider

Observe that  can be written, using Taylor’s expansion

for some . The first term is null, since the maximum likelihood estimator is precisely at the maximum of the (log) likelihood. So

That’s more or less where the 2 comes from. Then observe that

and therefore

This test will be discussed further next week (since it is related to Neyman-Pearson’s theorem), but also, that result can be used to derive confidence intervals. With a log-likelihood as follows

it is possible to get a confidence interval for the parameter by looking for‘s such that

We will discuss that idea later on, in the context of profile likelihood.

Tests on tail index for extremes

Since several students got the intuition that natural catastrophes might be non-insurable (underlying distributions with infinite mean), I will post some comments on testing procedures for extreme value models.

A natural idea is to use a likelihood ratio test (for composite hypotheses). Let http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest21.gif denote the parameter (of our parametric model, e.g. the tail index), and we would like to know whether http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest21.gif is smaller or larger than http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest22.gif (where in the context of finite versus infinite mean http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest23.gif). I.e. either http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest21.gif belongs to the set http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-10.gif or to its complementary http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-11.gif. Consider the maximum likelihood estimator http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest24.gif, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-9.gif

Let http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest25.gif and http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-3.gif denote the constrained maximum likelihood estimators on http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest26.gif and http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest27.gif respectively,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-12.gif

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-2.gif

Either http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-13.gif and http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-6.gif (on the left), or http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-14.gif and http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-7.gif (on the right)

So likelihood ratios

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-15.gif      http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-16.gif

 are either equal to

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-19.gif      http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-18.gif

or

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-20.gif        http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/lrtest-17.gif

If we use the code mentioned in the post on profile likelihood, it is easy to derive that ratio. The following graph is the evolution of that ratio, based on a GPD assumption, for different thresholds,

> base1=read.table(
+ "http://freakonometrics.free.fr/danish-univariate.txt",
+ header=TRUE)
> library(evir)
> X=base1$Loss.in.DKM
> U=seq(2,10,by=.2)
> LR=P=ES=SES=rep(NA,length(U))
> for(j in 1:length(U)){
+ u=U[j]
+ Y=X[X>u]-u
+ loglikelihood=function(xi,beta){
+ sum(log(dgpd(Y,xi,mu=0,beta))) }
+ XIV=(1:300)/100;L=rep(NA,300)
+ for(i in 1:300){
+ XI=XIV[i]
+ profilelikelihood=function(beta){
+ -loglikelihood(XI,beta) }
+ L[i]=-optim(par=1,fn=profilelikelihood)$value }
+ plot(XIV,L,type="l")
+ PL=function(XI){
+ profilelikelihood=function(beta){
+ -loglikelihood(XI,beta) }
+ return(optim(par=1,fn=profilelikelihood)$value)}
+ (L0=(OPT=optimize(f=PL,interval=c(0,10)))$objective)
+ profilelikelihood=function(beta){
+ -loglikelihood(1,beta) }
+ (L1=optim(par=1,fn=profilelikelihood)$value)
+ LR[j]=L1-L0
+ P[j]=1-pchisq(L1-L0,df=1)
+ G=gpd(X,u)
+ ES[j]=G$par.ests[1]
+ SES[j]=G$par.ses[1]
+ }
>
> plot(U,LR,type="b",ylim=range(c(0,LR)))
> abline(h=qchisq(.95,1),lty=2)

with on top the values of the ratio (the dotted line is the quantile of a chi-square distribution with one degree of freedom) and below the associated p-value

> plot(U,P,type="b",ylim=range(c(0,P)))
> abline(h=.05,lty=2)

In order to compare, it is also possible to look at confidence interval for the tail index of the GPD fit,

> plot(U,ES,type="b",ylim=c(0,1))
> lines(U,ES+1.96*SES,type="h",col="red")
> abline(h=1,lty=2)

To go further, see Falk (1995), Dietrich, de Haan & Hüsler (2002), Hüsler & Li (2006) with the following table, or Neves & Fraga Alves (2008). See also here or there (for the latex based version) for an old paper I wrote on that topic.