“Statistical Learning and Econometrics” Workshop at Erasmus University Rotterdam

This week, I will be in Rotterdam, at the WorkshopStatistical Learning and Data Science, with Trevor Hastie (Stanford University), Jason Roos (RSM-Erasmus University Rotterdam), David Martens (University of Antwerpen ), Didier Nibbering (ESE-Erasmus University Rotterdam) and Gérard Biau (Université Pierre et Marie Curie). I will give a talk on quantile and expectile regressions. Slides are online.

Next Thursday, I will give the fourth lecture of the PhD course on advanced tools for econometrics, on quantile and expectile regressions. Slides are available online. I will give a short graduate course for PhD students, in Rennes, on Thurday mornings, in March (2nd, 9th, 23rd and 30th). The agenda will be

1. Nonlinear Regression Models and Smoothing Techniques

2. Bootstrapping and Regression

3. Penalized Regression Models and LASSO

4. Quantile Regression and Expectiles

There will be slides available by the end of February.

Quantile and Expectile Regressions

Tomorrow afternoon, because Pavel Shevchenko is currently in Rennes, there will be a small workshop. I will present some recent work with Amadou Barry and Karim Oualkacha on quantile and expectile regressions (our work is more specifically on panel regressions, with random effect models, quantile QRRE and expectile ERRE) but tomorrow, it will be more an introduction.  Slides are available online. La formation française, élitiste ?

En discutant avec @tomroud la semaine passée, j’ai découvert l’article Notre élite est toujours excellente, c’est le reste de la classe qui ne suit pas sur le site du Monde. C’est effectivement une idée reçue : si la formation est globalement aussi faible en France, c’est parce que la France serait un pays élitiste, et la formation de ses élites, en revanche, est une réussite. C’est – en gros – ce que raconte cet article. On pourra relire à ce sujet l’échange

Comment expliquer les résultats faibles en mathématiques, malgré la tradition d’excellence de la France dans ce domaine ?

Notre élite est toujours excellente, mais c’est le reste de la classe qui ne suit pas. Nos mauvaises notes à PISA ne nous empêcheront pas d’avoir des médailles Fields, mais elles nous empêchent d’avoir 100 % de citoyens efficaces dans leur travail et capables de se débrouiller dans un monde très mathématiques.

(dans la discussion, avec également, @Lazarrean@rdoume avait signalé un autre article dans Le Monde, la France championne des inégalités scolaires). Pourtant, ce n’est pas tout à fait ce que raconte le graphique, mentionné dans Surprising Test Results For Some Of The World’s Richest Students où le “Ninth decile” (quantile à 90%) n’est pas si élevé que ça, comparé aux autres pays. Maintenant, pour raconter l’histoire complète, la discussion avec @tomroud est née de la lecture de La crise ne rend pas les riches plus riches et les pauvres plus pauvres, sauf en France, En effet, @tomroud me disait qu’il avait vu le même genre de conclusion dans la comparaison des études PISA : en France, les bons sont meilleurs avec le temps, même si la moyenne, tout comme les niveaux des déciles les plus faibles, baisse. Dans une vision élitiste de l’éducation, ça ne serait pas gênant.

N’ayant rien trouvé me permettant de mieux comprendre , j’ai voulu aller regarder un peu plus en détails ce que disent vraiment les enquêtes PISA. Car elles sont disponibles en ligne (20122009200620032000). Bon, pour les lire plus rapidement, je vais les récupérer sur d’autres sites, pour avoir d’autres formats, plus simples à lire, en R,

Commençons par regarder un peu la distribution des notes, en mathématiques (je vais me restreindre aux tests de maths, qui sont souvent utilises pour dire que la France est effectivement un pays libelliste : les maths ont longtemps servi de critère, me semble-t-il).

> py="France"
> xf=sb[(sb$CNT==py)&(sb$ST04Q01=="Female")==TRUE,"PV1MATH"]
> xm=sb[(sb$CNT==py)&(sb$ST04Q01=="Male")==TRUE,"PV1MATH"]

Sur le graphique ci-dessous, on a la distribution des notes des filles (en haut à gauche) et des garçons (en bas à gauche). A droite, on a la fonction de survie : à une note donnée, on a en ordonnées la proportions d’élèves qui dépassent cette note. Par exemple 18,72% des garçons dépassent 600, et 12,42% des filles

> mean(xf>600)
 0.1242105
> mean(xm>600)
 0.1872207

Enfin, en bas à gauche, j’ai rajouté la fonction de moyenne en excédant (ou pour être plus précis, la Tail-Value-at-Risk), qui est la note moyenne que l’on peut espérer avoir si dans un certain décile. Par exemple, si on s’intéresse aux élèves dans le décile supérieur (dépassant le quantile à 90%), la note moyenne des garçons est 672 et celle des filles 649,

> mean(xm[xm>quantile(xm,.9)])
 672.7608
> mean(xf[xf>quantile(xf,.9)])
 649.281

Cette mesure est assez classique en tant que downside risk measure et permet de focaliser justement sur les queues de distribution (ce qui nous intéresse ici car on veut étudier les élites). Si on zoom dans la partie à droite (les meilleures notes), on obtient Mais il est difficile de faire des comparaisons avec d’autres pays sur ces graphiques. Par exemple, pour l’Australie, on obtient Pour comparer les pays entre eux, on peut regarder la différence entre la note moyenne, et le niveau du quantile à 99% (on va chercher la vraie élite, les 1% des meilleurs… car c’est manifestement ce qui été évoque dans l’article, et qui intéresse du monde sur les inégalités de richesse) L’élite en France est pas incroyablement meilleure que le cœur de la distribution, on en conviendra !

Si on compare un pays avec la France, on peut regarder la différence entre le quantile de niveau u (e.g. 50%, ou 90% ou 99%) entre ce pays et la France. En niveau absolu, ou en pourcentage.

> qpays("France",c(.5,.99))
Female     Male
50% 496.8141 507.5635
99% 691.0734 717.2885

Sur les graphique ci-dessous, on a le différence absolue à gauche et relative à droite, avec l’Allemagne en haut, et l’Australie en bas, On peut aussi regarder la Thaïlande et le Mexique (on est toujours en 2012) Regardons un peu la Thaïlande par exemple. Les élèves (scolarises) médians sont 50 points en dessous des élèves Français. Mais pour le top 1%, les notes sont comparables… Donc manifestement, la formation des élites semble fonctionner dans d’autres pays que la France. En Australie, les inégalités scolaires semble encore plus fortes : les élèves médians sont globalement moins bon en Australie qu’en France (disons 15 points en dessous), mais l’élite est au dessus (de presque 50 points quand on regarde le top 1%).

Cela dit, comme j’avais dit qu’il pouvait aussi être intéressant de regarder les fonctions de moyennes en excédant (plus que les quantiles), on peut comparer ces fonctions, Ici, les graphiques sont présentés en variation relative : au Mexique, la note moyenne d’une fille dans le top 20% (au dessus du quantile à 80%) est 17.5% plus faible qu’en France. On retrouve ici qu’en Australie par exemple, l’élite a – en moyenne – de meilleures notes qu’en France. Et en Thaïlande, plus on regarde les meilleurs élèves, plus les résultats sont comparables avec ceux des élèves français.

Qu’en est-il maintenant de l’évolution dans le temps ? Si on compare dans le temps, entre 2000 et 2012.

> sb2012=student2012[,c("PV1MATH","CNT","ST04Q01")]
> sb2000=math2000[,c("PV1MATH","CNT","ST03Q01")]
> sb2000=sb2000[!is.na(sb2000$PV1MATH),] > sb2000$cnt=tolower(sb2000$CNT) > sb2012$cnt=tolower(sb2012$CNT) > ext2000=function(py){ + x=sb2000[sb2000$cnt==py,"PV1MATH"]
+ v=c(mean(x),quantile(x,c(.1,.9)))
+ return(v)
+ }
> ext2012=function(py){
+ x=sb2012[sb2012$cnt==py,"PV1MATH"] + v=c(mean(x),quantile(x,c(.1,.9))) + return(v) + } > listepays2000=unique(sb2000$cnt)
> listepays2012=unique(sb2012$cnt) > R2000=sapply(listepays2000,ext2000) > R2012=sapply(listepays2012,ext2012) > D2000=data.frame(pays=listepays2000, + m2000=R2000[1,], + q12000=R2000[2,], + q92000=R2000[3,]) > D2012=data.frame(pays=listepays2012, + m2012=R2012[1,], + q12012=R2012[2,], + q92012=R2012[3,]) > D=merge(D2000,D2012) Si on fait un dessin proche de celui sur les revenus (avec les évolutions des moyennes en bâtons, des 10% les plus bas en rond, et des 10% les plus hauts en rond), on obtient Si effectivement le niveau moyen des étudiants baisse en France (comme dans plusieurs autres pays), on notera que l’idée que l’élite française s’en sort bien est un cliche sans réel fondement. Comparing quantiles for two samples Recently, for a research paper, I got some samples, and I wanted to compare them. Not to compare their means (by construction, all of them were centered) but there dispersion. And not their variance, but more their quantiles. Consider the following boxplot type function, where everything here is quantile related (which is not the case for standard boxplot, see http://freakonometrics.hypotheses.org/4138, in French) > boxplotqbased=function(x){ + q=quantile(x[is.na(x)==FALSE],c(.05,.25,.5,.75,.95)) + plot(1,1,col="white",axes=FALSE,xlab="",ylab="", + xlim=range(X),ylim=c(1-.6,1+.6)) + polygon(c(q,q,q,q),1+c(-.4,.4,.4,-.4)) + segments(q,1-.4,q,1+.4) + segments(q,1,q,1) + segments(q,1-.4,q,1+.4) + segments(q,1,q,1) + segments(q,1-.4,q,1+.4,lwd=2) + xt=x[(x<q)|(x>q)] + points(xt,rep(1,length(xt))) + axis(1) + } (one can easily adapt the code for lists, e.g.). Consider for instance temperature, when the (linear) trend is removed (see http://freakonometrics.hypotheses.org/1016 for a discussion on that series, in Paris), from January 1st till December 31st. Let us remove now the seasonal cycle, i.e. we do have here the difference with the average seasonal temperature (with here upper and lower quantiles), Seasonal boxplots are here (with Autumn on top, then Summer, Spring and Winter, below), If we zoom in, we do have (where upper and lower segments are 95% and 5% quantiles, while classically, boxes are related to the 75% and the 25% quantiles) Is there a (standard) test to compare quantiles – some of them perhaps ? Can we compare easily quantiles when have two (or more) samples ? Note that this example on temperature could be related to other old posts (see e.g. http://freakonometrics.hypotheses.org/2190), but the research paper was on a very different topic. Consider two (i.i.d.) samples and , considered as realizations of random variables and . In all statistical courses, tests on the average are always considered, i.e. against Usually, the idea in courses is to start with a one sample test, and to test something like against The idea is to assume that samples are from Gaussian variables, Under has a Student t distribution. All that can be found in any Statistics 101 course. We can derive value, computing probabilities that exceeds the observed values (for two sided tests, the probability that the absolute value of exceed the absolute value of the observed statistics). This test is closely related to the construction of confidence intervals for . If belongs to the confidence interval, then it might be a suitable value. The graphical representation of this test is related to the following graph Here the observed value was 1,96, i.e. the value (the area in red above) is exactly 5%. To compare means, the standard test is based on which has – under – a Student-t distribution, with degrees of freedom, where Here, the graphical representation is the following, But tests on quantiles are rarely considered in statistical courses. In a general setting,define quantiles as one might be interested to test against for some . Note that we might be interested also to test if for all , for some vector of probabilities . One can imagine that this multiple test will be more complex. But more interesting, e.g. a test on boxplots (are the four quantiles equal ?). Let us start with something a bit more simple: a test on quantiles for one sameple, and the derivation of a confidence interval for quantiles. • Quantiles for one sample The important idea here is that it should be extremely simple to get values. Consider the following sample, and let us run a test to assess if the median can be zero. > set.seed(1) > X=rnorm(20) > sort(X)  -2.21469989 -0.83562861 -0.82046838 -0.62645381 -0.62124058 -0.30538839  -0.04493361 -0.01619026 0.18364332 0.32950777 0.38984324 0.48742905  0.57578135 0.59390132 0.73832471 0.82122120 0.94383621 1.12493092  1.51178117 1.59528080 > sum(X<=0)  8 Here, 8 observations (out of 20, i.e. 40%) were below zero. But we do know the distribution of the number of observation below the target It is a binomial distribution. Under , it is a binomial distribution where is the probability target (here 50% since the test is on the median). Thus, one can easily compute the -value, > plot(n,dbinom(n,size=20,prob=0.50),type="s",xlab="",ylab="",col="white") > abline(v=sum(X<=0),col="red") > for(i in 1:sum(X<=0)){ + polygon(c(n[i],n[i],n[i+1],n[i+1]), + c(0,rep(dbinom(n[i],size=20,prob=0.50),2),0),col="red",border=NA) + polygon(21-c(n[i],n[i],n[i+1],n[i+1]), + c(0,rep(dbinom(n[i],size=20,prob=0.50),2),0),col="red",border=NA) + } > lines(n,dbinom(n,size=20,prob=0.50),type="s") which yields Here, the -value is > 2*pbinom(sum(X<=0),20,.5)  0.5034447 Here the probability is easy to compute. But one can observe that there is some kind of disymmetry here. Actually, if the observed value was not 8, but 12, some minor changes should be done (to keep some symmetry), > plot(n,dbinom(n,size=20,prob=0.50),type="s",xlab="",ylab="",col="grey") > abline(v=20-sum(X<=0),col="red") > for(i in 1:sum(X<=0)){ + polygon(c(n[i],n[i],n[i+1],n[i+1])-1, + c(0,rep(dbinom(n[i],size=20,prob=0.50),2),0),col="red",border=NA) + polygon(21-c(n[i],n[i],n[i+1],n[i+1])-1, + c(0,rep(dbinom(n[i],size=20,prob=0.50),2),0),col="red",border=NA) + } > lines(n-1,dbinom(n,size=20,prob=0.50),type="s") Based on those observations, one can easily write a code to test if the -quantile of a sample is . Or not. For a two sided test, consider > quantile.test=function(x,xstar=0,pstar=.5){ + n=length(x) + T1=sum(x<=xstar) + T2=sum(x< xstar) + p.value=2*min(1-pbinom(T2-1,n,pstar),pbinom(T1,n,pstar)) + return(p.value)} Here, we have > quantile.test(X)  0.5034447 Now, based on that idea, due to the duality between confidence intervals and tests, one can easily write a function that computes confidence interval for quantiles, > quantile.interval=function(x,pstar=.5,conf.level=.95){ + n=length(x) + alpha=1-conf.level + r=qbinom(alpha/2,n,pstar) + alpha1=pbinom(r-1,n,pstar) + s=qbinom(1-alpha/2,n,pstar)+1 + alpha2=1-pbinom(s-1,n,pstar) + c.lower=sort(x)[r] + c.upper=sort(x)[s] + conf.level=1-alpha1-alpha2 + return(list(interval=c(c.lower,c.upper),confidence=conf.level))} > quantile.interval(X,.50,.95)$interval
 -0.3053884  0.7383247

\$confidence
 0.9586105

Because of the use of non-asymptotic distributions, we can not get exactly a 95% confidence interval. But it is not that bad, here.

• Comparing quantiles for two samples

Now, to compare quantiles for two samples… it is more complicated. Exact tests are discussed in Kosorok (1999) (see http://bios.unc.edu/~kosorok/…) or in Li, Tiwari and Wells (1996) (see http://jstor.org/…). For the computational aspects, as mentioned in a post published almost one year ago on http://nicebread.de/… there is a function to compare quantiles for two samples.

> install.packages("WRS")
> library("WRS")

Some multiple tests on quantiles can be performed here. For instance, on the temperature, if we compare quantiles for Winter and Summer (on only 1,000 observations since it can be long to run that function), i.e. 5%, 25%, 75% and 95%,

> qcomhd(Z1[1:1000],Z2[1:1000],q=c(.05,.25,.75,.95))
q   n1   n2      est.1      est.2 est.1_minus_est.2     ci.low     ci.up     p_crit p.value signif
1 0.05 1000 1000 -6.9414084 -6.3312131       -0.61019530 -1.6061097 0.3599339 0.01250000   0.220     NO
2 0.25 1000 1000 -3.3893867 -3.1629541       -0.22643261 -0.6123292 0.2085305 0.01666667   0.322     NO
3 0.75 1000 1000  0.5832394  0.7324498       -0.14921041 -0.4606231 0.1689775 0.02500000   0.338     NO
4 0.95 1000 1000  3.7026388  3.6669997        0.03563914 -0.5078507 0.6067754 0.05000000   0.881     NO

or if we compare quantiles for Winter and Summer

> qcomhd(Z1[1:1000],Z3[1:1000],q=c(.05,.25,.75,.95))
q   n1  n2      est.1     est.2 est.1_minus_est.2     ci.low       ci.up     p_crit p.value signif
1 0.05 1000 984 -6.9414084 -6.438318        -0.5030906 -1.3748624  0.39391035 0.02500000   0.278     NO
2 0.25 1000 984 -3.3893867 -3.073818        -0.3155683 -0.7359727  0.06766466 0.01666667   0.103     NO
3 0.75 1000 984  0.5832394  1.010454        -0.4272150 -0.7222362 -0.11997409 0.01250000   0.012    YES
4 0.95 1000 984  3.7026388  3.873347        -0.1707078 -0.7726564  0.37160846 0.05000000   0.539     NO

(the following graphs are then plotted)  Those tests are based on the procedure proposed in Wilcox, Erceg-Hurn,  Clark and Carlson (2013), online on http://tandfonline.com/…. They rely on the use of bootstrap samples. The idea is quite simple actually (even if, in the paper, they use Harrell–Davis estimator to estimate quantiles, i.e. a weighted sum of ordered statistics – as described in http://freakonometrics.hypotheses.org/1755 – but the idea can be understood with any estimator): we generate several bootstrap samples, and compute the median for all of them (since our interest was initially on the median)

>  Q=rep(NA,10000)
>  for(b in 1:10000){
+  Q[b]=quantile(sample(X,size=20,replace=TRUE),.50)
+  }

Then, to derive a confidence interval (with, say, 95% confidence), we compute quantiles of those median estimates,

> quantile(Q,c(.025,.975))
2.5%     97.5%
-0.175161  0.666113

We can actually visualize the distribution of that bootstrap median,

> hist(Q) Now, if we want to compare medians from two independent samples, the strategy is rather similar: we bootstrap the two samples – independently – then compute the median, and keep in mind the difference. Then, we will look if the difference is significantly different from 0. E.g.

> set.seed(2)
> Y=rnorm(50,.6)
> QX=QY=D=rep(NA,10000)
> for(b in 1:10000){
+ QX[b]=quantile(sample(X,size=length(X),replace=TRUE),.50)
+ QY[b]=quantile(sample(Y,size=length(Y),replace=TRUE),.50)
+ D[b]=QY[b]-QX[b]
+ }

The 95% confidence interval obtained from the bootstrap difference is

> quantile(D,c(.025,.975))
2.5%      97.5%
-0.2248471  0.9204888 which is rather close to was can be obtained with the R function

> qcomhd(X,Y,q=.5)
q n1 n2    est.1     est.2 est.1_minus_est.2    ci.low     ci.up p_crit p.value signif
1 0.5 20 50 0.318022 0.5958735        -0.2778515 -0.923871 0.1843839   0.05    0.27     NO

(where the difference is here the oppositive of mine). And when testing for 2 (or more) quantiles, Bonferroni method can be used to take into account that those tests cannot be considered as independent.

Bounding sums of random variables, part 2

It is possible to go further, much more actually, on bounding sums of random variables (mentioned in the previous post). For instance, if everything has been defined, in that previous post, on distributions on , it is possible to extend bounds of distributions on . Especially if we deal with quantiles. Everything we’ve seen remain valid. Consider for instance two  distributions. Using the previous code, it is possible to compute bounds for the quantiles of the sum of two Gaussian variates. And one has to remember that those bounds are sharp.

> Finv=function(u) qnorm(u,0,1)
> Ginv=function(u) qnorm(u,0,1)
> n=1000
> Qinf=Qsup=rep(NA,n-1)
> for(i in 1:(n-1)){
+ J=0:i
+ Qinf[i]=max(Finv(J/n)+Ginv((i-J)/n))
+ J=(i-1):(n-1)
+ Qsup[i]=min(Finv((J+1)/n)+Ginv((i-1-J+n)/n))
+ }

Actually, it is possible to compare here with two simple cases: the independent case, where the sum has a  distribution, and the comonotonic case where the sum has a  distribution.

>  lines(x,qnorm(x,sd=sqrt(2)),col="blue",lty=2)
>  lines(x,qnorm(x,sd=2),col="blue",lwd=2)

On the graph below, the comonotonic case (usually considered as the worst case scenario) is the plain blue line (with here an animation to illustrate the convergence of the numerical algorithm) Below that (strong) blue line, then risks are sub-additive for the Value-at-Risk, i.e.

but above, risks are super-additive for the Value-at-RIsk. i.e.

(since for comonotonic variates, the quantile of the sum is the sum of quantiles). It is possible to visualize those two cases above, in green the area where risks are super-additive, while the yellow area is where risks are sub-additive. Recall that with a Gaussian random vector, with correlation  then the quantile is the quantile of a random variable centered, with variance . Thus, on the graph below, we can visualize case that can be obtained with this Gaussian copula. Here the yellow area can be obtained with a Gaussian copulas, the upper and the lower bounds being respectively the comonotonic and the countermononic cases. But the green area can also be obtained when we sum two Gaussian variables ! We just have to go outside the Gaussian world, and consider another copula.

Another point is that, in the previous post,  was the lower Fréchet-Hoeffding bound on the set of copulas. But all the previous results remain valid if  is alower bound on the set of copulas of interest. Especially

for all  such that . For instance, if we assume that the copula should have positive dependence, i.e. , then

Which means we should have sharper bounds. Numerically, it is possible to compute those sharper bounds for quantiles. The lower bound becomes

while the upper bound is

Again, one can easily compute those quantities on a grid of the unit interval,

> Qinfind=Qsupind=rep(NA,n-1)
> for(i in 1:(n-1)){
+  J=1:(i)
+  Qinfind[i]=max(Finv(J/n)+Ginv((i-J)/n/(1-J/n)))
+  J=(i):(n-1)
+  Qsupind[i]=min(Finv(J/n)+Ginv(i/J))
+ }

We get the graph below (the blue area is here to illustrate how sharper those bounds get with the assumption that we do have positive dependence, this area been attained only with copulas exhibiting non-positive dependence) For high quantiles, the upper bound is rather close to the one we had before, since worst case are probably obtained when we do have positive correlation. But it will strongly impact the lower bound. For instance, it becomes now impossible to have a negative quantile, when the probability exceeds 75% if we do have positive dependence…

> Qinfind[u==.75]
 0

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement où Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant, • L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

• L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e. avec une fonction strictement croissante. Alors • … mais ce n’est pas un “worst case

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si (la classe de Fréchet), alors et En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque si En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e. pour tout et . Alors dans ce cas, pour tout , (la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou ) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

• Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si et , où, pour être plus précis,  est valide pour tout quelle que soit la structure de dépendance entre et , où Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk, pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour  la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge. On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si alors pour tout   désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2), en posant , et On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou , par exemple).