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2017-2018, ensae, ENSAE - assurance non-vie

Données sinistres, devoir Actuariat (ENSAE)

04/12/2017 Arthur Charpentier Leave a comment

Pour le dernier devoir du cours d’actuariat non-vie, à l’ENSAE, quelques données de sinistres. Pour plusieurs milliers de sinistres (garantie dommages tous accidents issu d’un portefeuille automobile d’une société française) on a les données suivantes, entre 1995 et 2014,

id_sin: identifiant du sinistres (les 4 premiers caractères représentent l’exercice de survenance)
an_surv: exercice de survenance
an_gest: exercice de gestion
etat_sin: code état du sinistre à la fin de l’exercice de gestion (1=mis en jeu, 2= cloture partielle, 3 = cloture totale, 4 = réouvert et 5 = cloture sans suite)
pmt: paiements effectués sur le sinistre à la fin de l’exercice de gestion
rec: recours encaissés sur le sinistre à la fin de l’exercice de gestion
eval_pmt: évaluation des paiements (réglés+à venir) vue à la fin de l’exercice de gestion
eval_rec: évaluation des recours (réglés+à venir) vue à la fin de l’exercice de gestion

Pour information complémentaire, on dispose des éléments d’information suivants, sur le portefeuille

Exercice	Volume portefeuille (garanties années)	Chiffre d’affaires (€)	Nb sinistres survenus dans l’année
2014	303 900	45 900 000	41 678
2013	296 500	45 700 000	41 639
2012	295 600	44 000 000	42 815
2011	292 000	41 200 000	43 351
2010	282 900	40 700 000	45 276
2009	274 300	39 800 000	42 779
2008	263 800	41 900 000	38 941
2007	256 200	41 200 000	38 048
2006	250 800	42 400 000	38 603
2005	239 100	41 100 000	37 539
2004	226 800	37 900 000	34 728
2003	220 300	39 200 000	34 491
2002	211 400	35 500 000	35 984
2001	202 400	34 800 000	36 322
2000	193 400	34 000 000	36 186
1999	184 500	32 300 000	34 123
1998	175 500	29 800 000	30 517
1997	166 500	28 000 000	28 432
1996	157 500	26 500 000	26 852
1995	148 600	25 700 000	26 775

La base complète est dans le fichier ensae2017.zip. Nous reviendrons sur les attendus lors du prochain cours.

2015-2016, ensae

Actuariat de l’Assurance Non-Vie #11

06/01/2016 Arthur Charpentier Leave a comment

Pour le onzième (et dernier) chapitre du cours d’actuariat de l’assurance non-vie à l’ENSAE, on va finir d’étudier les modèles de provisionnement (provisions pour sinistres à payer) avec les modèles de régression et les modèles bayésien. Je n’aurais pas le temps d’aborder cette année le provisionnement sur données individuelles. Les slides sont en ligne (la version pdf téléchargeable est comme souvent plus complète que celle sur slideshare)

2013, ACT2040, Actuarial science, Automne, Course

Claims reserving (introduction)

11/11/2013 Arthur Charpentier Leave a comment

Mercredi, on commence la modélisation du passif des compagnies d’assurance IARD. Plus particulièrement, nous parlerons des provisions pour sinistres à payer, ou “provision for claims outstanding (PCO)” selon la terminologie anglaise, i.e. “the estimated total cost of ultimate settlement of all claims incurred before the date of record, whether reported or not, less any amounts already paid out in respect thereof.” Je renvoie à la lecture de Le contrôle de la solvabilité des compagnies d’assurance en ligne sur le site de l’OCDE, pour une vision globale des approches de ces provisions. La SOA avait publié un rapport en 2009, Comparison of Incurred But Not Reported IBNR Methods que j’encourage à lire.

Le livre de référence sur le sujet est celui de Mario Wüthrich et Michael Merz. Les premiers chapitres (correspondant a ce qui sera vu en cours) peuvent être téléchargés sur http://actuaries.ch/…

Nous aborderons mercredi les triangles. Parmi les triangles que nous manipulerons

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/bases.R")

qui contient plusieurs fichiers, dont

> PAID
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345 5338 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217   NA   NA   NA   NA   NA

ainsi que le triangle évoqué sur http://rworkingparty.wikidot.com/

> OthLiabData = read.csv("http://www.casact.org/research/reserve_data/othliab_pos.csv",header=TRUE, sep=",")
> library(ChainLadder)
> OL = SumData=ddply(OthLiabData,.(AccidentYear,DevelopmentYear,DevelopmentLag),summarise,IncurLoss=sum(IncurLoss_h1-BulkLoss_h1),
+ CumPaidLoss=sum(CumPaidLoss_h1), EarnedPremDIR=sum(EarnedPremDIR_h1))
> LossTri = as.triangle(OL, origin="AccidentYear",
+ dev = "DevelopmentLag", value="IncurLoss")
> Year = as.triangle(OL, origin="AccidentYear",
+ dev = "DevelopmentLag", value="DevelopmentYear")
> TRIANGLE=LossTri
> TRIANGLE[Year>1997]=NA
> TRIANGLE
      dev
origin      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10
  1988 128747 195938 241180 283447 297402 308815 314126 317027 319135 319559
  1989 135147 208767 270979 304488 330066 339871 344742 347800 353245     NA
  1990 152400 238665 297495 348826 359413 364865 372436 372163     NA     NA
  1991 151812 266245 357430 400405 423172 442329 460713     NA     NA     NA
  1992 163737 269170 347469 381251 424810 451221     NA     NA     NA     NA
  1993 187756 358573 431410 476674 504667     NA     NA     NA     NA     NA
  1994 210590 351270 486947 581599     NA     NA     NA     NA     NA     NA
  1995 213141 351363 444272     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA
  1996 237162 378987     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA
  1997 220509     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA

Les transparents sont en ligne,

Pour les lectures complémentaires, Best Estimates for Reserves de Glen Barnett et Ben Zehnwirth est téléchargeable sur http://casact.org/pubs/…. En 2004 , Ben Zehnwirth, Julie Sims et Mark Shapland ont publié Will Your Next Reserve Increase Be Your Last (en ligne sur http://contingencies.org/janfeb04/…) Lors des prochaines séances, nous aborderons les méthodes par simulations. J’encourage la lecture de about the bootstrap, http://insureware.com/Library/… Sinon, des compléments plus spécifiques sont téléchargeables,

The Chain Ladder and Tweedie Distributed Claims Data par Greg Taylor
Chain-Ladder Bias: Its Reason and Meaning par Leigh Joseph Halliwell
Estimating Predictive Distributions for Loss Reserve Models par Glenn Meyers
Using a Bayesian Approach for Claims Reserving par Mario Wuthrich
Obtaining Predictive Distributions for Reserves Which Incorporate Expert Opinion par Richard Verrall
Loss Reserve Estimates: A Statistical Approach for Determining “Reasonableness” par Mark Shapland
Munich Chain Ladder: A Reserving Method that Reduces the Gap between IBNR Projections Based on Paid Losses and IBNR Projections Based on Incurred Losses par Gerhard Quarg et Thomas Mack
The Bornhuetter-Ferguson Principle par Klaus Schmidt et Mathias Zocher
On the Importance of Dispersion Modeling for Claims Reserving: An Application with the Tweedie Distribution par Jean-Philippe Boucher et Danail Davidov
Quantifying Uncertainty in Reserve Estimates par Zia Rehman et Stuart Klugman
Robustifying Reserving par Gary Venter et Dumaria Rulina Tampubolon, voir aussi Robustifying Reserving
Bootstrap Estimation of the Predictive Distributions of Reserves Using Paid and Incurred Claims par Huijuan Liu et Richard Verrall
Predictive Distributions for Reserves Which Separate True IBNR and IBNER Claims par Huijuan Liu et Richard Verrall
The Retrospective Testing of Stochastic Loss Reserve Models, par Glenn Meyers
A GLM-Based Approach to Adjusting for Changes in Case Reserve Adequacy par Larry Decker
A Method for Modelling Varying Run-off Evolutions in Claims Reserving par Richard Verrall
A Nonlinear Regression Model of Incurred But Not Reported Losses par Scott Stelljes
Back-Testing the ODP Bootstrap of the Paid Chain-Ladder Model with Actual Historical Claims Data par Jessica (Weng Kah) Leong, Shaun Wang et Han Chen
A Practical Way to Estimate One-Year Reserve Risk par Ira Robbin
Closed-Form Distribution of Prediction Uncertainty in Chain Ladder Reserving by Bayesian Approach par Ji Yao
The Prediction Error of Bornhuetter-Ferguson par Thomas Mack
Stochastic Loss Reserving with the Collective Risk Model par Glenn Meyers
On the Accuracy of Loss Reserving Methodology par Tapio Boles et Andy Staudt
Bootstrapping Generalized Linear Models for Development Triangles Using Deviance Residuals par Thomas Hartl
Fitting a GLM to Incomplete Development Triangles par Thomas Hartl
Gauss—Markov Loss Prediction in a Linear Model par Alexander Ludwig et Klaus Schmidt
Anatomy of Actuarial Methods of Loss Reserving par Prakash Narayan
Bootstrap Modeling: Beyond the Basics par Mark R. Shapland et Jessica (Weng Kah) Leong
GLM Invariants par Fred Klinker
The Retrospective Testing of Stochastic Loss Reserve Models par Glenn Meyers et Peng Shi
A GLM-Based Approach to Adjusting for Changes in Case Reserve Adequacy par Larry Decker
Testing the Assumptions of Age-to-age Factors, par Gary Venter, voir aussi http://rationalargumentator.com/actuaryguide/…

2013, ACT2040, Actuarial science, Hiver, IBNR

Triangles et provisionnement

11/03/2013 Arthur Charpentier Leave a comment

La première partie du cours sur le provisionnement (calcul des provisions pour sinistres à payer) aura lieu dans 10 jours. Les transparents sont en ligne ici, et portent sur la construction des triangles de paiements. La méthode chain ladder (et la formalisation proposée par Thomas Mack) ainsi que les extensions seront présentées. La seconde partie portera sur les méthodes basées sur la régression de Poisson.

2011, ACT2040, Actuarial science, IBNR

Chain ladder

29/11/2011 Arthur Charpentier 3 Comments

Pour la fin du cours, on a commencé à voir la méthode dite Chain Ladder. Pour cela, rappelons que l’on dispose du jeu de données suivants, de paiements cumulés,

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/bases.R")
> PAID
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345 5398 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217   NA   NA   NA   NA   NA
> PAID/PREMIUM
       [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]
[1,] 0.6989 0.9522 0.9607 0.9644 0.9660 0.9705
[2,] 0.7206 0.9972 1.0051 1.0102 1.0124     NA
[3,] 0.7960 1.0991 1.1100 1.1145     NA     NA
[4,] 0.8191 1.1433 1.1632     NA     NA     NA
[5,] 0.8688 1.1976     NA     NA     NA     NA
[6,] 0.8112     NA     NA     NA     NA     NA

si on visualise l’évolution du ratio sinistre/primes. On peut visualiser les facteurs de transition dans le tableau ci-dessous,

> PAID[,2:6]/PAID[,1:5]
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
[1,] 1.362418 1.008920 1.003854 1.001581 1.004735
[2,] 1.383724 1.007942 1.005111 1.002119       NA
[3,] 1.380780 1.009916 1.004076       NA       NA
[4,] 1.395848 1.017407       NA       NA       NA
[5,] 1.378373       NA       NA       NA       NA
[6,]       NA       NA       NA       NA       NA

Toutefois, pour faire le ratio moyen, on ne fait pas la moyenne des ratios, ou alors à condition de pondérer correctement, par exemple pour passer de la première à la seconde ligne du tableau,

> k=1
> weighted.mean(x=PAID[,k+1]/PAID[,k],w=PAID[,k],na.rm=TRUE)
[1] 1.380933
> sum(PAID[1:(6-k),k+1])/sum(PAID[1:(6-k),k])
[1] 1.380933

En itérant, on récupère l’ensemble des coefficients de transition,

> lambda=rep(NA,5)
> for(k in 1:5){
+ lambda[k]=(sum(PAID[1:(6-k),k+1])/sum(PAID[1:(6-k),k]))}
> lambda
[1] 1.380933 1.011433 1.004343 1.001858 1.004735

Une fois récupérés tous les coefficients de transition, on peut compléter la partie inférieure du triangle (ou de la matrice),

> PROJECTION=PAID
> for(k in 1:5){
+ PROJECTION[((7-k):6),k+1]=PROJECTION[((7-k):6),k]*lambda[k]
+ print(PROJECTION)}
[,1]     [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794.000   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217 7204.327   NA   NA   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672   NA   NA   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691   NA   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147   NA   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518   NA   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456.000
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000 4752.397
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072 5455.784
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383 6086.065
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344 6947.084
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939 7366.656

où on visualise, étape par étape, le remplissage de la partie inférieure de la matrice. La dernière colonne contient des prédictions des charges ultimes, par année de survenance, et sur la diagonale, on a toujours le montant de paiements déjà effectués par année de survenance. Le montant de provision est alors la différence entre ce que l’on pense payer, et ce que l’on a déjà payé.

> PROJECTION[,6]-diag(PAID[,6:1])
[1]    0.00   22.3968   35.7838   66.0646  153.0835 2149.6564
> sum(PROJECTION[,6]-diag(PAID[,6:1]))
[1] 2426.985

reserving

Provisionnement et règle de trois

25/02/2010 Arthur Charpentier Leave a comment

Longtemps, dans les formations d’actuariat, le provisionnement était un sujet traité en 2 heures, car malgré son importance stratégique dans les résultats d’une entreprise d’assurance, il ne s’agissait que d’une “règle de trois“.

De l’importance des provisions en assurance

D’un point de vue comptable, les provisions pour sinistres à payer sont une quantification des engagements pris par l’assureur envers ses assurés. En reprenant des vieux tableaux dans l’Argus, avec une compagnie d’assurance spécialisée en grands risques (AXA Corporate Solutions), une mutuelle (MAIF), et une autre société anonyme (Groupama), on obtient

Pour les grands risques, on notera que le montant de provision (plus de 5 milliards) est plus de 3 fois supérieur au montant des primes encaissées (1,5 milliards). Aussi, si l’on pense qu’il faut augmenter de 5% le montant des provisions (ce qui pourrait paraître acceptable à un statisticien) il faudrait augmenter le chiffre d’affaire de 15%.

Histoire de la “règle de trois“

Le Petit Robert prétendait que l’expression « règle de trois » remontrait à 1538, même si le résultat sous-jacent est tout simplement le théorème de Thalès… Les manuels d’arithmétiques expliquaient ainsi que “la règle de trois est la méthode servant à résoudre les problèmes dans lesquels, étant données des grandeurs pouvant former les trois termes d’une proportion, on demande de trouver le quatrième terme“. On peut retrouver beaucoup plus d’infos sur le site images des mathématiques (ici) ou (là), où on trouve d’ailleurs cette illustration,

La “règle de trois” est aussi le premier souvenir de raisonnement mathématique exposée par Paul Lévy dans sa biographie (“quelques aspects de la pensée d’un mathématicien“), lorsqu’il raconte qu’à 7 ans, il tenait la main d’une fille de 12 ans, il était surpris de lever la main. En effet, certes la jeune fille était plus grande que lui, mais son bras devait également être plus grand. Il compris alors le principe des règles de proportionnalité.
Bref, comme toujours, les actuaires ont inventé un nouveau mot pour la “règle de trois” (je renvoie à un vieux papier de Claude Bébéar sur la novlangue utilisée par les actuaires, ici, mais je reviendrais longuement sur le jargon une autre fois).

Les méthodes de provisionnement: Chain Ladder

J’avais évoqué il y a quelques temps les travaux d’Eugène Astesan (ici), précurseur de la méthode Chain Ladder, même si l’estimateur qu’il avait alors proposé n’était pas celui de variance minimale dans la classe des estimateurs. Les premiers travaux sur les modèles stochastiques de provisionnement ont chercher à justifier la règle de trois, par exemple via le papier de Thomas Mack “which stochastic model is underlying the chain ladder method” (ici).
Pour venir deux minutes sur la méthode “chain ladder“, par exemple à l’aide du triangle suivant, on peut estimer les montants à payer (dans la partie inférieure) via une simple règle de trois. Considérons le triangle suivant, tiré du livre de Partar, Lecoeur, Nessi, Nisipasu et Reiz

Pour la seconde colonne, on fait une simple règle de trois, en calculant les sommes sur chacune des colonnes,

Aussi, ici,

i.e.

117,945 = 56,762 x 440,438 / 211,961

On peut ensuite passer à la troisième colonne, puis la quatrième, etc. La règle de trois donne ici

Voici pour la méthode dite “chain ladder“. Et Thomas Mack a été le premier à essayer de quantifier l’erreur de prédiction commise en utilisant cet estimateur. En particulier, les travaux théoriques des années 90 ont essayer d’étudier l’incertitude associée à l’estimation de la charge ultime, calculée aujourd’hui. Comme le notait un article paru dans l’Argus, les compagnies d’assurance qui utilisaient ces techniques étaient encore rares il y a 5 ans (et celles qui le faisaient cherchaient également à le faire savoir, ici). Mais les derniers documents (ici ou là) partent sur un objectif radicalement différent, que j’exposerais d’ici quelques jours, en revenant sur la novlangue des récents papiers sur le provisionnement..

Freakonometrics