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Reprise du cours de Statistique

Le cours de statistique a repris cette semaine. Parmi les références qui peuvent être utiles (certains ouvrages sont disponibles en pdf, mais il semble illégal de pointer vers les pdf)

J’en profite pour mettre en ligne une série d’exercices de proba. Ce sont des QCM, et je n’ai pas mis les réponses. Mais si vous bloquez sur un exercice, dites le moi, on le fera en cours. La semaine prochaine, on prévoira deux heures pour faire quelques exercices.

Petit exercice de proba

Mardi dernier, on avait fait une série d’exercices de proba, et je voulais reprendre un exercice pour lequel j’avais proposé une vérification sur ordinateur.

Pour résoudre l’exercice, j’avais suggéré la méthode suivante. est tiré parmi , alors que est tiré parmi .  On note assez facilement que le plus petit nombre est , et comme le ppcm de  et  est ,

(je laisse faire les calculs pour montrer qu’effectivement, au delà, on n’est plus dans les ensembles de départ). Bref, seuls  nombres figurent dans les deux ensembles. La probabilité que l’on cherche est alors donnée par

où on somme sur nos  nombres. On a alors

où chacune des probabilités vaut  (on a une chance sur  de tomber sur n’importe quel nombre), et on a une somme de  termes. Donc la probabilité que l’on cherche est

Pour le vérifier, on peut utiliser le petit code (R) suivant

> list_X=seq(2,by=3,length=100)
> list_Y=seq(3,by=4,length=100)
> n=1e8
> x=sample(list_X,size=n,replace=TRUE)
> y=sample(list_Y,size=n,replace=TRUE)
> sum(x==y)/n
[1] 0.00250221

qui confirme le petit calcul que l’on vient de faire.

Statistiques, rappels de probas

Avant de commencer les travaux pratiques de vendredi, quelques rappels sur les notions de convergence.

  • Convergence en loi

Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png une suite de variables aléatoires, de telle sorte que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver62.png soit la fonction de répartition de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv99.png. On dira que la suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en loi vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png de loi http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6%c3%b4.png

en tout point de continuité de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png. On notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png

La convergence en loi est la forme la plus faible de convergence: en général, elle n’implique pas les autres formes de convergence que nous verrons, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi.

De manière équivalente, on aura convergence en loi si et seulement si, pour toute fonction bornée

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver54.png

En particulier, on aura convergence en loi si et seulement si on a convergence des fonctions génératrice en tout point.

  • Convergence en probabilité

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conv50.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver4.png

Parmi les résultats classiques, on a aussi que si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver40.png

et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver31.png

alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver30.png. C’est ce mode de convergence qui intervient dans la loi faible des grands nombres.
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver26.png est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver27.png et de variance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver28.png et que l’on considére la moyenne empirique

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver24.png

alors  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver22.png et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver21.png

Donc http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv98.png.

  • Convergence presque sure

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver13.png

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver12.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png

La convergence presque sûre implique une convergence en probabilité.
La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.

  • Convergences L1 et L2

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en norme L1 vers la variable aléatoire X si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver11.png

et on parlera de convergence en moyenne quadratique, ou L2, si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver10.png
  • Convergences et transformations

Comme nous le (re)verrons vendredi matin, la transformation des variables aléatoires est un point fondamental en statistique. Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver7.png une fonction continue en tout point d’un ensemble http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver9.png tel que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver8.png, alors
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver5.png
si http://freakonometrics.free.fr<br />
/blog/latex/conver4.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver3.png
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/converg1.png
Pour aller plus loin sur les notions de convergence, je renvois au livre de Adrianus Willem van der Vaart, Asymptotic Statistics, paru chez Cambridge University Press.

  • Transformations

Sinon sur les transformations, je devrais présenter (en cours) la formule classique de transformation d’une variable à densité par une fonction bijective et dérivable, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar999.png. La formule est de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changementvar1.png

En fait, si on se souvient que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar3.png, ou http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar4.png, on peut aussi écrire

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar2.png

L’intérêt de cette relation est qu’elle peut se généraliser en dimension quelconque. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar99.png (toujours avec une transformation bijective possédant un Jacobien http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changecar8.png strictement positif), on a

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar5.png

avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar7.png. Je peux renvoyer ici pour quelques compléments (et exemples). Mais nous reviendrons plus tard sur le cas multivarié…