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Mais d’où sort la loi de Pareto ?

Un billet pour Jean François qui me demandait d’où sortait vraiment la loi de Pareto… Je ne reviendrais pas sur les applications de la loi de Pareto ici (je peux renvoyer à un ancien billet sur les applications en réassurance ici par exemple), si ce n’est pour noter que l’on apprend des choses surprenantes sur internet. Par exemple dans l’article sur la théorie du portefeuille de Wikipedia (ici) on apprend que dans le modèle moyenne-variance, les rendements sont supposés suivre une loi de Pareto…

Mais passons. La question de Jean François était sur l’origine de la loi de Pareto, et sur son lien avec la règle du 80-20. Pour les amateurs d’italien, on peut trouver les premières traces de la loi dans

(partiellement en ligne ici). Malheureusement, mes compétences en italien sont (très) limitées. Mais pour faire simple Vilfredo Pareto propose une loi en fonction puissance pour modéliser les revenus, en 1895,

Il fait également de l’estimation de son indice de queue (en calculant la pente dans le Pareto-plot comme on dirait maintenant)

Pour la version en français, on peut trouver la première apparition de la loi dans

(que l’on peut lire ici). Là encore, une illustration sur les revenus est proposée,

Le point de départ est une relation affine entre le logarithme de la fonction de répartition (ou plutôt de survie) et le logarithme du revenu,
et là encore une application est proposée (il me semble que la différence d’un point – environ – entre la version en italien et la version en français vient du fait qu’il travaille ici sur les fonctions de répartition, alors qu’auparavant, il travaillait davantage sur les densités),

Il propose alors une interprétation en terme de quantile (ce qui a été traduit par la loi du 80-20),

Alors il semble toutefois que Pareto n’est jamais explicitement noté que 20% des gens possédaient 80% de la richesse (qui a donné naissance au principe 80-20), ce qui pourrait sous-entendre que Pareto aurait devancé les travaux de Lorenz.Ce nom 80-20 semble avoir été attribué par Joseph Juran en 1954, dans un article “Pareto, Lorenz, Cournot, Bernoulli and others“. Il s’en est repenti (et excusé) par la suite, dans un mea culpa (ici).
Bref, tout cela a des implications évidentes sur les politiques de redistribution de la richesse, et donc sur la façon dont doit être mis en place un système d’impôts sur le revenus… Mais c’est une autre histoire…

Les modèles en réassurance

Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.

Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base

> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";")
> head(sinpe)
      DSUR  MNTPE
1 19850206 240439
2 19851228 125674
3 19850504 488331
4 19851118 457347
5 19850220 990919
6 19851214 182939
> annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4))
> sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992]
> XS=sinistres/100000

On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient

> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d")
> jour=datesur[annee>1992]
> plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600))
> ded=50
> abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,

> library(evir)
> n=length(X)
> plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)),
+ xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8)
> out <- gpd(XS, 15)
> XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
> x0=seq(2,8,.01)
> lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,

> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”

> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0;  seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))

Optimum de Pareto

Les exercices de la PC8 sont en ligne ici et (merci à Yukio pour la dernière feuille), et ceux de la PC9 ici.

  • Définition de l’optimalité au sens de Pareto

Tout d’abord, pour la petite histoire, Wilfredo Pareto (1848-1923) a pris la suite de Walras à la chaire d’économie politique à l’Université de Lausanne quand celui-ci est parti à la retraite. C’est dans son « Manuel d’économie politique » que se trouve son apport décisif sur l’optimum économique. D’abord, en passant de l’hypothèse walrasienne de cardinalité à celle d’ordinalité des préférences et de l’utilité, ce qui l’amène à privilégier la notion de courbes d’indifférence qu’il emprunte aux travaux d’Edgeworth. Ensuite, et surtout, il va introduire un critère de définition de l’optimum économique.
Le critère d’optimalité paretienne est proche de la conception utilitariste de la justice sociale héritée de John Bentham (et donc dans l’individualisme): une allocation Pareto-optimale est nécessairement « individuellement rationnelle » en ce sens que chaque agent la préfère à sa dotation initiale. Or, une allocation individuellement rationnelle n’est pas toujours « équitable » en ce sens qu’un agent au moins peut avoir envie d’une allocation obtenue par un autre agent. Pour dépasser les limites du critère paretien, d’autres conceptions de l’équité que l’utilitarisme ont été introduite, que ce soit la conception libertarienne (avec von Mises, Hayek et Nozick) ou la conception libérale-égalitaire (avec en particulier Rawls et Sen). Pour reprendre la terminologie de Gérard Debreu (1966) un optimum est  « un état réalisable auquel n’est préféré aucun état réalisable ». Connaissant (décrétant) l’optimum , le marché doit déterminer l’équilibre général correspondant. Elle doit donc trouver les prix relatifs “fictifs” ou “prix ombres” comme certains les ont appelés.
D’un point de vue quantitatif, l’utilité d’un individu X doit être est maximale sous contrainte que celle de Y doit rester supérieure à un niveau donné. Supposons que les deux consommateurs consomment deux biens, notés (1) et (2),

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ipjpoihezc.png

sous contraintes

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/efzef.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zacafgzegr.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zceczeczeczergrher.png

où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zefgrhtjhjht.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenklkn.png désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d’optimisation à l’aide du lagrangien

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rtrnnreverj.png

les conditions du premier ordre donnent

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/erhjjjrt-jk.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zeghzhr.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zehrejherj.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rherjetjkrtk.png

On en déduit alors simple que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zegbhzrbn.png

ce qui correspond à une égalité des TMS à l’équilibre.
Formellement, on retombe sur des équations semblables en considérant le programme d’optimisation suivant

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ippipiyout.png

Le point optimal est obtenu à l’aide du diagramme d’Edgeworth (je peux renvoyer ici pour des slides d’Abdul Noury expliquant simplement la construction, et la lecture, de ce diagramme). Sur le dessin ci-dessous, on la région verte est l’ensemble des allocations pour lesquelles on augmente à la fois l’utilité de X et de Y,

Le théorème de bien être nous garantie que tout optimum de Pareto dans l’espace des répartitions des biens est atteignable en situation de concurrence pure est parfaite moyennant une redistribution forfaitaire des dotations initiales. En fait, tout se passe comme si les deux consommateurs étaient face l’un à l’autre pour négocier des échanges de bien (1) contre bien (2) et réciproquement, dans le but d’améliorer leur bien-être.
Le TMS représente le prix « psychologique » d’échange entre (1) et  (2) pour le consommateur considéré, c’est-à-dire la quantité maximum de (2) qu’un agent accepte de céder pour avoir une quantité infinitésimale supplémentaire de (1). Le TMS correspond à un prix psychologique limite. On arrive finalement à la conclusion qu’un état optimal doit être un état réalisable (avec saturation des contraintes, i.e. pour chaque bien, la somme des quantités allouées aux deux consommateurs doit être égale à sa quantité totale disponible) et cet état doit être efficient, en vérifiant l’égalisation des TMS pour les deux consommateurs.

  • Optimalité au sens de Pareto à la cantine

Lorsque j’étais élève à l’ensae, je ne sais plus quel prof nous avait illustré l’optimalité au sens de Pareto à partir du passage à la cantine de l’insee… Quand on va chercher de l’eau à la fontaine à eau, il y a deux arrivées d’eau, mais qui se fournissent à la même source. Autrement dit, si deux personnes se servent en même temps, le débit est deux fois plus faible que si une seule personne se sert. De mémoire, si on est seul à prendre de l’eau, il faut environ 30 secondes pour remplir un pichet. Supposons que j’arrive à la fontaine à eau, et que quelqu’un soit en train de servir depuis 10 secondes. Deux possibilités s’offrent à moi,

  • commencer à me servir dès que j’arrive: la première personne a fini de se servir au bout de 40 secondes, et 50 secondes pour moi
  • attendre que la personne qui se sert ait fini: la première personne a fini de se servir au bout de 20 secondes, et moi 50 secondes

Bon, le raisonnement n’a de sens que si personne ne vient entre temps se servir sur l’autre fontaine (ou alors qu’au moins elle tienne le même raisonnement que moi, c’est à dire qu’elle attende que j’ai fini avant de se servir).

Si je compara les deux situations, on voit que le second cas permet à l’autre personne d’améliorer strictement la situation. Autrement dit l’optimum de Pareto est d’attendre que l’autre personne se soit servi avant de se servir.