Dans un contexte financier, diversifier les risques signifie investir dans une variété d’actifs, secteurs ou régions géographiques pour éviter que la mauvaise performance d’un investissement n’affecte trop l’ensemble du portefeuille. La diversification permet de réduire le risque, ou, dans sa formulation mathématique, de réduire la variance. Mais que se passe-t-il quand on est en présence de grands risques, de variance infinie ? Ou pire encore, d’espérance infinie ?

Risques extrêmes, et espérance infinie ?

Formaliser des grandeurs en lien avec des quantités aléatoires et incertaines est un exercice compliqué. Les probabilités, au sens où le mot est souvent entendu, sont définies comme des limites de fréquences observées par répétitions d’événements. La probabilité d’avoir 3 en lançant un dé est ⅙ car en lançant un dé un million de fois [1], un milliard de fois, la probabilité sera aussi proche qu’on veut de ⅙. C’est ce que dit la loi des grands nombres, dans sa version la plus faible. Dire que la probabilité qu’il pleuvra aujourd’hui est de ⅙ est totalement différent, car c’est un évènement unique. Si je me fais tremper par une averse aujourd’hui, cela ne permettra aucunement de dire que la probabilité n’était pas, a priori, de ⅙, et que le modèle météorologique s’est trompé. Tout ça pour rappeler que lorsqu’on fait de la modélisation, on va essayer d’imaginer les valeurs petites d’évènements rares, et qu’il est malheureusement très difficile de les valider.

Et quand on modélise les grands risques, les très grands risques, il n’est pas rare d’avancer l’idée que les risques sont de variance ou d’espérance infinie. Or la notion d’espérance infinie est un à la fois étrange, et probablement contre-intuitive [2].. Si on considère une variable aléatoire X positive (pour simplifier), et si on note S(x)=\mathbb{P}(X>x) la fonction de survie, et f(x) la densité (correspondant à l’opposé de la dérivée de S), on peut montrer que la moyenne empirique d’un million ou d’un milliards de tirage de cette variable va s’approcher autant qu’on veut d’une grandeur, appelée l’espérance mathématique\mathbb{E}(X) =\int_0^\infty S(x)dx= \int_0^\infty xf(x)dxRien de bien étonnant ici, c’est encore la loi des grands nombres, énoncée dès 1713 par Jacob Bernoulli (le “golden theorem” de Raper (2018)) et surtout Pierre-Simon Laplace, en 1814. A condition toutefois que cette intégrale soit finie. Ce qui n’est pas garanti. Par exemple, la loi de Pareto d’indice a vérifie S(x)=\mathbb{P}(X>x)=x^{-a}. Dès 1925, Karl-Gustaf Hagstroem avait noté que cette loi semblait particulièrement adaptée à la modélisation des grands risques, et donc en réassurance [3]. Et pour une variable qui suit une loi de Pareto d’indice 1, son espérance est, mathématiquement, infinie.

Que signifie cette espérance infinie ? Il n’y aura aucun “sinistre de coût infini”, et il sera toujours possible de calculer une moyenne empirique sur n observations. Mais cette moyenne va tendre vers l’infini quand n croit. Louis Bachelier, en évoquant le paradoxe de Saint Pétersbourg (qui est un jeu dont l’espérance de gain est infinie), rappelle que “un résultat paradoxal, dans les sciences mathématiques, provient nécessairement d’un défaut de notre intelligence inhabile à déchiffrer un ensemble trop complexe, inapte à se représenter l’infiniment grand (…) le bon sens ne peut être invoqué lorsqu’il s’agit de questions délicates ; il ne permet pas de reconnaître si l’aire comprise entre une courbe et son asymptote est finie ou non, si une série est convergente ou divergente”. Cette moyenne va tendre vers l’infini quand n croit, c’est-à-dire qu’on peut être certain que la moyenne va toujours dépasser n’importe quelle valeur aussi grande qu’on puisse l’imaginer. On peut le visualiser en haut de la Figure 1 avec 10 simulations de 100,000 valeurs. À gauche, le cas où la variance et l’espérance sont finies; au centre, la variance est infinie, et l’espérance finie; à droite, les deux sont infinies.

Figure 1: Évolution de la moyenne n\mapsto (x_1+\cdots+x_n)/n avec une loi d’espérance finie et de variance infinie à gauche, et une loi d’espérance infinie à droite.

Une autre grandeur intéressante est le ratio du maximum sur n observations sur la somme. Pour des variables d’espérance infinie, ce ratio ne tend pas vers 0. Il est alors possible, si les variables x désignent les coûts de sinistres, avec 100,000 sinistres d’espérance infinie, il est possible que le plus gros des sinistres représente plus de 90% de la charge totale.

Figure 2 : Évolution du ratio n\mapsto \max\{x_1,\cdots,x_n\}/(x_1+\cdots+x_n) avec une loi d’espérance finie et de variance infinie à gauche, et une loi d’espérance infinie à droite.

On le voit, cette propriété est importante, mais elle est difficile à identifier car il s’agit d’une propriété fondamentale du modèle sous-jacent, en lien avec la distribution des observations, puisqu’il est toujours possible de calculer la moyenne. Par exemple, la suite suivante correspond à huit valeurs obtenues en tirant au hasard une loi de Pareto d’indice 1 (et donc théoriquement d’espérance infinie)

1.657442 || 4.138543 || 15.592108 || 1.429090

1.684843 || 1.186745 || 1.341435 || 3.308316

Comment savoir si un ensemble de coûts de sinistres suit un loi d’espérance finie, ou pas ? L’approche classique, présentée par exemple dans Zajdenweber (1996, 2000), consiste à utiliser le graphique dit de Pareto, avec le logarithme des coûts sur l’axe des abscisses, et le logarithme de la probabilité de survie en ordonnées. Si les points sont alignés suivant une droite de pente -a, alors la loi de Pareto de paramètre a est parfaitement adaptée. En effet, si \mathbb{P}(X>x)=x^{-a}, alors, en prenant le logarithme des deux grandeurs, et si on ordonne l’échantillon (x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n), alors \log\left(\frac{n-i}{n}\right)=-a\cdot \log(x_i)Et si la pente est trop modérée, plus grande que -1, alors les coûts sont d’espérance infinie.

Figure 3: Graphique de Pareto, avec \log((n-i)/n) sur l’axe des ordonnées et \log(x_i) sur l’axe des abscisses. Les points sont alignés suivant une droite, de pente -a, correspondant à une loi de Pareto d’indice a. a\leq 1 signifie que les risques sont d’espérance infinie.

Cette hypothèse d’indice de Pareto proche de 1 n’est pas irréaliste quand on parle de catastrophes naturelles, ou industrielles,

• ouragans, Hsieh (1999), a\sim1.5
• incendies entreprises, Biffis et al. (2014), a\sim1.25
• tremblement de terre, Sornette et al. (1996), a\sim1
• tsunamis, Embrechts et al. (2024), a\sim1
• risque opérationnel, Moscadelli (2004) et Chavez-Demoulin et al. (2006) a\sim1
• risque cyber, Eling et al. (2019) a\sim1
• risque nucléaires, Hofert et al. (2012), a\in(0.6;0.7)

De la diversification des grands risques

Au lieu de travailler par type de risque, on peut envisager l’agrégation de ces risques, tous ensemble. Heuristiquement, avoir des portefeuilles avec des risques d’inondation, de tremblement de terre, ou de sécheresse pourrait offrir un peu de “diversification”. Le concept de “diversification” peut être introduit avec la loi des grands nombres, dont on parlait auparavant, et il sera très proche de l’idée même d’assurance, de mutualisation des risques. Smith & Kane (1994), par exemple, rappellent que la contribution d’un n+1-ième risque, indépendant, dans un groupe de n risques, tarifés de manière actuariellement juste, permet généralement de faire marginalement diminuer le risque, ce qui renforce la mutualisation des risques par l’assureur. Cet effet de diversification marche encore, même si les risques sont corrélés (mais pas parfaitement corrélés, et les gains de diversification diminuent avec la corrélation, comme le rappelait Charpentier (2011)).

Mais bien souvent, quand on parle de “diversification” on pense aux travaux d’Harry Markowitz ou d’Arthur Roy en finance dans les années 1950, comme base de la théorie du portefeuille. Cette théorie montre comment des investisseurs rationnels peuvent utiliser la diversification, correspondant à la corrélation entre actifs, afin d’optimiser leur portefeuille financier. Dans cette approche, on suppose généralement que la préférence des investisseurs pour un couple risque / rendement peut être décrite par une fonction d’utilité quadratique. Autrement dit, seuls le rendement attendu (l’espérance de gain) et la volatilité (l’écart type) ou la variance, sont les paramètres considérés par l’investisseur. Ce que montre cette littérature, c’est qu’un investisseur peut réduire le risque de son portefeuille simplement en détenant des actifs qui ne sont pas (ou peu) corrélés, donc en diversifiant ses placements. Il peut alors obtenir la même espérance de rendement en diminuant la variabilité de son portefeuille.

Mais que se passe-t-il si la variance n’existe plus ? Cette question revient à questionner l’utilisation de la loi normale pour modéliser les rendements financiers. La loi normale était intéressante en partie parce qu’elle vérifie une propriété de stabilité par sommation[4]. Garder cette propriété tout en considérant une loi ayant davantage d’extrêmes que la loi normale, revient à utiliser les lois “stables” étudiées par Paul Lévy, comme le proposait[5] Benoit Mandelbrot dans les années 1960.

Dans le cas où la variance est infinie, il convient d’utiliser une mesure de risque plus générale que l’écart-type, et heuristiquement, la “diversification” est liée à la sous-additivité de la mesure de risque : un portefeuille contenant la moyenne des avoirs de deux autres portefeuilles a un risque plus faible de la moyenne des risques des deux autres portefeuilles. Daníelsson et al. (2013) rappellent qu’en présence de grands risques (d’espérance infinie), la diversification ne fonctionne plus. Cette propriété avait été décrite et discutée par Paul Samuelson dès 1967, Stephen Ross en 1976, ou plus récemment Rustam Ibragimov,  Dwight Jaffee, Johan Walden, Paul Embrech ou Ruodo Wang, entre autres. L’introduction de Ibragimov et al. (2015) l’explique bien, “there are limitations to diversification with such risk distributions [heavy-tailed distribution]. Specifically, whereas diversification is preferred by risk-averse agents when risks are thin-tailed (the traditional case that has been extensively studied), it may actually be hurtful for agents to diversify when risks are heavy-tailed […] nondiversification traps may arise when risk distributions have heavy left tails and insurance providers have limited liability ”. Ces propriétés, largement discutées d’un point de vue mathématiques, sont compliquées à faire admettre car elles sont théoriques, et contre-intuitives. De plus, il est souvent difficile de savoir pour qui la diversification devient dangereuse, puisqu’il y a plusieurs acteurs, les assurés, les assureurs, les réassureurs, l’état. Ibragimov et al. (2011) donnent des éléments de réponse, “when these risks are thin-tailed, risk-sharing is always optimal for both individual intermediaries and society. But, with moderately heavy-tailed risks, risk-sharing may be suboptimal for society, although individual intermediaries still benefit from it […]. and it is well-known that diversification may be suboptimal in the extremely heavy-tailed case”.

Depuis une vingtaine d’années, les exemples où la diversification ne fonctionne pas sont nombreux, et connus des praticiens. Fabozzi et al. (2014), évoquant la crise financière le rappellent “The financial crisis has clearly shown that when you need diversification most, it may not work.” Quand on s’intéresse aux risques liés aux catastrophes climatiques, on voit que ces risques sont extrêmes, potentiellement inassurables car d’espérance potentiellement infinie. L’inassurabilité signifie surtout qu’un mécanisme de marché n’a pas de sens, sans intervention de l’État. On pourrait aussi penser qu’il pourrait être intéressant de diversifier les risques, en offrant une couverture multi-périls (comme le propose le mécanisme cat-nat actuel), ou bien en envisageant une diversification géographique, par exemple au niveau européen, comme le suggéraient récemment Carlo Cimbri, Thierry Derez et Philippe Lallemand. Mais la littérature scientifique nous rappelle que cette diversification est dangereuse, en tous cas inenvisageable sans une intervention forte et claire des États.

Références

Biffis, E., & Chavez, E. (2014). Tail risk in commercial property insurance. Risks, 2(4), 393–410.

Charpentier, A. (2011). La loi des grands nombres et le théorème central limite comme base de l’assurabilité ? Risques, 86.

Chavez-Demoulin, V., Embrechts, P., & Nešlehová, J. (2006). Quantitative models for operational risk: extremes, dependence and aggregation. Journal of Banking & Finance, 30(10), 2635-2658.

Chen, Y., Embrechts, P., & Wang, R. (2024). An unexpected stochastic dominance: Pareto distributions, dependence, and diversification. Operations Research.

Cimbri, C., Derez, T. & Lallemand, P. (2024). Mutualisons l’assurance pour offrir aux Européens une protection à la hauteur des risques actuels ! La Tribune, 23 mai.

Daníelsson, J., Jorgensen, B. N., Samorodnitsky, G., Sarma, M., & de Vries, C. G. (2013). Fat tails, VaR and subadditivity. Journal of econometrics, 172(2), 283-291

Eling, M., & Wirfs, J. (2019). What are the actual costs of cyber risk events? European Journal of Operational Research, 272(3), 1109–1119.

Embrechts, P., Hofert, M., & Chavez-Demoulin, V. (2024). Risk Revealed: Cautionary Tales, Understanding and Communication. Cambridge University Press.

Fabozzi, F. J., Focardi, S. M., Jonas, C.: Investment Management: A Science to Teach or an Art to Learn?. CFA Institute Research Foundation (2014)

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Hagstroem, K.-G. (1925). Pareto and reinsurance. Scandinavian Actuarial Journal, 216–248

Hofert, M., & Wüthrich, M. V. (2012). Statistical review of nuclear power accidents. Asia-Pacific Journal of Risk and Insurance, 7(1).

Hsieh, P.-H. (1999). Robustness of tail index estimation. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8(2), 318–332.

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Sornette, D., Knopoff, L., Kagan, Y. Y., & Vanneste, C. (1996). Rank‐ordering statistics of extreme events: Application to the distribution of large earthquakes. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 101(B6), 13883-13893.

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Zajdenweber, D. (1996). Extreme values in business interruption insurance. Journal of Risk and Insurance, 95-110.

Zajdenweber, D. (2000). Économie des extrêmes. Flammarion.

1. Le cas des dés est un peu particulier car la géométrie du cube, en particularité sa régularité (on parle d’hexaèdre régulier, à 6 faces), permet d’inférer la probabilité sans faire la moindre expérience ↑

2. La littérature théorique des probabilités s’est largement construite sur l’idée de variables d’espérances finies, et il est très dur de s’en passer (tout raisonnement “en moyenne” devenant impossible) ↑

3. Il faudra attendre les années 1970, et les travaux de Guus Balkema ou Laurens de Haan, pour avoir une preuve mathématique de ce résultat. L’école néerlandais de statistique a fait des avancées majeures sur l’analyse des évènements extrêmes suite au raz-de-marée de 1953 en mer du Nord, qui a eu des conséquences majeures et désastreuses aux Pays-Bas, comme le rappellent Embrechts et al. (2024) ↑

4. La somme (ou la moyenne) de variables normales indépendantes suit aussi une loi normale ↑

5. Il appelle ces lois Pareto-Lévy pour souligner la forme des queues de distributions, correspondant à des lois de type Pareto, sur les pertes extrêmes (à gauche) et les gains extrêmes (à droite) ↑