Certains élèves ont pris peur en voyant apparaitre la loi logisitque dans le cours d’économétrie des variables qualitatives, car autant j’avais passé pas mal de temps lors des remises à niveau sur la loi normale, la loi de Student, la loi de Poisson…. jamais je n’avais présenté la loi logistiquue.. Mais qui connaît la loi logisitique ?

• La loi logistique (en tant que loi)

En maths, on a introduit très tôt les fonctions de la forme

où K et r sont des réels positifs et a un réel quelconque, qui sont ce que l’on appelle les solutions (en temps continu) du modèle de Verhulst.

C’est Pierre François Verhulst qui a donné le nom de “courbe logistique“, en expliquant, en 1845  « nous donnerons le terme de logistique à cette courbe ». Comme toujours, il faut revenir aux racines étymologique, en notant que  « logistique » a même racine que logarithme, et que logistikos signifie “calcul” en grec (on peut retrouver plus d’information ici , là ou encore là).

Ces fonctions ont été introduites par Pierre François Verhulst, qui était un élève d’Adolphe Quetelet, et qui dévait étudier un modèle d’évolution de population qui ne soit pas exponentielle. Cette courbe a été utilisée dans l’étude des populations à partir des années 20 par Raymond Pearl et Lowell Jacob Reed, mais qui ne créditent Verhulst de la paternité de la découverte qu’en 1922. En revanche, on ne retrouve le terme de “logistique” qu’en 1924 dans une correspondance entre George Yule et Reed. On notera que c’est Joseph Berkson qui défendra l’idée d’ajuster certaines courbes par une fonction logistique (modèle logit) plutôt que par la fonction de répartition de la loi de Gauss (modèle probit, introduit par Bliss en 1934, mais c’est une autre histoire que je raconterais sûrement un jour….).

En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé vers 1840. Pour reprendre l’explication de wikipedia sur le sujet (inspiré de plusieurs ouvrages sur le sujet dont de Handbook on logisitic distribution) Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d’accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population. Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente.

On appelle y la taille de la population, m(y) le taux de mortalité et n(y) le taux de natalité. La taille de la population suit l’équation différentielle

Si m et n sont des fonction affines respectivement croissante et décroissante (ce qui une hypothèse un peu forte, mais qui a longtemps été utilisée comme on l’avait vu en cours d’actuariat en M1) alors n – m est une fonction affine décroissante. L’équation peut s’écrire

avec a et b deux réels positifs, si la croissance est positive quand y est proche de 0. En posant K=a/b, l’équation devient

avec a > 0 et K > 0 . Aussi, histoire de formaliser, on recherche des fonctions strictement positives définies sur  et vérifiant le système et

• La cote au lieu de la probabilité

Bref, voilà pour la loi…. mais comment voit-on apparaître cette loi en économétrie ? Pour rappel, on cherche à modéliser la probabilité de survenant d’un évènement. Mais il existe d’autre outils que la probabilité en tant que telle. En particulier, la cote d’un évènement – ou “odds in favor of an event” – est la quantité

où p est la probabilité de réalisation de cet évènement.
Cette grandeur est bien connue par les turfistes…. Bon, dans ce cadre (les paris), cette probabilité n’a rien d’une probabilité historique, mais il s’agit plutôt d’une probabilité risque neutre comme on dit en finance: il s’agit de la probabilité extraite des prix. Considérons un exemple simple (où on ne mise que sur le vainqueur)

• Le parieur A mise 10 € sur le cheval numéro 1.
• Le parieur B mise 5 € sur le cheval numéro 2.
• Le parieur C mise 20 € sur le cheval numéro 3.
• Le parieur D mise 15 € sur le cheval numéro 4.

On suppose que les sommes misées reflètent les croyances des joueurs (qui ont tous la même aversion pour le risques). Autrement dit, les joueurs pensent que le cheval 1 a deux fois plus de chances de gagner que le cheval 2. Bref, La cote d’un cheval est obtenue en divisant la somme des enjeux joués sur les autres chevaux par la somme des enjeux joués sur le cheval choisi (ou l’inverse, ça dépend de

la manière dont on souhaite le présenter), soit ici

• Pour le cheval 1, une cote de [5+20+15]/10=4 (on dira 4 contre 1)
• Pour
  le cheval 2, une cote de [10+20+15]/5=9 (on dira 9 contre 1)
• Pour le cheval 3, une cote de [10+5+15]/20=3/2 (on dira 1.5 contre 1)
• Pour le cheval 4, une cote de [10+5+20]/15=7/3

Ca existe également en football (comme en témoigne le ticket ci-contre où figurent les cotes). Bref, cette cote est une manière très naturelle de parler de probabilité. L’énorme avantage est qu’une probabilité est définie sur [0,1] alors qu’une cote peut prendre n’importe quelle valeur positive.

• La régression logistique

On souhaite donc modéliser la cote à l’aide de variables explicatives. Mais comme le score peut être négative, il est assez “naturel” de prendre le logarithme (comme pour la régression Poissonnienne par exemple). Aussi, on peut comprendre l’écriture de la forme suivante

ou encore

Or la fonction qui apparaît à gauche est la fonction quantile de la loi logistique. Quod erat demonstrandi…

• Un cas particulier de GLM

La transformation logistique apparaît très naturelle quand on utilise les GLM (modèles linéaires généralisés). En effet, il faut que la loi s’écrive sous la forme exponentielle
(comme j’en avais parlé ici ou là, par exemple). Pour reprendre les notations du cours d’actuariat 2, il faut écrire la loi binomiale

sous la forme^

soit ici (on n’a pas de paramètre de surdispersion)

En notant que la loi binomiale se réécrit

ou encore

On en déduit que le paramètre naturel est

et que

(moyennant un peu de réécriture). Bref, on note une relation naturelle (on parlera de fonction de lien canonique) de la forme entre le paramètre usuel de la loi binomiale et le paramètre dit naturel de la loi exponentielle,

ou encore

La fonction de répartition logistique apparaît là encore presque par enchantemant…. enfin, presque…