This Monday, I will be giving the first part of the (crash) graduate course on advanced tools for econometrics. It will take place in Rennes, IMAPP room, and I have been told that there will be a visio with Nantes and Angers. Slides for the morning are online, as well as slides for the afternoon.
In the morning, we will talk about smoothing techniques, and in the afternoon, it will be on simulations and bootstrap techniques.
Je vais poursuivre un peu le TD de statistique de l’actuariat 2, où nous avions parlé tarification et régression Poissonnienne.
Dans un premier temps, nous avions regardé un modèle simple, où l’on voulait voir si l’âge du conducteur expliquait la fréquence de sinistres. Bref, on peut utiliser une régression log-Poisson, qui donne la prédiction suivante, en fonction de l’âge,
Mais l’âge est une variable un peu particulière car c’est une fausse variable continue: seule les valeurs entières apparaissent. Comme on chercher à calculer
notons qu’il est possible de considérer l’estimateur empirique naturel de cette grandeur, i.e.
Graphiquement, on obtient la courbe suivante,
Le côté ératique de la série à droite et à à gauche vient de la faible représentation dans la base, comme en atteste l’histogramme de l’âge du conducteur,
Je peux en profiter pour revenir à un commentaire posté ici sur les modèles GAM. En effet, au lieu de regarder la fréquence en fonction de l’âge, on peut s’intéresser à la la différence par rapport à la fréquence globale.
> m=mean(base$nbsin) > Y=predict(REG,newdata=data.frame(age=X,expo=E),type = "response") > lines(X,Y/m-1,col="red")
On obtient alors le graphique suivant (en superposant à l’ajustement obtenu par GAM)
Notons que si l’on ajuste un modèle log-Poisson uniquement sur la tranche d’âge [50-70], on est très proche de ce que propose le modèle GAM, d’où l’interprétation de l’ajustement GAM comme un ajustement local.
On a choisi un modèle log-Poisson, mais on se doute que d’autres modèles seraient possible. En particulier dans notre base, les assurés ont eu 0 ou 1 sinistre l’année passée. Autrement dit, des lois binomiales peuvent être ajustée,
> REG0 = glm(nbsin~age,base, + family=poisson(link="log"), + offset=expo) > REG1a = glm(nbsin~age,base, + family=binomial(link = "logit"), + offset=expo) > REG1b = glm(nbsin~age,base, + family=binomial(link = "probit"), + offset=expo) > REG1c = glm(nbsin~age,base, + family=gaussian(link = "identity"), + offset=expo)
Le critère AIC est souvent invoqué pour juger de l’adéquation d’un modèle. Il vaut ici
> AIC(REG0) [1] 36470.7 > AIC(REG1a) [1] 36044.45 > AIC(REG1b) [1] 37304.02 > AIC(REG1c) [1] 32549.83
Mais on peut également regarder le critère BIC,
> AIC(REG0, k = log(nrow(base))) [1] 36488.81 > AIC(REG1a, k = log(nrow(base))) [1] 36062.57 > AIC(REG1b, k = log(nrow(base))) [1] 37322.14 > AIC(REG1c, k = log(nrow(base))) [1] 32577
Autrement dit, en utilisant le règle “the smaller, the better” on retiendrait le dernier modèle qui est un modèle Gaussien, manifestement assez mauvais: sur le graphique ci-dessous, la régression log-Poisson est en mauve, presque confondu avec la régression logistique1, en bleu, la régression probit en vert et le modèle linéaire (Gaussien) en rouge,
Bref, ce dernier modèle n’est pas convainquant… Par contre, notons que si l’on compare le modèle log-Poisson et logit, ce dernier conduit à tarifer moins cher les âges extrêmes,
Autrement dit, au lieu de comparer des modèles actuariels sur la base d’outils statistiques, et uniquement de ces outils, il peut être instructif d’essayer de comprendre qui verra sa prime baisser avec tel ou tel modèle… Mais je reviendrais plus longuement, une autre fois, sur les histoires de choix de modèles…..
