Il y a quelques semaines, je discutais avec une collègue juriste (alors que j’essayais de glaner des statistiques juridiques), et alors que l’on parlait alors de la lenteur de l’instruction, ou de l’inversion de la charge de la preuve (je ne me souviens plus) j’ai été supris qu’elle me dise que “c’est normal“. Je sais qu’un juriste et un statisticien ne donnent pas forcément le même sens aux mots, et cette phrase m’a dérangé parce qu’une situation qui pourrait sembler “normale” (car observée régulièrement) n’est pas pour autant “juste” (c’est le paradoxe is/ought de Hume, mais j’en parlerais dans un autre billet).
Le point de départ est de comprendre ce qu’est la normalité “empirique”, telle qu’observée dans une population. Ce qui pourrait être “normal” pour un statisticien. Pour commencer, je pensais revenir sur un exemple raconté dans The End of Average de Todd Rose, qui essaye de montrer, exemples à l’appui, que l’homme moyen n’existe pas.
- L’homme moyen de Quételet
Au XIXème siècle, si plusieurs astronomes mesuraient la vitesse d’un même objet céleste, ils obtenaient (souvent) plusieurs mesures différentes. Pour savoir “laquelle” utiliser dans leurs calculs, l’idée d’utiliser “la méthode des moyennes” s’est rapidement imposée – comme le rappelle Stahl (2006), et surtout Sheynin (1973) – cette “moyenne” ayant une précision plus grande que n’importe quelle autre grandeur (ou dirait aujourd’hui “statistique”).
Adolphe Quetelet fut, semble-t-il, le premier à appliquer ce calcul de moyennes à des mesures humaines, introduisant son fameux concept d'”homme moyen”. Comme j’en avais parlé dans un précédant billet, la moyenne est une grande particulière, dont le sens n’est pas forcément clair. Si on définit la moyenne à l’aide d’une minimisation d’erreur quadratique, on a une interprétation en terme de prévision (on retrouve ici la notion de mesure elicitable dont je parlais dans mon dernier cours): la taille moyenne est la taille de “devrait” mesurer une personne tirée au hasard (à une variation aléatoire – et imprévisible – près). En 1846 dans une lettre (publiée dans l’ouvrage Lettres sur la théorie des probabilités, appliquée aux sciences morales) Adolphe Quételet utilise l’image de la statue du gladiateur pour expliquer ce que peut être l’homme moyen.
- L’interprétation de Francis Galton
Ce homme moyen a beaucoup plu à l’époque, en particulier au sein de l’école anglaise eugéniste, dirigée à l’époque par Francis Galton, même si ce dernier s’intéresse surtout aux déviations par rapport à cette norme (déviation vers le haut et déviation vers le bas). Comme le rappelle Bulmer (2004), “the deviations from that average—upwards towards genius, and downwards towards stupidity—must follow the law that governs deviations from all true averages“. Les travaux de Galton ont visé à comprendre ces déviations. Si Florence Nightingale affirmait que “the Average Man is God’s Will“, Galton de son côté s’intéressait davantage au caractère héréditaire. Mais cet “homme moyen” a-t-il pour autant du sens ?
- L’être humain moyen n’existe pas
Une anecdote intéressante est celle de deux statues, à Cleveland, celles de Norma et Normann. L’artiste Abram Belskie et l’obstetricien Robert Latou Dickinson ont réalisé ensemble ces statues, en 1943. La particularité est qu’aucun modèle n’a été représenté. En fait, il s’agissait de représenter une femme et un homme qui avaient les mensurations moyennes de l’époque.
Une fois ces statues réalisées, un concours a été organisé pour trouver qui ces statues pouvaient bien représenter. Plusieurs milliers de personnes de l’Ohio ont envoyé leurs mensurations, mais aucun ne correspondaient à celles des statues. Certes, plusieurs centaines avaient la même taille. Plusieurs centaines avaient le même tour de poitrine. Mais aucune n’avait toutes les bonnes mesures. Car comme l’explique Todd Rose, l’homme n’est pas unidimensionnel: c’est sur plusieurs dimensions qu’on le mesure.
Et chercher à le résumer en une grandeur unidimensionnel est beaucoup trop réducteur. C’est ce qu’il montre dans son livre sur les tests d’intelligence, par exemple, où un même QI peut être associé à deux personnes très différentes. Pareil pour décider de recruter quelqu’un, se focaliser sur un seul indicateur n’a pas de sens. Le soucis quand on travaille dans un contexte multivarié, c’est que la moyenne perd de son sens. Pour reprendre le titre d’un billet mis en ligne voilà 6 mois, être moyen peut être extraordinaire.
- La malédiction de la dimension (en grande dimension, l’espace est très vide…)
En fait, ce problème est bien connu par les statisticiens, sous le nom de “fléau de la dimension“. Prenons un exemple simple: supposons qu’une grandeur d’intérêt suive une loi normale 
, par exemple le poids, la taille, le tour de poitrine, etc. On pourrait dire que la norme, c’est se trouver dans un intervalle ![https://latex.codecogs.com/gif.latex?[\mu\pm%201.5%20\cdot\sigma]](https://latex.codecogs.com/gif.latex?[%5Cmu%5Cpm%201.5%20%5Ccdot%5Csigma])
. Si on a une loi normale, cette situation survient dans 85% des cas,
> (1-2*pnorm(-1.5))
[1] 0.8663856
Et 15% seront vues comme “anormales”. Elles peuvent être anormalement petites, ou anormalement grandes. C’est le dessin ci-dessous: on regarde ici seulement une dimension
On peut maintenant regarder deux dimensions, le poids et la taille, par exemple. La norme serait ici que dans les deux dimensions, on soit dans l’intervalle . Si les grandeurs sont indépendantes, la probabilité que les deux grandeurs soient “normale” est de 75%
> (1-2*pnorm(-1.5))^2
[1] 0.750624
En dimension deux, 75% des observations sont “normales”, et 25% sont “anormales”
En dimension 3, on passe à 65%
> (1-2*pnorm(-1.5))^3
[1] 0.6503298
pour 35% d’observations “anormales” (plus du tiers)
Etc. En dimension cinq, on passe en dessous de 50%
> (1-2*pnorm(-1.5))^5
[1] 0.4881532
autrement dit, être dans la norme dans les 5 dimensions, ce n’est plus le cas de la majorité. Et en dimension vingt, ceux qui sont “normaux” sont plutôt atypiques, avec une proportion de l’ordre de 5%,
> (1-2*pnorm(-1.5))^20
[1] 0.0567838
Bref, la normalité est un concept particulièrement étrange sur le plan empirique, car intuitivement associé à l’idée d’une majorité. Alors que ce n’est pas le cas, la normalité étant justement atypique.
, supposé indépendant et identiquement distribué. Le modèle sous-jacent est la collection de variables aléatoires 
indépendantes et identiquement distribuées. Dans un premier temps, on s’intéressera à la moyenne de l’échantillon, correspondant à une réalisation de la variable aléatoire 
définie par
désigne la variable aléatoire correspondant au fait d’avoir obtenu PILE au 
ème tirage. On remet des pièces à une centaine d’élèves (chaque élève correspond à une couleur différente), et on regarde la moyenne du nombre de PILE obtenus sur les 
premiers lancers. Et on regarde ce qui se passe quand n augmente. La loi de grands nombres permet d’affirmer que
obtenue par un élève. Un histogramme est représenté à droite.
) et réduire (ici mulplier par 
) la moyenne empirique pour étudier une éventuelle convergence. On pose alors
