Petite précision suite au cours de ce matin: le cours du vendredi a lieu de 10.30 à 11.30 (il y avait une faute de frappe sur le plan de cours ici). Pour les billets liés au cours, il faut aller là.
Côté travaux pratiques, ils commencent ce vendredi, et l’énoncé est en ligne ici (j’ai repris les exercices de la session d’automne).
Enfin, petit complément par rapport à une question posée à la fin du cours. Un élève m’avait demandé s’il ne fallait pas supposer la fonction de répartition dérivable pour définir une densité. Une variable aléatoire 
est continue si sa fonction de répartition 
est continue. est par ailleurs croissante. Aussi, on peut montrer que est dérivable presque partout. Comme le montrent Douglas S. Kurtz, Jaroslav Kurzweil et Charles Swartz dans Theories of integration: the integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock,
ou plus particulièrement, on a le résultat suivant
On retrouve le même résultat, appelé théorème de Lebesgue dans l’ouvrage de Yeh, Real analysis: theory of measure and integration
Maintenant pour associer densité et dérivée, il faut faire un peu attention (cf le commentaire ici). Maintenant, en faisant quelques raccourcis (supposer la fonction à variations finies par exemple), on a le résultat suivant. Si est supposée continue, la densité est une fonction 
qui vérifie
En fait, comme le montrent les théorèmes ci-dessus, cette densité est unique, sauf aux points de non dérivabilité de , qui sont de mesure nulle, autrement dit est unique presque partout. Et, pour les points où est dérivable,
et ailleurs… ? peu importe, en fait….
Considérons la fonction de répartition suivante, continue et dérivable partout, sauf en 0, et à variations finies.
La densité est alors, pour 
c’est à dire 1/2 sur 
et 1/4 sur 
,
et peu importe la valeur (finie) donnée en 0: on peut définir 
la dérivée à droite, et 
la dérivée à gauche, par exemple (si ces dérivées existent), de telle sorte que
Bref, la densité est définie pour une loi continue (sans autre hypothèse), presque toujours. Pour aller plus loin, je renvoie ici par exemple….