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Probabilités prédictives, pour 100% actuaires, et 100% data science

Ce jeudi, je participe (virtuellement) à un atelier sur les probabilités prédictives à la journée 100% actuaires, et 100% data science, de l’Institut des Actuaires, en France, avec Nicolas Marescaux et Florence Picard.

L’évènement n’étant pas offert en mode “hybride” je serais présent via une courte vidéo, qui sera transmise lors de l’atelier.

Je vais reprendre graphiquement un point que j’évoque régulièrement, à savoir la variabilité fondamentale qui existe lorsqu’on modéliser des évènements binaires, y compris si la vraie probabilité est connue. Dans un modèle Gaussien, si Y\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2), même en connaissant (parfaitement) la moyenne \mu, Y-\mu est une variable, aléatoire, Y-\mu\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) qui peut avoir une petite variance, si \sigma est faible. Et dans un modèle de régression Y|X=x\sim\mathcal{N}(\mu_x,\sigma_0^2) avec \sigma_0^2\leq \sigma^2. Mais dans les GLM, avec les modèles de classification ou de Poisson, la variance ne diminue pas : si Y|X=x\sim\mathcal{B}(p_x), et la variance sera p_x(1-p_x) qui restera toujours non-nulle quand p_x\in(0,1).

L’autre point est que si on a une loi de Bernoulli, p ne peut être vraiment connu que si on a beaucoup d’observations, c’est la loi des grands nombres, sinon on a de la variabilité. Sur la figure ci-dessous, j’ai plusieurs niveaux de probabilité p, et je trace à gauche l’intervalle de “confiance” pour la fréquence, quand on n=100 observations, avec en bas la distribution de la fréquence. Par exemple, si p=15\%, avec une centaine d’observations, la fréquence a 90% de chances d’être entre 10\% et 20\%. Autrement dit, prédire une probabilité d’avoir un accident de 15.723\% n’a pas trop de sens. Au centre, le regarde la distribution de \overline{y}_n-p, et on voit qu’il reste une part non négligeable de variance. À droite, c’est la variation relative (\overline{y}_n-p)/p, qui varie en sens inverse par rapport à la variation absolue : si p est faible (disons 2\%), on s’écarte peu en valeur absolue (\pm 2\%) mais il n’est pas impossible (y compris avec n=100 observations) d’observer 2 fois trop de 1).

Regarder \overline{y}_n-p, c’est supposer qu’on peut connaître la vraie probabilité, et qu’on l’utilise : \overline{y} c’est la charge moyenne par années, et p, c’est la prime pure (annuelle). Donc \overline{y}_n-p, c’est la perte annuelle. Mais au lieu d’utiliser p, on peut imaginer qu’on mutualiser : par exemple ci-dessous, si p\in[0\%;4\%] on utilise la valeur moyenne (soit 2\%). On voit qu’on rajoute de la variabilité sur la distribution des pertes individuelle, d’autant plus qu’il y a peu de classes.

On en reparlera…