Dans le dernier numéro de la revue Risques figure un petit article sur la loi des grands nombres et le théorème central limite en assurance (ici) Le but était de remettre un peu les pendules à l’heure sur la différence entre les implications de ces deux résultats, et surtout d’amorcer une discussion sur l’importance des hypothèses (en particulier celle de risques indépendants).
Mercredi matin, nous allons aborder l’échantillonnage. Nous allons partir d’un échantillon 
, supposé indépendant et identiquement distribué. Le modèle sous-jacent est la collection de variables aléatoires 
indépendantes et identiquement distribuées. Dans un premier temps, on s’intéressera à la moyenne de l’échantillon, correspondant à une réalisation de la variable aléatoire 
définie par
Afin d’avoir des résultats sur le comportement de la moyenne, on rappellera deux théorèmes importants: la loi des grands nombres et le théorème central limite. Afin d’illustrer ces théorèmes, considérons le cas de tirages de PILE et FACE. On suppose que 
désigne la variable aléatoire correspondant au fait d’avoir obtenu PILE au 
ème tirage. On remet des pièces à une centaine d’élèves (chaque élève correspond à une couleur différente), et on regarde la moyenne du nombre de PILE obtenus sur les 
premiers lancers. Et on regarde ce qui se passe quand n augmente. La loi de grands nombres permet d’affirmer que
ici, si l’on suppose que la pièce n’est pas biaisée, soit
pour la version faible, ou pour la version forte
soit
C’est ce que l’on observe ci-dessous, chaque trait correspondant à la trajectoire 
obtenue par un élève. Un histogramme est représenté à droite.
) et réduire (ici mulplier par 
) la moyenne empirique pour étudier une éventuelle convergence. On pose alors
Le théorème central limite garantie que
On a toujours l’histogramme des valeurs obtenues, au bout de tirages, par les élèves, avec en rouge la densité de la loi normale centrée réduire. Et là encore, l’expérience semble valider la théorie…
M=read.table("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/PILEFACE.txt") nl=ncol(M) nj=nrow(M) M1=matrix(M=="PILE",nj,nl) MS=M1 for(l in 2:nl){MS[,l]= (apply(M1[,1:l],1,mean)-.5)/sqrt(.25/l)} arret=100 COULEUR= rev(rainbow(nj)) HIST=hist(MS[,arret]) plot(1:nl,MS[1,],ylim=(c(-3,3)),col="white", xlim=c(0,250),xlab="Nombre de lancers de pièces", ylab="Nombre moyen de PILE, centré réduit") for(j in 1:nj){ lines(1:arret,MS[j,1:arret],col=COULEUR[j]) } abline(v=arret)
