# Border bias and weighted kernels

With Ewen (aka @3wen), not only we have been playing on Twitter this month, we have also been working on kernel estimation for densities of spatial processes. Actually, it is only a part of what he was working on, but that part on kernel estimation has been the opportunity to write a short paper, that can now be downloaded on hal.

The problem with kernels is that kernel density estimators suffer a strong bias on borders. And with geographic data, it is not uncommon to have observations very close to the border (frontier, or ocean). With standard kernels, some weight is allocated outside the area: the density does not sum to one. And we should not look for a global correction, but for a local one. So we should use weighted kernel estimators (see on hal for more details). The problem that weights can be difficult to derive, when the shape of the support is a strange polygon. The idea is to use a property of product Gaussian kernels (with identical bandwidth) i.e. with the interpretation of having noisy observation, we can use the property of circular isodensity curve. And this can be related to Ripley (1977) circumferential correction. And the good point is that, with R, it is extremely simple to get the area of the intersection of two polygons. But we need to upload some R packages first,

```require(maps)
require(sp)
require(snow)
require(ellipse)
require(ks)
require(gpclib)
require(rgeos)
require(fields)```

To be more clear, let us illustrate that technique on a nice example. For instance, consider some bodiliy injury car accidents in France, in 2008 (that I cannot upload but I can upload a random sample),

```base_cara=read.table(
"http://freakonometrics.blog.free.fr/public/base_fin_morb.txt",

The border of the support of our distribution of car accidents will be the contour of the Finistère departement, that can be found in standard packages

```geoloc=read.csv(
"http://freakonometrics.free.fr/popfr19752010.csv",
colClasses=c(rep("character",5),rep("numeric",38)))
geoloc=geoloc[,c("dep","com","com_nom",
"long","lat","pop_2008")]
geoloc\$id=paste(sprintf("%02s",geoloc\$dep),
sprintf("%03s",geoloc\$com),sep="")
geoloc=geoloc[,c("com_nom","long","lat","pop_2008")]
france=map('france',namesonly=TRUE,
plot=FALSE)
francemap=map('france', fill=TRUE, col="transparent",
plot=FALSE)
detpartement_bzh=france[which(france%in%
c("Finistere","Morbihan","Ille-et-Vilaine",
"Cotes-Darmor"))]
bretagne=map('france',regions=detpartement_bzh,
fill=TRUE, col="transparent", plot=FALSE,exact=TRUE)
finistere=cbind(bretagne\$x[321:678],bretagne\$y[321:678])
FINISTERE=map('france',regions="Finistere", fill=TRUE,
col="transparent", plot=FALSE,exact=TRUE)
monFINISTERE=cbind(FINISTERE\$x[c(8:414)],FINISTERE\$y[c(8:414)])```

Now we need simple functions,

```cercle=function(n=200,centre=c(0,0),rayon)
{theta=seq(0,2*pi,length=100)
m=cbind(cos(theta),sin(theta))*rayon
m[,1]=m[,1]+centre[1]
m[,2]=m[,2]+centre[2]
names(m)=c("x","y")
return(m)}
poids=function(x,h,POL)
{leCercle=cercle(centre=x,rayon=5/pi*h)
POLcercle=as(leCercle, "gpc.poly")
return(area.poly(intersect(POL,POLcercle))/
area.poly(POLcercle))}
lissage = function(U,polygone,optimal=TRUE,h=.1)
{n=nrow(U)
IND=which(is.na(U[,1])==FALSE)
U=U[IND,]
if(optimal==TRUE) {H=Hpi(U,binned=FALSE);
H=matrix(c(sqrt(H[1,1]*H[2,2]),0,0,
sqrt(H[1,1]*H[2,2])),2,2)}
if(optimal==FALSE){H= matrix(c(h,0,0,h),2,2)```

before defining our weights.

```poidsU=function(i,U,h,POL)
{x=U[i,]
poids(x,h,POL)}
OMEGA=parLapply(cl,1:n,poidsU,U=U,h=sqrt(H[1,1]),
POL=as(polygone, "gpc.poly"))
OMEGA=do.call("c",OMEGA)
stopCluster(cl)
}else
{OMEGA=lapply(1:n,poidsU,U=U,h=sqrt(H[1,1]),
POL=as(polygone, "gpc.poly"))
OMEGA=do.call("c",OMEGA)}```

Note that it is possible to parallelize if there are a lot of observations,

```if(n>=500)
{cl <- makeCluster(4,type="SOCK")
worker.init <- function(packages)
{for(p in packages){library(p, character.only=T)}
NULL}
clusterCall(cl, worker.init, c("gpclib","sp"))
clusterExport(cl,c("cercle","poids"))```

Then, we can use standard bivariate kernel smoothing functions, but with the weights we just calculated, using a simple technique that can be related to one suggested in Ripley (1977),

```fhat=kde(U,H,w=1/OMEGA,xmin=c(min(polygone[,1]),
min(polygone[,2])),xmax=c(max(polygone[,1]),
max(polygone[,2])))
fhat\$estimate=fhat\$estimate*sum(1/OMEGA)/n
vx=unlist(fhat\$eval.points[1])
vy=unlist(fhat\$eval.points[2])
VX = cbind(rep(vx,each=length(vy)))
VY = cbind(rep(vy,length(vx)))
VXY=cbind(VX,VY)
Ind=matrix(point.in.polygon(VX,VY, polygone[,1],
polygone[,2]),length(vy),length(vx))
f0=fhat
f0\$estimate[t(Ind)==0]=NA
return(list(
X=fhat\$eval.points[[1]],
Y=fhat\$eval.points[[2]],
Z=fhat\$estimate,
ZNA=f0\$estimate,
H=fhat\$H,
W=fhat\$W))}
lissage_without_c = function(U,polygone,optimal=TRUE,h=.1)
{n=nrow(U)
IND=which(is.na(U[,1])==FALSE)
U=U[IND,]
if(optimal==TRUE) {H=Hpi(U,binned=FALSE);
H=matrix(c(sqrt(H[1,1]*H[2,2]),0,0,sqrt(H[1,1]*H[2,2])),2,2)}
if(optimal==FALSE){H= matrix(c(h,0,0,h),2,2)}
fhat=kde(U,H,xmin=c(min(polygone[,1]),
min(polygone[,2])),xmax=c(max(polygone[,1]),
max(polygone[,2])))
vx=unlist(fhat\$eval.points[1])
vy=unlist(fhat\$eval.points[2])
VX = cbind(rep(vx,each=length(vy)))
VY = cbind(rep(vy,length(vx)))
VXY=cbind(VX,VY)
Ind=matrix(point.in.polygon(VX,VY, polygone[,1],
polygone[,2]),length(vy),length(vx))
f0=fhat
f0\$estimate[t(Ind)==0]=NA
return(list(
X=fhat\$eval.points[[1]],
Y=fhat\$eval.points[[2]],
Z=fhat\$estimate,
ZNA=f0\$estimate,
H=fhat\$H,
W=fhat\$W))}```

So, now we can play with those functions,

```base_cara_FINISTERE=base_cara[which(point.in.polygon(
base_cara\$long,base_cara\$lat,monFINISTERE[,1],
monFINISTERE[,2])==1),]
coord=cbind(as.numeric(base_cara_FINISTERE\$long),
as.numeric(base_cara_FINISTERE\$lat))
nrow(coord)
map(francemap)
lissage_FIN_withoutc=lissage_without_c(coord,
monFINISTERE,optimal=TRUE)
lissage_FIN=lissage(coord,monFINISTERE,
optimal=TRUE)
lesBreaks_sans_pop=range(c(
range(lissage_FIN_withoutc\$Z),
range(lissage_FIN\$Z)))
lesBreaks_sans_pop=seq(min(lesBreaks_sans_pop)*.95,
max(lesBreaks_sans_pop)*1.05,length=21)

plot_article=function(lissage,breaks,
polygone,coord){
par(mar=c(3,1,3,1))
image.plot(lissage\$X,lissage\$Y,(lissage\$ZNA),
xlim=range(polygone[,1]),ylim=range(polygone[,2]),
breaks=breaks, col=rev(heat.colors(20)),xlab="",
ylab="",xaxt="n",yaxt="n",bty="n",zlim=range(breaks),
horizontal=TRUE)
col="grey")
points(coord[,1],coord[,2],pch=19,cex=.1,
col="dodger blue")
polygon(polygone,lwd=2,)}

plot_article(lissage_FIN_withoutc,breaks=
lesBreaks_sans_pop,polygone=monFINISTERE,
coord=coord)

plot_article(lissage_FIN,breaks=
lesBreaks_sans_pop,polygone=monFINISTERE,
coord=coord)```

If we look at the graphs, we have the following densities of car accident, with a standard kernel on the left, and our proposal on the right (with local weight adjustment when the estimation is done next to the border of the region of interest),

Similarly, in Morbihan,

With those modified kernels, hot spots appear much more clearly. For more details, the paper is online on hal.

# De la créativité des gangsters

Pendant mon séjour récent en Nouvelle Angleterre, j’ai survolé le livre de Leonard Mlodinow, the drunkard’s walk. Et au hasard de mes lectures, je suis tombé sur la petite histoire suivante

Autrement dit, en utilisant les cinq derniers chiffres d’une quantité économique comme le us treasury balance, on aurait un générateur de nombre aléatoire…
Par contre la suite est un peu plus surprenante,

La loi de Benford (que j’avais pu évoquer ici ou ) parle des premiers chiffres, mais cette fois on parle deslast five digits. Donc visiblement l’évoquation n’est pas pertinente ici. Mais qui sait ? Ca reste malgré tout une histoire intéressante. Considérons – histoire de tester cette légende – les deux sources de données suivantes,http://treasurydirect.gov/ et http://economagic.com/. Sur ce dernier site, un petit travail de mise en forme des données est nécessaire.

```b1=read.table("http://freakonometrics.free.fr/debtus1.txt",
X1=as.character(b1\$Dollar.Amount)
n1=nchar(X1)
Y1=substr(X1,n1-8,n1-3)
X1=as.numeric(substr(Y1,1,2))*1000+as.numeric(substr(Y1,4,6))
x=X1/100000
X2=b2\$DEBT
Y2=trunc(as.numeric(X2))
X2=as.character(Y2)
n2=nchar(X2)
Y2=substr(X2,n2-4,n2)
y=as.numeric(Y2)/100000
y=y[y<1]```

Pour rappel, un générateur aléatoire (standard) vérifie deux propriétés importantes

• les nombres doivent être tirés suivant une loi uniforme sur [0,1], i.e. ici, si on divise les nombres à 5 chiffres par 10000,
• les tirages doivent être indépendants entre eux.

La première propriété semble assez naturelle, et correspond à l’histoire racontée dans un commentaire posté ici (expliquant comment un casino avait été au bord de la faillite car une roulette faisait sortir certains chiffres trop souvent, et j’essayais de comprendre comment utiliser l’information qu’un chiffre sort plus souvent). La seconde est probablement encore plus importante.

• Visualisation de la distribution

La première idée est de visualiser la densité de nos séries de chiffres. Pour éviter les problèmes de bord (et comme c’est juste en introduction) on va utiliser un histogramme, et pas une estimation à noyau.

```hist(x,col="red")
hist(y,col="blue")```

On obtient pour la première série la courbe rouge, et pour la seconde la courbebleue,

On note qu’a priori, pour la première série, l’hypothèse d’uniformité n’est peut être pas la plus réaliste…

• Test de Kolmogorov-Smirnov

On peut aussi mettre en œuvre un test de Kolmogorov-Smirnov afin de tester si la loi uniforme est adaptée.:

```> ks.test(x,"punif")

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  x
D = 0.1047, p-value = 0.01645
alternative hypothesis: two-sided

> ks.test(y,"punif")

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  y
D = 0.0456, p-value = 0.3581
alternative hypothesis: two-sided```

On retrouve ici confirmée l’intuition précédante: la loi uniforme est pertinente pour la seconde série, pas la première.

• Les autocorrélations de la série

Travaillons uniquement sur la seconde série. On peut étudier l’autocorrélation de notre série de nombres, ou peut-être un peu plus malin, sur les quantiles gaussiens associés (les autocorrélations étant intéressantes pour les séries gaussiennes),:

```plot(acf(y))
plot(acf(qnorm(y)))```

ie. pour la série brute

et pour la série normalisée,

Bref, on pourrait être tenté de valider l’hypothèse d’indépendance entre les tirages.
• Run test (de Wald–Wolfowitz)

L’idée est de comparer une série de chiffres à la médiane, s’ils sont plus grands, on note + (ou A) et sinon – (ou B). On crée alors une série du genre “+++−−++−−++++++−−−” et on compte les séries de + et les séries de -, les runs,

```library(lawstat)
runs.test(y,plot=TRUE)

Runs Test - Two sided

data:  y
Standardized Runs Statistic = -0.2462, p-value = 0.8055```

Bref, la légende me semble à prendre avec des pincettes (car fonction de la source considérée), même si l’idée est intéressante (si l’on met de côté les aspects d’aléa moral). Et l’analyse sur la loi de Benford ne semble pas valide: les derniers chiffres sur les grands nombres ne se comportent pas du tout comme les premiers.