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L’assurance, l’immobilier et la fabrique de l’ignorance

Cette fin de semaine, le New York Times rapportait que Zillow, premier site immobilier américain, a retiré discrètement de ses annonces les scores de risques climatiques (inondation, incendie, chaleur) produits par First Street Foundation. Le retrait suit les pressions d’agents immobiliers et le lobbying de plusieurs Multiple Listing Services (MLS), notamment celui de Californie, l’un des plus puissants du pays. Comme l’écrit la journaliste Claire Brown, Zillow a supprimé ces scores suite à une plainte,

“Zillow stopped displaying the scores after complaints from the California Regional Multiple Listing Service”

Mais que se passe-t-il lorsqu’une information sur les risques entre en collision avec des intérêts économiques solidement installés ? Mary Douglas le soulignait, en 1992, dans Risk and Blame

institutions themselves are the monitors which determine what is going to count as information

Le risque, autrement dit, ne se contente pas d’exister ; il est façonné, filtré, parfois instrumentalisé comme une technologie morale, c’est-à-dire un instrument utilisé pour orienter les comportements en fonction des intérêts d’un groupe. Le cas Zillow en est un exemple presque didactique : la connaissance produite par les modèles climatiques devient un coût pour l’industrie immobilière, donc elle doit être rendue silencieuse. Dans Risk and Culture, Mary Douglas écrivait :

“Blaming the system is a way of protecting the community from morally unacceptable risks. […] What is dangerous is not the event itself, but the threat it poses to an established social order.”

Les risques climatiques, dans cette perspective, menacent une “social order” : la fluidité des marchés immobiliers. Ils deviennent donc socialement inacceptables… non pas parce qu’ils sont faux, mais parce qu’ils sont vrais et dérangeants.

xL’objection immobilière : quand l’économie préfère l’ignorance

Le PDG du MLS californien déclare que

“When we saw entire neighborhoods with a 50 percent probability of the home flooding this year and a 99 percent probability of the home flooding in the next five years, especially in areas that haven’t flooded in the last 40 to 50 years, we grew very suspicious,”

L’argument est ancien et classique : un modèle est suspect lorsqu’il contredit l’expérience vécue. Or de nombreux travaux de climatologie et d’hydrologie rappellent que l’expérience passée n’est plus un guide fiable dans une distribution de risques non stationnaire. C’est précisément la thèse de tous les ouvrages sur les régimes extrêmes, la loi des queues épaisses ou le “stationarity is  dead” de Milly et al. (2008). Les hydrologues, les assureurs et les climatologues le répètent depuis 20 ans : le passé n’est plus un indicateur du futur. Dans The Physics of Climate Change, Lawrence Krauss écrit :

“The past climate is no longer a faithful record of the future—it is a fossil.”

Le commentaire du MLS illustre l’une des limites épistémologiques mises en avant par les philosophes des risques : la circularité de la validation. Si l’on exige qu’un risque futur soit déjà observé dans le passé, alors aucun risque émergent n’est légitime. Cette logique fut historiquement mobilisée pour nier les risques industriels dans les années 1950–1980 (asbestos, tabac, pollution). Sheila Jasanoff parle à ce propos de technologies of humility : la nécessité de reconnaître que l’absence d’événement n’est pas un argument.

La granularité excessive du risque

Le New York Times met en évidence, très justement, une tension fondamentale :  les modèles de risques climatiques ne sont pas conçus pour être lus au niveau de la maison individuelle. Madison Condon, chercheuse en droit et économie du climat, dit dans l’article

“With forward-looking models, we can’t check their outputs against a record, they are necessarily forecasting events that have not yet happened. The First Street models might provide a good enough answer for certain questions or certain hazards, But what level of accuracy is good enough changes substantially if the question is about one specific property you are about to spend your life savings on.”

Cette remarque rejoint deux axes centraux de la littérature scientifiques.  Tout d’abord, Les modèles de catastrophe sont fondamentalement des modèles de population, pas de micro-prédiction. Ils sont efficaces en agrégé, mais imprécis en micro-lieu. Mais il y a aussi l’illusion de précision (Lavine, Gigerenzer) : donner un chiffre très précis à un niveau spatial très fin crée une illusion d’exactitude, et donc une vulnérabilité cognitive.

Dans beaucoup d’ouvrages scientifiques sur le climat (notamment les rapports sur les risques de montée des eaux et les travaux de climat extrême), on retrouve cette idée : le risque est distribué spatialement, mais la vulnérabilité est locale et socio-économique. Le modèle ne peut donc être lu sans tenir compte du bâti, des protections locales, des pratiques d’assurance, et surtout des inégalités.

Les “cartographies interdites” 

De nombreux chercheurs ont montré que la publication d’une information sur les risques suscite presque toujours une controverse sociale. Comme le soulignent Reghezza-Zitt et Rufat dans Resilience Imperative,

“any representation of risk involves choices: what is shown, what is omitted, what is made salient”

Une carte n’est donc jamais un simple reflet du réel : elle sélectionne, ordonne et rend visibles certains dangers, tout en en invisibilisant d’autres, et contribue de ce fait à reconfigurer les rapports de force autour du territoire qu’elle représente. Pour Bankoff, Frerks et Hilhorst dans Mapping Vulnerability,

“vulnerability… defies the possibility of reading it from a general chart”

autrement dit, aucune carte ne peut prétendre offrir une représentation neutre ou complète du danger. Toute cartographie du risque simplifie, met en avant certains éléments, en omet d’autres, et participe ainsi à structurer les rapports sociaux autour de ce risque. Les débats sur Zillow s’inscrivent exactement dans cette dynamique. Rendre visible un risque climatique n’est jamais neutre, cela crée des gagnants et des perdants, et l’immobilier fait partie des secteurs où cette visibilité est la plus politiquement sensible. Trois précédents historiques viennent immédiatement à l’esprit.

L’histoire de la cartographie des inondations en France au XIXᵉ siècle montre déjà à quel point rendre visible un danger pouvait déclencher une crise politique locale. Après la crue de 1856, l’État et les ingénieurs des Ponts et Chaussées engagent un vaste travail de délimitation des zones inondables. Très vite, des communes protestent : être placées en “zone inondable”, c’est voir menacés la valeur foncière, l’attractivité de la commune, parfois même sa capacité à emprunter et à investir. Les travaux d’histoire des catastrophes et des politiques hydraulique que tu m’as fournis insistent sur ce point : la carte ne se contente pas d’enregistrer un risque naturel, elle reconfigure les rapports de force locaux en désignant des territoires comme “à problème”. Ce que l’on observe déjà à cette époque, c’est une grammaire politique très stable : la représentation savante du risque est perçue comme un acte performatif, qui fait exister publiquement une menace jusque-là socialement déniée.

Un siècle plus tard, les “redlining maps” de la Home Owners’ Loan Corporation aux États-Unis offrent un autre précédent, encore plus brutal, de la puissance performative des cartes. En classant les quartiers de A à D, avec les quartiers majoritairement noirs et pauvres systématiquement relégués en catégorie “hazardous”, l’administration ne se contente pas de décrire un risque de défaut de crédit : elle organise une véritable ségrégation financière et immobilière. La littérature historique et économique sur le redlining montre bien que ces cartes ont fixé durablement les trajectoires urbaines : un quartier coloré en rouge était privé d’accès au crédit, ce qui entraînait dégradation du bâti, désinvestissement public, puis renforcement des stigmates sociaux. Là encore, le parallèle avec les scores de risques climatiques est évident : dès qu’une représentation du risque est attachée à un lieu, elle pèse sur les prix, les flux d’investissements et, in fine, sur les populations qui y vivent.

Plus récemment, le cas des cartes de FEMA illustre une troisième configuration, où l’enjeu n’est plus tant la production de la carte que la gestion de son obsolescence. Plusieurs travaux que tu m’as transmis soulignent combien de municipalités américaines résistent à la mise à jour des zones inondables : une nouvelle carte signifie, très concrètement, hausse des primes d’assurance, contraintes de construction supplémentaires et baisse immédiate de la valeur immobilière. Il en résulte des cartes souvent en retard sur la réalité climatique, non par manque de capacité technique, mais parce que l’ajustement à la nouvelle distribution des risques est politiquement et économiquement explosif.

Vu depuis ces trois précédents historiques, la décision de Zillow de retirer les scores de risques des annonces s’inscrit dans une continuité troublante : plutôt que d’assumer les effets redistributifs d’une information climatique plus précise, on préfère en limiter la visibilité, au prix d’un retour à une asymétrie d’information défavorable aux acheteurs les plus exposés.

Les modèles First Street : science robuste, usages fragiles

Revenons un instant sur les données et les modèles mentionnés dans l’article du New York Times. Il existe un consensus large, dans la littérature scientifique et dans les évaluations institutionnelles américaines, sur le fait que les cartes FEMA (Flood Insurance Rate Maps — FIRMs) sont souvent obsolètes, parfois très anciennes, et méthodologiquement limitées. Le Department of Homeland Security lui-même, dont dépend FEMA, notait dès 2017 que plus de la moitié des cartes d’inondation américaines avaient plus de 15 ans, et qu’un nombre significatif n’avaient pas été mises à jour depuis 30 à 40 ans (DHS, National Flood Mapping Program Review, 2017). Le Government Accountability Office (GAO) confirme ce diagnostic : en 2022, il rapporte que

“FEMA’s flood maps remain inaccurate or outdated in many areas”

en raison de capacités limitées et de résistances locales à la révision (GAO-22-104, 2022). La littérature académique dit la même chose : dans Understanding Disaster Insurance, Kousky (2020) rappelle que

“FEMA’s flood maps remain incomplete and often outdated; they were never designed to provide a full accounting of flood risk, particularly under a changing climate.”

ou encore Smiley (2020)

“outdated and inaccurate, FEMA flood maps fail to fully capture risk”

Cela signifie que les cartes FEMA utilisent souvent des données hydrologiques, topographiques et pluviométriques qui ne reflètent plus les conditions environnementales actuelles, ni a fortiori celles induites par le changement climatique.

À l’inverse, la méthodologie de First Street Foundation s’appuie sur des modèles hydrologiques et hydrauliques continus, fondés sur des DEM haute résolution (USGS + LiDAR), l’intégration de l’imperméabilisation urbaine, des intensités de pluie mises à jour (NOAA Atlas 14), des données de débordement fluvial, des modèles côtiers (surcote, marées, élévation du niveau de la mer), et surtout des projections climatiques CMIP6. Matthew Eby, de First Street Foundation, est interrogé dans l’article du New York Times,  et comme il le dit,

“Our models are built on transparent, peer-reviewed science and the full methodologies are publicly available for anyone to review on our website.”

Effectivement First Street Foundation met réellement en ligne une méthodologie complète, notamment via le document FSF Flood Model – Technical Methodology, Version 3.0 (juillet 2023), accessible publiquement. On y trouve la description détaillée des données d’entrée : topographie haute résolution (USGS DEM, LiDAR quand disponible), hydrologie et hydraulique (débits USGS, marées et surcotes NOAA, intensités de pluie NOAA Atlas 14), occupation du sol (imperméabilisation, couvert végétal), ainsi que les projections climatiques issues de modèles CMIP6 et de données downscalées. Toutes ces sources sont listées dans les pages “Methodology” et “Data Sources” du site de FSF. Les données historiques d’inondation servent à la validation mais non au calcul direct du “Flood Factor” d’une propriété (FSF précise explicitement que les “historic flood events” ne déterminent pas la note d’un bien individuel).

Cette transparence documentaire est réelle, mais la reproductibilité intégrale du modèle reste limitée. D’une part, le modèle combine plusieurs couches (pluvial, fluvial, côtier, ruissellement urbain) à une résolution très fine (3 m), ce qui exige un traitement SIG massif et un accès à des données parfois difficiles à reconstituer dans leur état exact. D’autre part, les projections climatiques reposent sur des hypothèses (scénarios d’émissions, intensité des tempêtes, montée des eaux) que FSF reconnaît comme sources d’incertitude. Enfin, le modèle ne capture pas toutes les données locales de vulnérabilité : rehaussement individuel des maisons, drainage municipal récent, protections privées, etc. Certains analyses indépendantes (on peut penser à Review of a New Online Modeling Tool) recommandent donc de considérer les résultats comme indicateurs de risque probabiliste, utiles pour corriger l’asymétrie d’information, mais non comme diagnostics structurels à l’échelle de la maison.

Leur méthodologie est en réalité nettement plus avancée que les cartes FEMA, souvent vieilles de 20 à 40 ans.  Dans Climate Shock, Gernot Wagner et Martin Weitzman écrivent

“Inaction is often justified by questioning the models—especially when the newer models are more precise than the legacy systems they threaten.”

Les critiques adressées aux modèles First Street ne portent donc pas sur leur validité scientifique, mais sur leur impact économique.

Quand l’information change les comportements

Le New York Times mentionne un résultat majeur issu d’une expérience menée par Redfin et analysée dans Disaster on the horizon : rendre visible l’information sur le risque modifie de manière mesurable et significative les comportements d’achat. L’expérience, conduite auprès de 18 millions d’utilisateurs, consistait à afficher aléatoirement un score de risque d’inondation provenant de First Street Foundation sur les pages d’annonces. Les chercheurs montrent que, chez les utilisateurs exposés à l’information, les recherches se déplacent vers des zones à plus faible risque, et que les transactions portant sur des biens identifiés comme “à haut risque” enregistrent une baisse moyenne de 1 % du prix de vente (Bernstein, Gustafson & Lewis, 2024). L’étude conclut que

“the disclosure of flood risk information leads to a statistically significant reduction in demand for high-risk properties”

confirmant une intuition déjà présente dans les travaux de psychologie du risque : lorsque l’information devient saillante, elle modifie l’arbitrage des acheteurs. Kunreuther & Meyer le disaient dans The Ostrich Paradox, (2017)

“Markets underreact to low-probability high-consequence risks when information is not salient.”

Le New York Times résume correctement cet effet en notant

“The Redfin experiment, which lasted for three months, affected sales of 8,150 properties that were listed as being at high risk of flooding and reduced their total sales prices by about 1 percent of their value.”

Ce résultat n’est pas anodin : il établit empiriquement que rendre visible le risque climatique crée un effet de marché immédiat, ce qui explique pourquoi la visibilité même de cette information suscite des résistances politiques et économiques, exactement comme dans les précédents historiques que nous avons rappelés. Le problème est donc clair : soit on donne l’information, et le marché ajuste ; soit on la retire, et le marché fonctionne “normalement”… mais au prix de désinformer les acheteurs.

Qui a le droit de savoir ?

Ce contraste entre le faible devoir de transparence des vendeurs immobiliers et les attentes bien plus rigides souvent imposées aux assurés mérite qu’on s’y arrête. Comme je le rappelle dans un billet récent, L’impossible droit à l’erreur, l’impossible droit à l’oubli ?, les systèmes américains d’information publique sont d’une sévérité remarquable vis-à-vis des individus : dans de nombreux États, un assuré peut être lourdement sanctionné s’il omet de déclarer un élément de son passé, notamment des condamnations, des accusations encore pendantes, ou même des arrestations récentes, pourtant non suivies de jugement. Les bases de données publiques — Missouri Sunshine Law (§ 610.100), New York Criminal History Record Search, et les répertoires agrégés par des courtiers privés — transforment chaque trace pénale en stigmate durable, librement accessible à tout employeur, assureur ou bailleur. Comme je l’écrivais

“une simple arrestation (même classée sans suite) peut se muer en exclusion durable”

Autrement dit, l’individu doit “tout dire”, faute de quoi il risque d’être exclu d’un prêt, d’une assurance, ou d’un emploi.

L’asymétrie est frappante puisque l’acheteur immobilier n’a aucun moyen légal d’exiger du vendeur qu’il déclare un antécédent d’inondation ou une vulnérabilité structurelle aux feux. Le New York Times le dit explicitement

“In many states, sellers are not required to disclose information about whether a house has flooded recently or if it is vulnerable to wildfires”

Cette dissymétrie dans le rapport de force est d’autant plus choquante que, dans un cas, l’enjeu est un risque structurel, durable, affectant potentiellement la sécurité future d’un foyer ; dans l’autre, il s’agit souvent de micro-événements individuels dont la pertinence assurantielle ou actuarielle est discutable. La transparence exigée du particulier contraste violemment avec l’opacité tolérée du vendeur immobilier : le premier ne peut invoquer ni droit à l’erreur ni droit à l’oubli, tandis que le second est libre de taire des informations essentielles sur l’exposition réelle du bien au changement climatique.

On touche ici à une injustice structurelle que révèle l’affaire Zillow. L’information climatique, parce qu’elle affecte immédiatement la valeur immobilière, est politiquement neutralisée ; l’information pénale ou personnelle, parce qu’elle permet d’ajuster finement le risque individuel, est, elle, amplifiée, agrégée, rendue indélébile. Dans un environnement où, comme le montre l’expérience Redfin, la seule visibilité d’un risque suffit à modifier le marché, l’effacement volontaire de ces informations dans l’immobilier apparaît comme un privilège que n’ont pas les assurés ordinaires. Ils doivent supporter la mémoire totale du système, alors même que les biens immobiliers, eux, bénéficient d’une forme de droit à l’oubli institutionnel. Cette tension éclaire d’un jour cru le retrait des scores climatiques par Zillow : ce n’est pas seulement un débat technique sur la précision des modèles, mais l’expression d’un régime de responsabilité profondément asymétrique. Dans Climate Change and Cities, Jesse Keenan écrit

“Low-income households are more likely to be harmed by insufficient access to information about climate-related hazards and adaptation options.”

et il est difficile de ne pas être d’accord…

La politique de la visibilité

Cela dit, il convient d’être précis : Zillow n’a pas entièrement supprimé l’accès aux scores, il renvoie désormais vers le site de First Street via un lien discret. Comme le dit le New York Times,

“Real estate listings on Zillow now display hyperlinks to First Street’s website, and users can click through to view climate risk scores for a specific property”

C’est un geste politique très classique : on rend l’information disponible, mais invisible. C’est l’équivalent numérique de mettre un rapport en ligne dans un onglet “archives”. La sociologie des sciences parle de visibility management : gérer la visibilité d’un risque, non pour le corriger, mais pour contrôler son effet social.

La dépolitisation du risque climatique

La décision de Zillow révèle une tension fondamentale dans les sociétés du XXIᵉ siècle. Les modèles climatiques deviennent assez précis pour produire des risques localisés. Mais l’économie et la politique ne sont pas prêtes à intégrer les conséquences de ces risques. Donc l’information est atténuée, déplacée, rendue non saillante. Toute la littérature scientifique récent converge vers une même idée (qu’il s’agisse d’épistémologie du risque, d’anthropologie des catastrophes, d’économie du climat ou d’histoire des assurances) : le risque n’est jamais seulement un fait naturel, c’est un fait politique.

Le cas Zillow n’est pas un détail du marché immobilier. C’est un laboratoire de la gouvernance du risque climatique, avec cette question essentielle : pouvons-nous réellement entrer dans l’ère de l’adaptation climatique si l’information sur les risques devient politiquement indésirable ? Comme l’écrivait Ulrich Beck dans Risikogesellschaft

“Dabei wird exemplarisch deutlich, worum es im öffentlichen Definitionsstreit um Risiken eigentlich geht: nicht nur um gesundheitliche Folgeprobleme … sondern um die sozialen, wirtschaftlichen und politischen Nebenfolgen dieser Nebenfolgen.”

autrement dit,

“Le cœur du conflit public autour des risques n’est pas seulement leurs effets sanitaires, mais les conséquences sociales, économiques et politiques qui en découlent.”

Le risque devient “réel” socialement lorsqu’il devient un objet de controverse publique, c’est-à-dire quand son existence a des conséquences politiques. Zillow, en retirant les scores, contribue à rendre le risque… moins réel. Mais seulement en apparence.

Références

Bankoff, G., Frerks, G., & Hilhorst, D. (Eds.). (2004).
Mapping Vulnerability: Disasters, Development and People. London: Earthscan.

Beck, U. (1992). Risikogesellschaft, Suhrkamp.

Bernstein, A., Gustafson, M. T., & Lewis, R. (2024). Flood Risk Disclosure and Housing Market Behavior. NBER Working Paper No. 31908.

Brown, C. (2025, November 30). Zillow Removes Climate Risk Scores From Home Listings. The New York Times.

Douglas, M., & Wildavsky, A. (1982). Risk and Culture: An Essay on the Selection of Technical and Environmental Dangers. University of California Press.

First Street Foundation. (2020–2025). Methodologies & Technical Documentation. First Street.

Jasanoff, S. (2003). Technologies of Humility. Nature, 450, 33.

Keenan, J. M. (2018). Sea Level Rise and Housing.
In C. Rosenzweig, W. Solecki, P. Romero-Lankao, et al. (Eds.),
Climate Change and Cities: Second Assessment Report of the Urban Climate Change Research Network (ARC3.2)
(pp. 343–385). Cambridge University Press.

Kousky, C. (2023). Understanding Disaster Insurance: New Tools for a More Resilient Future. Routledge / RFF Press.

Krauss, L. (2021). The Physics of Climate Change. Post Hill Press.

Kunreuther, H., & Meyer, R. (2017). The Ostrich Paradox: Why We Underprepare for Disasters. Wharton School Press.

Milly, P. C. D., Betancourt, J., Falkenmark, M., Hirsch, R., Kundzewicz, Z., Lettenmaier, D., & Stouffer, R. (2008). Stationarity Is Dead: Whither Water Management? Science, 319(5863), 573–574.

Redfin & National Bureau of Economic Research (NBER). (2024). Flood Risk Disclosure and Homebuyer Behavior (Working Paper).

Reghezza-Zitt, M., & Rufat, S. (2015).
Resilience Imperative: Uncertainty, Risks and Disasters. London: ISTE Press / Elsevier.

Roux, J., November, V., & Reghezza-Zitt, M. (2013). Les territoires du risque. Armand Colin.

Smiley, S. (2020). Outdated and inaccurate, FEMA flood maps fail to fully capture risk. Kinder Institute for Urban Research.

U.S. Government Accountability Office. (2022). FEMA: Flood Maps—Actions Needed to Improve Oversight and Management of Mapping Program. GAO-22-104079.

Wagner, G., & Weitzman, M. L. (2015). Climate Shock: The Economic Consequences of a Hotter Planet. Princeton University Press.

Calcul(s) d’information de Fisher

La semaine passée, on avait fait quelques calculs pour obtenir l’information de Fisher pour des lois classiques. Je voulais juste remettre au propre les calculs pour les lois à plusieurs paramètres. Pour la loi Gamma,

la log-vraisemblance s’écrit

de telle sorte que

Ici, même pas besoin de prendre une espérance car la Hessienne est constante

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Que signifie “utiliser de l’information” ?

Considérons un simple jeu de pile ou face. On suppose que l’on tombe sur pile avec une probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif (histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif.

  • Connaissance parfaite des probabilités

Supposons que l’on connaisse parfaitement http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif. A priori deux stratégies sont possibles:

  • jouer au hasard, en utilisant les différentes probabilités: on prédit pile avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif et face avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-21.gif.
  • ne pas jouer au hasard, et prédire la valeur la plus probable, autrement dit si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-22.gif, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).

Notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-24.gif la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-23.gif la valeur prédite. On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-25.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-26.gif

i.e. pour la première stratégie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-27.gif

En revanche pour la seconde, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-28.gif

Graphiquement, on peut représenter en ligne la prédiction que l’on fait, et en colonne la face obtenue. En bleu, on gagne, et en rouge on perd,

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-29.gif. Considérons le polynôme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-30.gif, dont les racines sont http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-31.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-32.gif, i.e sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-33.gif,
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-34.gif

ou encore

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-35.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-36.gif

(avec une inégalité stricte si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif est strictement inférieur à 1). Bref, il est toujoursplus intéressant de parier toujours la même chose (et de ne pas essayer de jouer au plus malin).

  • Connaissance imparfaite des probabilités

Supposons maintenant que la probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif soit inconnue, mais estimable. Autrement dit, on a assisté à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-03.gif lancers, on a un échantillon http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-01.gif et on estime la probabilité de tomber sur pile par

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-05.gif

Comme auparavant pour la première stratégie, on utilise un générateur de nombre aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-04.gif (qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-06.gif

Pour la seconde stratégie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-07.gif

Autrement dit, si on estime que la probabilité de tomber sur pile dépasse 50%, on prédit pile, et sinon on prédit face.
On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-08.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-09.gif

Dans le premier cas, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-11.gif
dont l’espérance est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-12.gif (comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-13.gif

Graphiquement, on obtient, cette fois,

Si on se place au bout de 20 lancers, on obtient la courbe rouge ci-dessous pour le cas d’information imparfaite, et verte dans le cas de l’information parfaite, pour le ratio de la probabilité de gagner avec le second cas divisé par le premier cas (nous avions vu auparavant que le ratio été inférieur à 1)

à partir du code suivant

> p=seq(.5,1,by=.01)
> q=(p^2+(1-p)^2)/(p*(1-pbinom(10,20,p))+
+ (1-p)*pbinom(10,20,p))
> plot(p,q)
  • Répétons le jeu plusieurs fois et apprentissage des probabilités

Supposons que l’on répète le jeu un certain nombre de fois, avec un apprentissage au fur et à mesure que les tirages avancent, i.e. l’algorithme s’écrit

> n=10
> p=.64
> X=sample(c("a","b"),size=100,prob=c(p,1-p),replace=TRUE)
> S1=S2=rep(NA,100)
> for(s in (n+1):100){
+ P=c(mean(X[1:(s-1)]=="a"),mean(X[1:(s-1)]=="b"))
+ S1[s]=(sample(c("a","b"),size=1,prob=P)==X[s])
+ S2[s]=(names(sort(table(X[1:s])))[2]==X[s])
+ }
> sum(S1[(n+1):100])/sum(S2[(n+1):100])

Graphiquement, si on suppose que l’on apprend sur 10 tirages (et que l’on calcule le nombre moyen de victoires sur les 90 lancers suivants), on obtient un graphique assez proche de ce que l’on avait auparavant,

I.e. comme le ratio est inférieur à 1, la seconde stratégie l’emporte toujours.
Moralité, j’ai un peu l’impression qu’il est souvent inutile d’élaborer une stratégie trop complexe, car les stratégies les plus simples permettent de gagner le plus souvent…

Wald, score et rapport de vraisemblance

Vendredi, nous devrions aborder un peu la problématique des tests asymptotiques. Avant, rappelons que l’estimateur du maximum de vraisemblance de  vérifie la propriété asymptotique suivante.

Or on a une propriété intéressante sur les convergences de vecteurs Gaussiens (pour rester assez général). Soit  une suite de vecteurs aléatoires telle que  où . Alors

où  (pour un paramètre univarié, ça sera alors ). Mais ce résultat n’est intéressant que si  est connue. En fait, si on a la suite des variances vérifie , alors

Traduit sur notre estimateur du maximum de vraisemblance, cela signifie que

ou encore

Trois tests peut alors être mis en œuvre (et tant qu’à faire, on peut essayer de l’illustrer sur un exemple: encore et toujours du pile/face).

> set.seed(1)
> n=20
> X=sample(0:1,size=n,replace=TRUE)
> p=seq(0,1,by=.01)
> logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
> LL=sapply(p,logL)
> plot(p,LL,type="l",col="red",lwd=2)
> p0=.5
> points(p0,logL(p0),pch=3,cex=1.5,lwd=2)
> abline(v=p0,lty=2)

On a alors 20 tirages de pile ou face, on a obtenu 11 piles, et on se demande si la pièce est “juste“.Mais avant toute chose, commençons par calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance, ainsi que le score et l’information de Fisher. Dans ce modèle de variables de Bernoulli, on connaît des formes explicites de ces quantités. Mais ici, on va utiliser la méthode la plus générale qui soit, i.e. on va maximiser la log-vraisemblance, puis on va calculer le score et l’information de Fisher à la valeur de  que l’on souhaite tester.

> neglogL=function(p){-sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
> pml=optim(fn=neglogL,par=p0,method="BFGS")$par
Warning messages:
1: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced
2: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced
> nx=sum(X==1)
> f = expression(nx*log(p)+(n-nx)*log(1-p))
> Df = D(f, "p")
> Df2 = D(Df, "p")
> p=p0
> score=eval(Df)
> (IF=-eval(Df2))
[1] 80
> 1/(p0*(1-p0)/n)
[1] 80

On note que l’information de Fisher calculée par double différenciation de la log-vraisemblance est identique à la formule analytique. Pour rappels, on a

Trois tests (équivalent asymptotiquement comme on le verra en cours) sont alors possibles.

Tout d’abord le test de Wald propose de travailler sur la différence entre l’estimateur du maximum de vraisemblance, et la valeur que l’on cherche à tester (comme le montre le dessin ci-dessous). Cette différence doit être “petite” si  est la vraie valeur.On peut alors utiliser la statistique suivante

Asymptotiquement, en utilisant le résultat évoqué au début, cette statistique tend, sous l’hypothèse que  est la vraie valeur, vers une loi du chi-deux.

> alpha=0.05
> (T=(pml-p0)^2*IF)
[1] 0.1999970
> T<qchisq(1-alpha,df=1)
[1] TRUE

Ici, on accepte l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée.

Ensuite le test du rapport de vraisemblance propose de travailler sur les valeurs de la log-vraisemblance. Là encore, cette différence doit être “petite” si  est la vraie valeur. Graphiquement, on mesure une distance normalisée

La statistique est celle d’un test bilatéral,

On pose alors

(le 2 sera détaillé un peu en cours, c’est mis là de manière à avoir trois tests équivalents). Asymptotiquement, on peut montrer que cette statistique tend, sous l’hypothèse que  est la vraie valeur, vers une loi du chi-deux.

> (T=2*(logL(pml)-logL(p0)))
[1] 0.2003347
> T<qchisq(1-alpha,df=1)
[1] TRUE

Là encore, on accepte l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée.

Enfin, le test du score propose de travailler sur la pente de la log-vraisemblance en  . Cette pente doit être “petite” si  est la vraie valeur.

La pente correspond au score,

La statistique de test est alors ici

Et là encore, asymptotiquement, on peut montrer que cette statistique tend, sous l’hypothèse que  est la vraie valeur, vers une loi du chi-deux.

> (T=slope^2/IF)
[1] 0.2
> T<qchisq(1-alpha,df=1)
[1] TRUE

Et le test accepte ici encore l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée.

Information de Fisher

Nous avons défini dans le cours l’information de Fisher par

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information01.gif

où http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information02.gif. On verra la semaine prochaine que cette information peut s’écrire (moyennant quelques conditions de régularité)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information03.gif

Dans un cadre multivarié, on a que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information04.gif avec

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information05.gif

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information06.gif

(avec une écriture analogue au cas univarié en utilisant la matrice Hessienne).
Étant donné un échantillon, l’information de Fisher empirique est la pente de la log-vraisemblance en http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/information09.gif, i.e. dans le cas d’échantillons de 20 tirages de pile/face (avec une pièce non truquée)

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/info-fisher.gif
X=sample(c("PILE","FACE"),size=20,prob=c(.5,.5),replace=TRUE)
X=(X=="PILE")*1
vecP=seq(0,1,by=.01)
logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
L=lapply(vecP,logL)
plot(vecP,L,type="l",col="blue",lwd=2,xlab="",ylab="")
abline(v=.5,col="red",lty=2)

En répétant plusieurs milliers de fois, on peut étudier la distribution de cette pente

En note que le score est centré, et ici la variance est

> var(SCORE)
[1] 80.00168
> 20/(.5*(1-.5))
[1] 80
20/(.5*(1-.5))

(ce qui correspond effectivement à l’information de Fisher). Mais cette informationest un concept plus général qu’une variance…
Bon, maintenant essayons de creuser un peu cette histoire d’information (c’est Ronald Fisher qui a – le premier – utilisé ce nom en 1925, bien avant les travaux de Shannon et Wiener sur des mesures logarithme d’information dans un contexte de théorie de la communication).

On cherche a quantifier le mesure d’information d’un échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information07.gif correspondant à une collection de variables aléatoires http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information08.gif, i.i.d. de loi http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information10.gif, et de densité/loi de probabilité http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information11.gif.

Une hypothèse est qu’avoir http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information12.gif observations apporte deux fois plus d’information qu’en avoir seulement http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information13.gif. On a alors quelque chose qui pourrait s’écrire

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information14.gif

Aussi on suppose que pas d’observation signifie pas d’information… J’ai l’impression que les bayésiens ne seraient pas d’accord, mais c’est une autre histoire…

On suppose aussi que l’information dépend de la loi  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information11.gif, et pas de l’échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information07.gif.

On peut aussi noter (c’est une idée peut être plus simple à comprendre dans le contexte de la communication) que la compression ne peut que détériorer l’information. Autrement dit, si on utiliser http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/infofi-01.gif et non pas http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/infori-02.gif, l’information est moins bonne, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/infofi-03.gif

Et le seul cas pour lequel on n’a pas de perte d’information est le cas d’une statistique exhaustive.

On notera aussi qu’une information doit être positive (au pire on n’a pas d’information).

Mais pour relier cette information a une propriété sur la variance de notre estimateur, il faut creuser un peu. Considérons un estimateur sans biais http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information15.gif de http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/infromation16.gif

ou encore (en supposant que l’échantillon soit réduit à une unique observation)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information17.gif

soit, en notant que

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information18.gif

(car on a une densité)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information19.gif

En différenciant par rapport à http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, on peut en déduire que

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information20.gif

soit (en admettant que l’on puisse intervertir intégrale et dérivée)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information21.gif

Or on peut réécrire

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information22.gif

ce qui donne

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information23.gif

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information24.gif

Et là, on invoque l’inégalité de Cauchy-Schwarz afin de garantir que

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information25.gif

On reconnait alors deux espérances, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information26.gif

(pour le terme de gauche, on a utilisé le fait qu’on avait un estimateur sans biais). Bref, il existe plein d’application de cette information, cette dernière inégalité étant probablement la plus importante.
Pour aller un peu plus loin, je peux renvoyer vers des notes de cours de Tran Viet Chi, en ligne ici. Et pour ceux qui veulent aller vraiment plus loin, John Pierce Robert Ash et surtout Solomon Kullback ont écrit des livres entiers sur statistiques et mesure d’information….

Non, les probabilités ne sont pas nos amies…

… et non, nous ne vivons pas le monde merveilleux des Bisounours: la vie n’est pas toujours juste. Les probabilités sont un objet assez curieux à manipuler, pas forcément très intuitif. J’avais évoqué ici et enfin  la notion d’espace probabilisé http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/espace-probabilise.png… En fait, généralement, les calculs de probabilités sont assez troublants et paradoxaux. On va considérer ici des gens devant prendre des situations en présence d’incertitude, et plus particulièrement deux situations: la difficulté de prendre en compte de l’information (et donc de calculer des probabilités conditionnelles) et le cas où les gens doivent agir en prenant des décisions de manière aléatoire (et donc fixent en même les probabilités).

  • Les probabilités conditionnelles

Avant hier, j’avais mis en ligne (ici) un billet sur le paradoxe dit de Monty Hall, où le candidat à un jeu télévisé doit choisir une porte parmi trois (afin de gagner une voiture), une fois son choix effectué, le présentateur ouvre une des deux autres portes (une qui n’a pas de lot derrière) et demande au candidat s’il souhaite revenir sur son choix. Et la réponse est qu’effectivement, le candidat a intérêt à ouvrir la porte qui est restée ouverte (et que l’animateur n’a pas choisie). L’idée du raisonnement est de formaliser proprement cette information à l’aide de lois conditionnelles.

Cette importance de l’information se retrouve par exemple dans l’histoire des cocus de Bagdad ou des yeux bleus (ici). Sinon, sur les paradoxes de probabilité, je peux aussi renvoyer vers des histoires de des lancers de pièces (ici), mais aussi sur le paradoxe des enveloppes () qui pourrait faire penser à l’histoire de Monty Hall. Mais mon préféré sur les lois conditionnelles reste le paradoxe de Simpson (ici, repris sous une forme plus géométrique )…

  • Les probabilités comme paramètres de décision

Dans tous ces exemples, les probabilités sont connues, et il s’agit simplement d’une mise à jour afin de prendre en compte une nouvelle information. Mais il existe des cas encore plus vicieux, où les probabilités ne peuvent pas être considérées comme exogènes, ou objectives, car elles sont déterminées par les joueurs. Considérons une jeu simple, un peu dans l’esprit du pierre-feuille-ciseau (que j’avais déjà évoqué ici, en rappelant qu’il était fondamental de prendre des décisions de manière aléatoire). Dans le jeu d’aujourd’hui, on a toujours deux joueurs, disons moi (P) et ma fille (F). On cache nos mains dans le dos, et on les sort au même moment, en montant un ou deux doigts,

  • si le nombre de doigts sortis est identique (paires (1,1) ou (2,2)), alors je gagne le nombre de doigts sortis, i.e. 2 ou 4
  • si le nombre de doigts sortis est différent (paires (1,2) ou (2,1)), alors ma fille gagne le nombre de doigts sortis, i.e. 3

La matrice des paiements est alors la suivante

P\F 1 2
1 2 -3
2 -3 4

Si on suppose que l’on a une chance sur 4 pour chacune des paires, le jeu est alors a somme nulle, puisque
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-80.png
Sauf que les probabilités sont fixées par les joueurs, en l’occurrence moi et ma fille. Supposons que je sorte 1 doigt avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF1.png, et 2 avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF2.png(avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-81.png). Ma fille sort 1 doigt avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF3.png, et 2 avec probabilitéhttp://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF4.png (avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF5.png). La valeur espérée du jeu (de mon point de vue) est
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF.png
Ma fille cherche http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF15.png qui va minimiser cette valeur, alors que moi, je cherche http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF16.png qui la maximise. Bref, un problème classique de problème minmax de théorie des jeu. L’équilibre (s’il existe) sera http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF17.png où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-18.pnget http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-19.png solution de
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-20.png
A p donné, ma fille cherche à trouver
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-21.png
soit
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-23.png
soit encore
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-25.png
en notant que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-81.png, on peut réécrire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-26.png. Autrement dit, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-27.png, ma fille a toujours intérêt à sortir un doigt (car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-82.png) et ce n’est pas un équilibre… pareillement, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-28.png, ma fille a toujours intérêt à sortir deux doigts, et là encore ce n’est pas un équilibre. Autrement dit, le seul équilibre possible est obtenu lorsque http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-29.png, i.e l’équilibre correspond à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-30.png. De manière dual, pour ma part, je cherchais à trouver
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-31.png
i.e.
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-32.png
soit
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-25.png
qui conduit à un équilibre seulement si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-33.png. Autrement dit, afin que le jeu soit à l’équilibre, il faut que nous jouions la stratégie suivante: sortir un doigt avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-40.png (et pas http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF60.png) et deux avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-41.png. Et la valeur espérée du jeu est alors
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-50.png
Moralité, ma fille tu as intérêt à travailler tes maths si tu veux battre un jour ton père ce n’est pas vraiment un jeu “juste“… à condition bien sûr que moi et ma fille soyons ensuite capable de mettre en œuvre cette stratégie… Car si je regarde avec mes yeux de statisticiens, je pense qu’il est assez dur de faire la différence entre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-40.png et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF60.png … La preuve sur cette petite simulation,

> N=100; pv=rep(NA,100000)
> for(s in 1:100000){
+ X=sample(1:2,size=N,prob=c(5/12,7/12),replace=TRUE)
+ P=prop.test(table(X)[1],n=N,p=1/2)
+ pv[s]=P$p.value}
> mean(pv>0.05)
[1] 0.66776

autrement dit, en supposant que ma fille et moi arrivions a jouer 100 fois à ce jeu, dans 2/3 des cas je n’arrive pas à faire la différence entre une probabilité valant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF60.png et une probabilité valant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-40.png.

Cours de préparation à l’Agregation d’économie, information et incertain

Petite séance d’économie de l’information et de l’incertain dans le cadre de la préparation à l’agrégation. Les slides qui ont été utilisés sont en ligne.

Le cours présente les principes de base en économie de l’incertain (en particulier l’espérance d’utilité, telle que formalisée par par von Neumann et Morgenstern) a partir des lotteries, puis présentera rapidement quelques applications en finance et en assurance.

La seconde partie aborde les deux points clés d’aléa-moral et d’antisélection, et plus généralement d’asymétrie d’information.


Quelques compléments peuvent se trouver sur internet en particulier http://cepa.newschool.edu/ (en anglais), sur la page d’Olivier Gossner ou de Denis Bouyssou, à l’Université de la Réunion, des slides de François Pigalle, ou sinon l’article de Jean Benoit Dujol dans le Tigre. Pour une approche plus “formalisée”, on retiendra les slides de Pierre Cahuc à l’X. Sinon pour une vision plus générale du problème, il y a l’article de Xavier de la Vega paru dans le mensuel Sciences Humaines.

Sinon, une petite précision par rapport à la réponse que j’avais apporté oralement à une question (qui était posée lors du clavardage, “lien Arrow-Debreu ?“). J’avais évoqué l’approche de Gérard Debreu sur l’existence de fonctions d’utilité, mais ce n’était peut-être pas ce qui était posé par l’internaute… Pour reprendre, dans le contexte de l’intervention

  • von Neumann et Morgenstern ont montré qu’introduire une relation d’ordre sur les loteries (c’est à dire supposer que les agents savaient comparer des risques, et des biens aléatoires) était équivalent – moyennant quelques hypothèses sur la relation d’ordre – à supposer que les agents comparent l’espérance (sous la probabilité de survenance des évènements) de l’utilité des revenus (aléatoire).
  • lors de la question posée par clavardage, j’ai essayé de faire un parallèle avec les résultats obtenus par Debreu – un peu après von Neumann et Morgenstern d’ailleurs, en 1959 dans Théorie de la Valeur, et  en 1944 dans Theory of Games and Economic Behavior – qui avait montrer que supposer que les agents pouvaient comparer des biens, ou des paniers de biens, i.e. construire une relation d’ordre sur les ensembles de paniers était équivalent à comparer des utilités (cf. cours de Jean-Yves Jaffray, ou l’article de wikipedia sur l’utilité).
  • mais parrallèlement, Arrow et Debreu ont travaillé ensemble sur d’autres sujets connexes, en particulier introduit un concept fondamental en économie de l’incertain, en particulier dans une optique financière, que sont les “biens d’Arrow-Debreu” ou “Arrow-Debreu asset“. . Ces biens sont fondamentaux en finance car ils permettent de justifier la construction de la probabilité risque neutre, permettant de valoriser des produits sur des marchés en supposant qu’il existe une absence d’opportunité d’arbitrage. Dans un univers incertain, avec E états de la nature, on peut construire E biens d’Arrow-Debreu, chaque bien payant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon. Le prix de tels bien est appelé “prix d’état“. Ils sont essentiels pour valoriser ces les actifs financiers. Des compléments théoriques dans les slides du cours de l’X, mais aussi dans les slides que je présenterais en fin de semaine à Montpellier (ici).

Je ne sais pas si ces éléments permettent de mieux répondre à la question qui était posée, mais la réponse me paraît plus exacte que celle que j’avais faite, omettant de parler des biens d’Arrow-Debreu. Sinon j’ai transmis la demande qui avait été faite de faire une intervention en statistique (rappeler la base de la statistique descriptive) et en théorie de jeux.