Comme je l’avais énoncé rapidement à la fin du chapitre sur les intervalles de confiance, il existe une forme de dualité entre tests et intervalles de confiance. Par exemple, si on considère un test sur la moyenne, de la forme 
contre 
dans un modèle Gaussien, 
, la région d’acceptation (de niveau 
) sera de la forme
soit acceptée avec un niveau (erreur de première espèce associée à un test bilatéral), une condition nécessaire et suffisante est que appartienne à l’intervalle de confiance (symétrique) centré sur la moyenne empirique.Il y a ainsi dualité entre deux concepts
- prendre une valeur acceptée pour un test bilatéral de niveau
- prendre une valeur appartenant à l’intervalle de confiance symétrique de niveau 1-
Considérons par exemple le test asymptotique du rapport de vraisemblance (évoqué ici), dont la région d’acceptation sera de la forme
, l’intervalle de confiance pour 
est
> n=20; alpha=.05 > X=sample(0:1,size=n,replace=TRUE) > neglogL=function(p){-sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))} > pml=optim(fn=neglogL,par=0.5,method="BFGS")$par Warning messages: 1: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced 2: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced > p=seq(0,1,by=.01) > logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))} > > TLR=function(p0){2*(logL(pml)-logL(p0))<qchisq(1-alpha,df=1)} > (IC=sapply(p,TLR)) [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [13] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [25] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE [37] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE [49] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE [61] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE [73] TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [97] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE > c(p[min(which(IC==TRUE))],p[max(which(IC==TRUE))]) [1] 0.34 0.75
Graphiquement, on visualise l’intervalle de confiance (à 95%) entre les deux traits verticaux.
De manière duale, à partir d’un intervalle de confiance 
pour , on peut construire un test. Si 
appartient à , on accepte H_0, sinon on rejette cette hypothèse. Par construction,
appartient à cet intervalle, on accepte 
(contre l’hypothèse bilatérale 
).
> a=mean(X)-1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X))) > b=mean(X)+1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X))) > c(a,b) [1] 0.3319638 0.7680362
La région entre les deux traits verticaux est la région d’acceptation.