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Chain Ladder, avec R

Un billet rapide pour mettre en ligne des parties du code tapé en cours, mercredi dernier. On avait commencé par convertir la feuille du classeur excel en un fichier texte, pour faciliter la lecture,

> setwd("C:\\Users\\savsalledecours\\Desktop")
> triangle=read.table("exACT2040.csv",header=TRUE,sep=";")	
> triangle
  ANNEE   X0   X1   X2   X3   X4   X5
1  2000 3209 4372 4411 4428 4435 4456
2  2001 3367 4659 4696 4720 4730   NA
3  2002 3871 5345 5398 5420   NA   NA
4  2003 4239 5917 6020   NA   NA   NA
5  2004 4929 6794   NA   NA   NA   NA
6  2005 5217   NA   NA   NA   NA   NA

L’idée – quand on importe un triangle – est de récupérer une base sous la forme précédente, avec des valeurs manquantes dans la partie inférieure du triangle (on verra l’intérêt quand on fait une régression). On avait ensuite calculé les facteurs de transition, et en même temps complété le triangle,

> T=triangle[,2:7]
> rownames(T)=triangle$ANNEE
> T2=T
> n=ncol(T)
> L=rep(NA,n-1)
> for(j in 1:(n-1)){
+ L[j]=sum(T[1:(n-j),j+1])/sum(T[1:(n-j),j])
+ T2[(n-j+1):n,j+1]=L[j]*T2[(n-j+1):n,j]
+ }

Les facteurs de transition sont ici,

> L
[1] 1.380933 1.011433 1.004343 1.001858 1.004735

et le triangle complété

> T2
       X0       X1       X2       X3       X4       X5
2000 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456.000
2001 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000 4752.397
2002 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072 5455.784
2003 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383 6086.065
2004 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344 6947.084
2005 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939 7366.656

Le montant de provision est ici en faisant la différence entre la charge ultime (dans la dernière colonne) et les derniers paiements observés (sur la seconde diagonale)

> CU=T2[,n]
> Pat=diag(as.matrix(T2[,n:1]))
> Ri=CU-Pat
> R=sum(Ri)

soit, numériquement

> R
[1] 2426.985

On avait alors vu que l’on pouvait calculer un tail factor, en supposant une décroissance exponentielle des facteurs de transition, et on rajoutait alors une colonne correspondant au montant ultime, par année d’accident,

> logL=log(L-1)
> t=1:5
> b=data.frame(logL,t)
> reg=lm(logL~t,data=b)
> logLp=predict(reg,newdata=data.frame(t=6:100))
> Lp=exp(logLp)+1
> Linf=prod(Lp)
> T3=T2
> T3$Xinf=T3$X5*Linf

On a ici

> T3
       X0       X1       X2       X3       X4       X5     Xinf
2000 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456.000 4459.149
2001 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000 4752.397 4755.755
2002 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072 5455.784 5459.639
2003 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383 6086.065 6090.366
2004 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344 6947.084 6951.993
2005 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939 7366.656 7371.862

(je laisse reprendre le code pour calculer le montant de provisions). Enfin, on avait montré comment utiliser une régression pondérée, pour calculer les facteurs de transition,

> T4=as.matrix(T$X0,n,1)
> for(j in 1:(n-1)){
+ Y=T[,j+1]
+ X=T[,j]
+ base=data.frame(X,Y)
+ reg=lm(Y~0+X,weights=1/X)
+ T4=cbind(T4,
+ predict(reg,
+ newdata=data.frame(X=T4[,j]
+ )))
+ }

Ce qui donnait la même projection que la méthode Chain Ladder

> T4
  [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]
1 3209 4431.414 4482.076 4501.543 4509.909 4531.263
2 3367 4649.601 4702.758 4723.184 4731.961 4754.367
3 3871 5345.591 5406.705 5430.188 5440.279 5466.039
4 4239 5853.775 5920.698 5946.414 5957.464 5985.673
5 4929 6806.619 6884.435 6914.337 6927.186 6959.986
6 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939 7366.656

La suite mercredi prochain, même si on risque d’aller très vite sur la méthode de Mack (et les calculs d’erreur quadratique moyenne pour arriver à la régression de Poisson). A suivre donc…

Solvabilité et provisionnement

Mercredi, nous allons aborder en cours les aspects de solvabilité des compagnies d’assurance IARD. Plus particulièrement, nous parlerons des provisions pour sinistres à payer, ou “provision for claims outstanding (PCO)” selon la terminologie anglaise, i.e. “the estimated total cost of ultimate settlement of all claims incurred before the date of record, whether reported or not, less any amounts already paid out in respect thereof.” Je renvoie à la lecture de Le contrôle de la solvabilité des compagnies d’assurance  en ligne sur le site de l’OCDE, pour une vision globale des approches de ces provisions. La SOA avait publié un rapport en 2009, Comparison of Incurred But Not Reported IBNR Methods que j’encourage à lire.

Nous aborderons mercredi les triangles. Parmi les triangles que nous manipulerons

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/bases.R")

qui contient plusieurs fichiers, dont

> PAID
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345 5338 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217   NA   NA   NA   NA   NA

ainsi que le triangle évoqué sur http://rworkingparty.wikidot.com/

> OthLiabData = read.csv("http://www.casact.org/research/reserve_data/othliab_pos.csv",header=TRUE, sep=",")
> library(ChainLadder)
> OL = SumData=ddply(OthLiabData,.(AccidentYear,DevelopmentYear,DevelopmentLag),summarise,IncurLoss=sum(IncurLoss_h1-BulkLoss_h1),
+ CumPaidLoss=sum(CumPaidLoss_h1), EarnedPremDIR=sum(EarnedPremDIR_h1))
> LossTri = as.triangle(OL, origin="AccidentYear",
+ dev = "DevelopmentLag", value="IncurLoss")
> Year = as.triangle(OL, origin="AccidentYear",
+ dev = "DevelopmentLag", value="DevelopmentYear")
> TRIANGLE=LossTri
> TRIANGLE[Year>1997]=NA
> TRIANGLE
      dev
origin      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10
  1988 128747 195938 241180 283447 297402 308815 314126 317027 319135 319559
  1989 135147 208767 270979 304488 330066 339871 344742 347800 353245     NA
  1990 152400 238665 297495 348826 359413 364865 372436 372163     NA     NA
  1991 151812 266245 357430 400405 423172 442329 460713     NA     NA     NA
  1992 163737 269170 347469 381251 424810 451221     NA     NA     NA     NA
  1993 187756 358573 431410 476674 504667     NA     NA     NA     NA     NA
  1994 210590 351270 486947 581599     NA     NA     NA     NA     NA     NA
  1995 213141 351363 444272     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA
  1996 237162 378987     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA
  1997 220509     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA     NA

Triangles et provisionnement

La première partie du cours sur le provisionnement (calcul des provisions pour sinistres à payer) aura lieu dans 10 jours. Les transparents sont en ligne ici, et portent sur la construction des triangles de paiements. La méthode chain ladder (et la formalisation proposée par Thomas Mack) ainsi que les extensions seront présentées. La seconde partie portera sur les méthodes basées sur la régression de Poisson.

Readings on IBNR and claims reserving

The second part of the course on nonlife insurance will be dedicated to IBNR and claims reserving techniques. The main reference is the textbook by Mario Wüthrich and Michael Merz (a preliminary version can be downloaded from http://actuaries.ch/…)

The first reference is Best Estimates for Reserves by by Glen Barnett and Ben Zehnwirth is available online http://casact.org/pubs/…. In 2004 , Ben Zehnwirth, Julie Sims and Mark Shapland published Will Your Next Reserve Increase Be Your Last, available on http://contingencies.org/janfeb04/…. Finally, on simulation based techniques, The Actuary published an article entitled about the bootstrap, http://insureware.com/Library/… For further readings, here are some articles, found in the CAS forums, the ASTIN conferences, etc,

Claims reserving and IBNR with R

Following previous posts on life contingencies and longevity and mortality models, I upload additional material for the short course at the 6th R/Rmetrics Meielisalp Workshop & Summer School on Computational Finance and Financial Engineering organized by ETH Zürich, https://www.rmetrics.org/. The third part of the talk (on Actuarial models with R) will be dedicated to IBNR and claims reserving. A complete set of slides can be downloaded from the blog, but again, only some part will be presented. Note that the slides start with a parallel between mortality tables (in life insurance) and payment triangles (in non-life insurance).

Once again, the codes are from a book on actuarial science in R, written with Christophe Dutang (so far in French) that should appear, some day… The code used in the slides above are based on the following datasets,

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/ + bases.R")

We will built our own functions to derive all quantities. One function used can be found here

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/ + merz-wuthrich-triangle.R")

Finally, note that most of the code can be found in the following library

> library(ChainLadder)

ACT2040: examen final (suite et fin)

Comme annoncé, l’examen terminal a lieu ce matin, et il est basé sur des données mises en ligne sur le blog depuis une dizaine de jours. L’énoncé est un peu longue, avec une bonne trentaine de pages de sorties informatiques, et un énoncécomprenant une trentaine de questions. Des éléments de correction sont en ligne ci-dessous (plutôt que de taper une correction en pdf, autant mettre le code en ligne).

On suppose importée les bases (sinon, le code est ici). Pour la première partie – sur la tarification (a priori) – la fréquence annuelle de sinistres est tout simplement

> mean(BASEN$nombre)/mean(BASEN$exposition)
[1] 0.05241692
> exp(glm(nombre~1,offset=log(exposition),data=BASEN,
+ family=poisson(link="log"))$coefficients)
(Intercept)
0.05241692

(je vais essayer de donner à chaque question deux méthodes pour obtenir le résultat). Si on suppose que le nombre de sinistres par an suit une loi de Poisson, alors la probabilité d’avoir au moins un accident est

> lambda=mean(BASEN$nombre)/mean(BASEN$exposition)
> 1-ppois(0,lambda)
[1] 0.05106684
> 1-exp(-lambda)
[1] 0.05106684

Si on cherche à distinguer par sexe du conducteur principal

> mean(BASEN$nombre[BASEN$sexeconducteur=="H"])/
+ mean(BASEN$exposition[BASEN$sexeconducteur=="H"])
[1] 0.05218143
> mean(BASEN$nombre[BASEN$sexeconducteur=="F"])/
+ mean(BASEN$exposition[BASEN$sexeconducteur=="F"])
[1] 0.05457013
> exp(glm(nombre~0+sexeconducteur,offset=log(exposition),
+ data=BASEN,family=poisson(link="log"))$coefficients)
sexeconducteurF sexeconducteurH
0.05457013      0.05218143

Ces deux valeurs ne sont pas significativement différentes. Si on regarde la sortie de la régression

Coefficients:
                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
sexeconducteurF -2.90827    0.05464  -53.23   <2e-16 ***
sexeconducteurH -2.95303    0.01848 -159.82   <2e-16 ***

les deux coefficients sont quasiment identiques (en enlevant la constante). Si on rajoute la constante, la modalité de référence devientle sexe féminin

Coefficients:
                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)     -2.90827    0.05464 -53.230   <2e-16 ***
sexeconducteurH -0.04476    0.05768  -0.776    0.438

et la modalité homme n’est alors plus significative. Bref, le sexe du conducteur n’est pas une variable explicative.

Ensuite, parmi les variables qui semble pouvoir etre utilisée pour modéliser le nombre de sinistre, on pourra retenir l’age du conducteur (décroissant jusqu’à 30 ans, puis croissant), l’age du véhicule (décroissant), l’ancienneté du permis de conduire (décroissant les 10 premières années puis croissant – ou indépendant), éventuellement certains type de véhicules (le coupé cabriolet semble avoir – en moyenne – plus d’accident que la Jeep), la situation familiale, le lieu d’habitation (en particulier rural semble avoir moins d’accident qu’urbain), le statut d’habitation, le type de paiement de la prime (mensuel semblant plus risqué qu’annuel), le poids du véhicule, ou la marque (ou plutot certaines marques, comme Peugeot versus Burstner Mobil). Bref, toutes, sauf le sexe du conducteur.

Pour un conducteur de 45 ans qui a son permis de conduire depuis seulement 5 ans, les trois modèles donnent la fréquence annuelle suivante

> nbase=data.frame(ageconducteur=45,agepermis=5,exposition=1)
> exp(t(c(1,5))%*%reg6$coefficients)
[,1]
[1,] 0.03395972
> predict(reg6,newdata=nbase,type="response")
1
0.03395972
> exp(t(c(1,45))%*%reg7$coefficients)
[,1]
[1,] 0.04100356
> predict(reg7,newdata=nbase,type="response")
1
0.04100356
> exp(t(c(1,5,45))%*%reg8$coefficients)
[,1]
[1,] 0.05395398
> predict(reg8,newdata=nbase,type="response")
1
0.05395398

Les trois modèles sont respectivement un modèle de Poison avec un lien log, un modèle binomiale négative avec un lien log, et un modèle binomial, avec un lien logit. Les deux premiers sont très proches: ils ont la meme fonction de lien, et comme nous l’avions vu à l’examen intra, le modèle binomiale négative est un modèle de Poisson avec une variable latente non observée qui suivrait une loi Gamma. Donc pour ces deux modèles, si les classes sont homogènes, et que par classe, la loi de Poisson est adaptée, il est normal d’avoir des coefficients très proches. Pour le modèle binomial avec un lien logistique, il faut se souvenir que la fonction lien est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/act2040-1.gif

car ici la probabilité d’avoir un accident est faible. Donc les deux fonctions liens sont proches. De plus, pour une loi de Poisson

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/act2040-2.gif
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/act2040-3.gif

Bref, pour notre loi de Poisson, on a presque une loi binomiale de paramètre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/act2040-4.gif si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/act2040-4.gif est petit.

Pour la prédiction suivant les trois modèles, on utilise classiquement

> exp(t(c(1,40,0,0,1,0,1,0))%*%reg9$coefficients)
           [,1]
[1,] 0.04351037

Comme on a accès aux sorties, pour les trois modèles, les trois prédictions sont très proches (mais on s’en doutait d’après la question précédante)

> predict(reg9,newdata=nbase,type="response")
         1 
0.04351037 
> predict(reg10,newdata=nbase,type="response")
         1 
0.04351056 
> predict(reg11,newdata=nbase,type="response")
         1 
0.04352741

Pour la méthode de biais minimal, il s’agit du principe de balancement, qui coïncide avec la régression de Poisson sur les classes. Pour les régressions stepwise, dans un cas, on élimine (étape par étape) des variables, et dans l’autre cas, des modalités de variables (pour les variables qualitatives).

Les deux modèles semblent valides, au sens où toutes les variables sont significatives. Le découpage en classes pour l’age du véhicule semble justifié par l’arbre de régression, qui suggèrait de découper à 8 et 14 ans. Pour les prédictions, on a pour le premier modèle

> nbase15=data.frame(ageconducteur=40,agepermis=20,
+ habitation="urbain",locataire=TRUE,paymensuel=FALSE,
+ marie=TRUEFORD=TRUE,RENAULT=FALSE,PEUGEOT=FALSE,
+ exposition=1)
> predict(reg15,newdata=nbase15,type="response")
         1 
0.03398312

alors que le second donne

> nbase16=data.frame(ageconducteur=40,agevehF="NEUF",rural=FALSE,
+ locataire=TRUE,paymensuel=FALSE,marie=TRUE,
+ jeune=FALSE,ancien=FALSE,exposition=1)
> predict(reg16,newdata=nbase16,type="response")
         1 
0.05208656

Moralité, nos deux modèles (qui semblent autant valides l’un que l’autre) donnent des prédictions relativement différentes. Si l’assuré change de voiture, cela n’a pas d’influence pour le second modèle (le véhicule est toujours dans la catégorie neuf). Pour le premier, il perd le rabais qu’il avait en conduisant un véhicule Ford, et donc la fréquence annuelle de sinistre augmente de 23.5%

> 1/exp(reg15$coefficients["FORDTRUE"])
FORDTRUE 
1.235329

Bref, la prédiction devient

> predict(reg15,newdata=nbase15,type="response")/
+ exp(reg15$coefficients["FORDTRUE"])
         1 
0.04198033

On peut d’ailleurs le vérifier simplement,

> nbase15b=data.frame(ageconducteur=40,agepermis=20,
+ habitation="urbain",locataire=TRUE,paymensuel=FALSE,
+ marie=TRUE,FORD=FALSE,RENAULT=FALSE,PEUGEOT=FALSE,
+ exposition=1)
> predict(reg15,newdata=nbase15b,type="response")
         1 
0.04198033

Si on passe maintenant à la modélisation de la charge de sinistres, le coût moyen par sinistre serait

> mean(BASEY$cout)
[1] 1468.522

Cette fois, contrairement à la modélisation de la fréquence, il est plus difficile de trouver des variables explicatives. A priori, au vu des graphiques, aucune variable ne semblerait convenir…
Si on regarde la prédiction pour le premier modèle obtenu,

> nbase7=data.frame(VOLKSWAGEN=FALSE,agepermis=20,
+ sexeconducteur="H",usage="TOUS_DEPLACEMENTS")
> predict(regr7,newdata=nbase7,type="response")
       1 
1388.622

alors que pour le second,

> exp(predict(regr8,newdata=nbase7))*
+ exp(summary(regr8)$sigma^2/2)
       1 
1359.552

Si c’est la femme de l’assuré qui avait pris l’assurance, cela n’aurait rien changé pour le second modèle. En revanche, pour le premier, l’assuré perdrait le rabais qu’il avait en étant un homme, et donc le cout moyen attendu augmenterait de 23%,

> 1/exp(regr7$coefficients["sexeconducteurH"])
sexeconducteurH 
       1.237832

i.e.

> predict(regr7,newdata=nbase7,type="response")/
+ exp(regr7$coefficients["sexeconducteurH"])
       1 
1718.88

La encore, on retrouve le meme résultat directement

> nbase7b=data.frame(VOLKSWAGEN=FALSE,agepermis=20,
+ sexeconducteur="F",usage="TOUS_DEPLACEMENTS")
> predict(regr7,newdata=nbase7b,type="response")
       1 
1718.88

Passons maintenant aux calculs de la prime pure. Sans segmentation, la prime pure serait

> sum(BASEN$nombre)/sum(BASEN$exposition)*
+ mean(BASEY$cout)
[1] 76.9754

Les prédictions des modèles pour la fréquence donnaient

> (n1=predict(reg15,newdata=nbase15,type="response"))
         1 
0.03398312 
> (n2=predict(reg16,newdata=nbase16,type="response"))
         1 
0.05208656

alors que pour les couts moyens par sinistre, nous avions

> (c1=predict(regr7,newdata=nbase7,type="response"))
       1 
1388.622 
> (c2=exp(predict(regr8,newdata=nbase7))
+ *exp(summary(regr8)$sigma^2/2))
       1 
1359.552

Les quatre primes pures obtenues sont alors

> c(n1,n2)%*%t(c(c1,c2))
            1        1
[1,] 47.18972 46.20183
[2,] 72.32855 70.81440

Passons maintenant à la seconde partie – sur le provisionnement des sinistres à payer. On commence par travailler sur le triangle

TRIANGLE2010
          D1      D2      D3      D4      D5      D6      D7      D8      D9
A2002 357848 1124788 1735330 2218270 2745596 3319994 3466336 3606286 3833515
A2003 352118 1236139 2170033 3353322 3799067 4120063 4647867 4914039 5339085
A2004 290507 1292306 2218525 3235179 3985995 4132918 4628910 4909315      NA
A2005 310608 1418858 2195047 3757447 4029929 4381982 4588268      NA      NA
A2006 443160 1136350 2128333 2897821 3402672 3873311      NA      NA      NA
A2007 396132 1333217 2180715 2985752 3691712      NA      NA      NA      NA
A2008 440832 1288463 2419861 3483130      NA      NA      NA      NA      NA
A2009 359480 1421128 2864498      NA      NA      NA      NA      NA      NA
A2010 376686 1363294      NA      NA      NA      NA      NA      NA      NA

Pour obtenir le montant payé en 2008 pour les sinistres survenus en 2004, on utilise la différence entre

> TRIANGLE2010["A2004",c("D4","D5")]
           D4      D5
A2004 3235179 3985995

i.e.

> TRIANGLE2010["A2004","D5"]-TRIANGLE2010["A2004","D4"]
[1] 750816

Pour le montant payé au total en 2005, on utilise

> CUMULPAIEMENTS2010=TRIANGLE2010
> INCREMENTPAIEMENTS2010=CUMULPAIEMENTS2010
> INCREMENTPAIEMENTS2010[,2:9]=CUMULPAIEMENTS2010[,2:9]-
+ CUMULPAIEMENTS2010[,1:8]
> sum(diag(as.matrix(INCREMENTPAIEMENTS2010[1:4,4:1])))
[1] 2729241

On attaque maintenant la méthode Chain Ladder. Les coefficients de développement sont

> lambda=rep(NA,8)
> for(k in 1:8){
+ lambda[k]=(sum(TRIANGLE2010[1:(9-k),k+1])/
+ sum(TRIANGLE2010[1:(9-k),k]))}
> lambda[1:5]
[1] 3.474193 1.704149 1.460866 1.161765 1.095763

On peut alors obtenu ce qui sera payé en 2011 pour les sinistres survenus en 2010,

> TRIANGLE2010["A2010","D1"]*(lambda[1]-1)
[1] 931993.8

alors que pour le montant payé en 2011 pour les sinistres survenus en 2009,

> TRIANGLE2010["A2009","D2"]*(lambda[2]-1)
[1] 1000686

Pour le montant payé en 2010 et 2011 pour les sinistres survenus en 2010,

> TRIANGLE2010["A2010","D1"]*lambda[1]*lambda[2]
[1] 2230186

Pour les sinistres survenus en 2008, la charge total estimée sera

> TRIANGLE2010["A2008","D3"]*prod(lambda[3:8])
[1] 5531128

ce qui fait un montant de provision

> TRIANGLE2010["A2008","D3"]*(prod(lambda[3:8])-1)
[1] 3111267

On rajoute maintenant une diagonale dans notre triangle, i.e. une nouvelle année de paiements (en 2011).
Le montant payé en 2011 pour les sinistres survenus en 2010 est

> TRIANGLE2011["A2010","D2"]-TRIANGLE2011["A2010","D1"]
[1] 986608

à comparer avec

> TRIANGLE2010["A2010","D1"]*(lambda[1]-1)
[1] 931993.8

prédit par la méthode Chain-Ladder, soit une erreur de l’ordre de 5%,

> (TRIANGLE2011["A2010","D2"]-
+ TRIANGLE2011["A2010","D1"])/
+ (TRIANGLE2010["A2010","D1"]*(lambda[1]-1))-1
[1] 0.05859927

Si on compare maintenant les coefficients de transition de la méthode Chain Ladder,

> lambda2011=rep(NA,9)
> for(k in 2:9){
+ lambda2011[k]=(sum(TRIANGLE2011[1:(10-k),k+1])/
+ sum(TRIANGLE2011[1:(10-k),k]))}
> lambda2011[1:5]
[1]       NA 1.747333 1.457413 1.173852 1.103824
> lambda[1:5]
[1] 3.474193 1.704149 1.460866 1.161765 1.095763

Le coefficient permettant de passer de la colonne 2 à la colonne 3 augmente (légèrement). Si on regarde la prédiction du montant de paiements effectué en 2012 pour les sinistres survenus en 2009,

> TRIANGLE2011["A2009","D3"]*(lambda2011[3]-1)
[1] 1310258

qui sont à comparer avec les

> TRIANGLE2010["A2009","D2"]*lambda[2]*(lambda[3]-1)
[1] 1116132

estimés un an auparavant. La variation entre les estimations est de l’ordre de 17%,

> TRIANGLE2011["A2009","D3"]*(lambda2011[3]-1)/
+ (TRIANGLE2010["A2009","D2"]*lambda[2]*(lambda[3]-1))-1
[1] 0.1739278

Entre 2010 et 2012, on peut estimer que l’on payera

> TRIANGLE2011["A2010","D2"]*lambda2011[2]
[1] 2382128

pour les sinistres survenus en 2010.
Si on se focalise sur les sinistres survenus en 2008, la prédiction de la charge finale est ici

> TRIANGLE2011["A2008","D4"]*prod(lambda2011[4:9])
[1] 5660771

à comparer avec la prédiction faire en 2010,

> TRIANGLE2010["A2008","D3"]*prod(lambda[3:8])
[1] 5531128

i.e. notre nouvelle prédiction est 2% plus élevée,

> TRIANGLE2011["A2008","D4"]*prod(lambda2011[4:9])/
+ (TRIANGLE2010["A2008","D3"]*prod(lambda[3:8]))-1
[1] 0.02343867

Le provisions pour sinistres à payer pour les sinistres survenus en 2008 est estimé, fin 2011, à

> TRIANGLE2011["A2008","D4"]*(prod(lambda2011[4:9])-1)
[1] 2177641

alors que fin 2010, un montant de provision avait été constitué, à hauteur de

> TRIANGLE2010["A2008","D3"]*(prod(lambda[3:8])-1)
[1] 3111267

On notera que la différence

> TRIANGLE2011["A2008","D4"]*(prod(lambda2011[4:9])-1)-
+ TRIANGLE2010["A2008","D3"]*(prod(lambda[3:8])-1)
[1] -933626.7

vient des paiements effectués en 2011, et du changement dans l’estimation de charge ultime

> TRIANGLE2011["A2008","D4"]*prod(lambda2011[4:9])-
+ (TRIANGLE2010["A2008","D3"]*prod(lambda[3:8]))
[1] 129642.3
> TRIANGLE2011["A2008","D4"]-TRIANGLE2011["A2008","D3"]
[1] 1063269
> TRIANGLE2011["A2008","D4"]*prod(lambda2011[4:9])-
+ (TRIANGLE2010["A2008","D3"]*prod(lambda[3:8]))-
+ (TRIANGLE2011["A2008","D4"]-TRIANGLE2011["A2008","D3"])
[1] -933626.7

On attaque enfin la dernière partie, avec la régression de Poisson. La prédiction du montant de paiements faits en 2012 pour les sinistres survenus en 2009 est ici

> Y=as.vector(as.matrix(INCREMENTPAIEMENTS2011))
> ANNEE=rep(2002:2010,10)
> DEVEL=rep(1:10,each=9)
> baseTriangle=data.frame(Y,A=as.factor(ANNEE),
+ D=as.factor(DEVEL))
> reg=glm(Y~A+D,data=baseTriangle,famil=poisson(link="log"))
> nbase=data.frame(A="2009",D="4")
> predict(reg,newdata=nbase,type="response")
      1 
1310258

qui correspond à ce que donnait la méthode Chain Ladder

> TRIANGLE2011["A2009","D3"]*(lambda2011[3]-1)
[1] 1310258

(mais on savait que les deux modèles prédisaient la même chose). Pour les sinistres survenus en 2005, le montant de provisions à constituer est

> nbase=data.frame(A="2005",D=c("8","9","10"))
> predict(reg,newdata=nbase,type="response")
       1        2        3 
247190.0 370179.3  92268.5 
> sum(predict(reg,newdata=nbase,type="response"))
[1] 709637.8

qui, là encore, correspond à ce que prédisait la méthode Chain Ladder.

> TRIANGLE2011["A2005","D7"]*(prod(lambda2011[7:9])-1)
[1] 709637.8

Tail factor et clôture de la première ligne des triangles de paiements

La grosse hypothèse que l’on a fait quand on travaillait sur les triangles, était que la première année était close. Et donc, que pour la première ligne de paiements cumulés, le montant final était la charge totale des sinistres survenus cette année là. En fait, en 1999, Thomas Mack avait proposé un modèle relativement simple permettant l’inclusion d’un tail factor. L’idée est que l’on peut supposer que les facteurs de développement dans la méthode Chain Ladder décroissent tranquillement vers 1. Toujours sur le même triangle (mais en utilisant une régression pondérée sans constante – ce qui permet d’éviter les problèmes des valeurs manquantes à n’importe quel endroit dans le triangle), nous avions

> LAMBDA <- rep(NA,nc-1)
> for(k in 1:(nc-1)){
+ LAMBDA[k]=lm(PAID[,k+1]~0+PAID[,k],
+ weights=1/PAID[,k])$coefficients}
> LAMBDA
[1] 1.380933 1.011433 1.004343 1.001858 1.004735

Par “tranquillement”, on entend une décroissance exponentielle des coefficients avec le temps. On peut estimer un modèle linéaire sur le logarithme des facteurs de développement

> logL <- log(LAMBDA-1)
> tps <- 1:(nc-1)
> modele <- lm(logL~tps)
> plot(tps,logL,xlim=c(1,20),ylim=c(-30,0),col="red")
> abline(modele)
> tpsP <- seq(6,1000)
> logP <- predict(modele,newdata=data.frame(tps=tpsP))
> points(tpsP,logP ,pch=0,col="blue")

 

Si on regarde les coefficients de transition, on a

Pour passer de la dernière colonne observé à la charge ultime, il suffit de faire le produit des facteurs de transitions pour les années non encore observées, c’est à dire les points bleus

> (facteur <- prod(exp(logP)+1))
[1] 1.000707

Autrement dit, il faudrait rajouter 0.07% à la charge ultime. Sans ce facteur ultime, le montant de provisions était

> DIAG <- diag(PAID[,6:1])
> PRODUIT <- c(1,rev(LAMBDA))
> sum((cumprod(PRODUIT)-1)*DIAG)
[1] 2426.985

mais si on rajoute le facteur que l’on vient de calculer, on passe à

> sum((cumprod(PRODUIT)*facteur-1)*DIAG)
[1] 2451.764

On retrouve ici la même chose que ce qui est obtenu sous R,

> MackChainLadder(PAID,tail=TRUE)
MackChainLadder(Triangle = PAID, tail = TRUE)

Latest Dev.To.Date Ultimate     IBNR Mack.S.E CV(IBNR)
1  4,456       0.999    4,459     3.15    0.299   0.0948
2  4,730       0.995    4,756    25.76    0.712   0.0277
3  5,420       0.993    5,460    39.64    2.528   0.0638
4  6,020       0.988    6,090    70.37    5.064   0.0720
5  6,794       0.977    6,952   157.99   31.357   0.1985
6  5,217       0.708    7,372 2,154.86   68.499   0.0318

Totals
Latest:             32,637.00
Dev:                     0.93
Ultimate:           35,088.76
IBNR:                2,451.76
Mack S.E.:              79.37
CV(IBNR):  0.0323730538389919

Chain ladder

Pour la fin du cours, on a commencé à voir la méthode dite Chain Ladder. Pour cela, rappelons que l’on dispose du jeu de données suivants, de paiements cumulés,

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/bases.R")
> PAID
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345 5398 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217   NA   NA   NA   NA   NA
> PAID/PREMIUM
       [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]
[1,] 0.6989 0.9522 0.9607 0.9644 0.9660 0.9705
[2,] 0.7206 0.9972 1.0051 1.0102 1.0124     NA
[3,] 0.7960 1.0991 1.1100 1.1145     NA     NA
[4,] 0.8191 1.1433 1.1632     NA     NA     NA
[5,] 0.8688 1.1976     NA     NA     NA     NA
[6,] 0.8112     NA     NA     NA     NA     NA

si on visualise l’évolution du ratio sinistre/primes. On peut visualiser les facteurs de transition dans le tableau ci-dessous,

> PAID[,2:6]/PAID[,1:5]
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
[1,] 1.362418 1.008920 1.003854 1.001581 1.004735
[2,] 1.383724 1.007942 1.005111 1.002119       NA
[3,] 1.380780 1.009916 1.004076       NA       NA
[4,] 1.395848 1.017407       NA       NA       NA
[5,] 1.378373       NA       NA       NA       NA
[6,]       NA       NA       NA       NA       NA

Toutefois, pour faire le ratio moyen, on ne fait pas la moyenne des ratios, ou alors à condition de pondérer correctement, par exemple pour passer de la première à la seconde ligne du tableau,

> k=1
> weighted.mean(x=PAID[,k+1]/PAID[,k],w=PAID[,k],na.rm=TRUE)
[1] 1.380933
> sum(PAID[1:(6-k),k+1])/sum(PAID[1:(6-k),k])
[1] 1.380933

En itérant, on récupère l’ensemble des coefficients de transition,

> lambda=rep(NA,5)
> for(k in 1:5){
+ lambda[k]=(sum(PAID[1:(6-k),k+1])/sum(PAID[1:(6-k),k]))}
> lambda
[1] 1.380933 1.011433 1.004343 1.001858 1.004735

Une fois récupérés tous les coefficients de transition, on peut compléter la partie inférieure du triangle (ou de la matrice),

> PROJECTION=PAID
> for(k in 1:5){
+ PROJECTION[((7-k):6),k+1]=PROJECTION[((7-k):6),k]*lambda[k]
+ print(PROJECTION)}
[,1]     [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794.000   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217 7204.327   NA   NA   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672   NA   NA   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691   NA   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147   NA   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518   NA   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456.000
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000 4752.397
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072 5455.784
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383 6086.065
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344 6947.084
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939 7366.656

où on visualise, étape par étape, le remplissage de la partie inférieure de la matrice. La dernière colonne contient des prédictions des charges ultimes, par année de survenance, et sur la diagonale, on a toujours le montant de paiements déjà effectués par année de survenance. Le montant de provision est alors la différence entre ce que l’on pense payer, et ce que l’on a déjà payé.

> PROJECTION[,6]-diag(PAID[,6:1])
[1]    0.00   22.3968   35.7838   66.0646  153.0835 2149.6564
> sum(PROJECTION[,6]-diag(PAID[,6:1]))
[1] 2426.985

Uncertainty in claims reserving (WIM)

I will be talking on Friday, at the 1st Québec-Ontario Workshop on Insurance Mathematics (so called WIN, already mentioned here). The program is now online here. My talk will be on Solvency II requirements in claims reserving (slides can be found here). Even if Canada will not adapt the Solvency II European capital test, it looks like Solvency II will matter to Canadian insurance companies (as mentioned here).

Talk for students in actuarial science

Talk for the students of the undergraduate program in Actuarial Science in Belo Horizonte, Tuesday, on “claims reserving (IBNR) and statistical issues“. Slides can be found here.

Based on recent studies, such as the report by Swiss Re (here), the CAS Working Group on Quantifying Variability in Reserve Estimates (here), or the ROC/GIRO report on Best Estimates and Reserving Uncertainty (there), I will stress on important issues in statistical estimation of claim reserves. Note that a report by Tillinghast can also be found here.

I will also mention statutory elements, such as MCR and SCR, i.e. insurance company are now requiered not only to provide a best estimate for there IBNR, but also have to quantify uncertainty.

I will also mention practical issues for actuaries (and statisticians), using package ChainLadder from R, and showing how it becomes possible to interface R and MSExcel (see e.g. slides here, based on RExcel-Addin).