La semaine passée, on avait fait quelques calculs pour obtenir l’information de Fisher pour des lois classiques. Je voulais juste remettre au propre les calculs pour les lois à plusieurs paramètres. Pour la loi Gamma,
la log-vraisemblance s’écrit
de telle sorte que
Ici, même pas besoin de prendre une espérance car la Hessienne est constante
Un billet rapide pour compléter et illustrer le passage au log dans un modèle linéaire (que l’on abordera cette semaine en cours). Le point de départ est le modèle linéaire, où on suppose que, conditionnellement à ,
suit une loi normale. Pour rappel, si on a une loi normale,
, alors
et
. Les intervalles de confiance à 90% et 95% sont symétriques par rapport à la moyenne (qui est aussi la médiane, soit dit en passant),
Dans un modèle Gaussien avec homoscédasiticité, i.e.
alors que
. On a alors les bandes de confiance suivantes, pour un modèle de régression linéaire,
Bon, maintenant, que se passe-t-il si on prend l’exponentiel ? Pour la loi normale, rappelons que l’on obtient une loi lognormale, i.e. , les deux paramètres étant liés à la loi normale sous jacente, car désormais
alors que
Graphiquement, on a la loi suivante, avec les intervalles de confiance à 90% et 95% représentés ci-dessous. Le point noir est alors que le point bleu est l’espérance de la loi lognormale.
On notera que le quantile de la loi log-normale est l’exponentiel du quantile de la loi normale. En effet, si alors
. En particulier,
n’est pas la moyenne de
, mais la médiane (puisque
était la médiane de
).
Mais il n’est pas rare de voir utilisé un intervalle de confiance de la forme
qui est la forme classique de l’intervalle de confiance Gaussien (symétrique autour de la moyenne). Ici, on aurait les niveaux suivants
Notons qu’il n’y a aucune raison ici d’avoir une probabilité d’être dans l’intervalle de confiance obtenu avec les quantiles
de la loi normale.
Maintenant, si on prend l’exponentiel d’un modèle linéaire (i.e. le logarithme de la variable d’intérêt est modélisé par un modèle linéaire) on a
avec une variance (conditionnelle) qui dépend de la variable explicative
Là encore, le plus naturel est d’utiliser comme bornes de l’intervalle de confiance des quantiles associés à la loi lognormale,
mais il n’est pas rare de voir utilisé des intervalles de type Gaussiens,
On perd là encore en interprétation car les bornes n’ont plus rien à voir avec les quantiles.
