Considérons un simple jeu de pile ou face. On suppose que l’on tombe sur pile avec une probabilité
(histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime
.
- Connaissance parfaite des probabilités
Supposons que l’on connaisse parfaitement
. A priori deux stratégies sont possibles:
- jouer au hasard, en utilisant les différentes probabilités: on prédit pile avec probabilité
et face avec probabilité
. - ne pas jouer au hasard, et prédire la valeur la plus probable, autrement dit si
, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).
Notons
la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons
la valeur prédite. On gagne si
, et la probabilité de gagner est alors

i.e. pour la première stratégie

En revanche pour la seconde, la probabilité de gagner est

Graphiquement, on peut représenter en ligne la prédiction que l’on fait, et en colonne la face obtenue. En bleu, on gagne, et en rouge on perd,
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. Considérons le polynôme
, dont les racines sont
et
, i.e sur
,
ou encore

i.e.

(avec une inégalité stricte si
est strictement inférieur à 1). Bref, il est toujoursplus intéressant de parier toujours la même chose (et de ne pas essayer de jouer au plus malin).
- Connaissance imparfaite des probabilités
Supposons maintenant que la probabilité
soit inconnue, mais estimable. Autrement dit, on a assisté à
lancers, on a un échantillon
et on estime la probabilité de tomber sur pile par
(qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit

Autrement dit, si on estime que la probabilité de tomber sur pile dépasse 50%, on prédit pile, et sinon on prédit face.
On gagne si
, et la probabilité de gagner est alors

Dans le premier cas, la probabilité de gagner est

(comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est

Graphiquement, on obtient, cette fois,
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Si on se place au bout de 20 lancers, on obtient la courbe rouge ci-dessous pour le cas d’information imparfaite, et verte dans le cas de l’information parfaite, pour le ratio de la probabilité de gagner avec le second cas divisé par le premier cas (nous avions vu auparavant que le ratio été inférieur à 1)

à partir du code suivant
- Répétons le jeu plusieurs fois et apprentissage des probabilités
Supposons que l’on répète le jeu un certain nombre de fois, avec un apprentissage au fur et à mesure que les tirages avancent, i.e. l’algorithme s’écrit
> n=10 > p=.64 > X=sample(c("a","b"),size=100,prob=c(p,1-p),replace=TRUE) > S1=S2=rep(NA,100) > for(s in (n+1):100){ + P=c(mean(X[1:(s-1)]=="a"),mean(X[1:(s-1)]=="b")) + S1[s]=(sample(c("a","b"),size=1,prob=P)==X[s]) + S2[s]=(names(sort(table(X[1:s])))[2]==X[s]) + } > sum(S1[(n+1):100])/sum(S2[(n+1):100])
Graphiquement, si on suppose que l’on apprend sur 10 tirages (et que l’on calcule le nombre moyen de victoires sur les 90 lancers suivants), on obtient un graphique assez proche de ce que l’on avait auparavant,

I.e. comme le ratio est inférieur à 1, la seconde stratégie l’emporte toujours.
Moralité, j’ai un peu l’impression qu’il est souvent inutile d’élaborer une stratégie trop complexe, car les stratégies les plus simples permettent de gagner le plus souvent…



, supposé indépendant et identiquement distribué. Le modèle sous-jacent est la collection de variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées. Dans un premier temps, on s’intéressera à la moyenne de l’échantillon, correspondant à une réalisation de la variable aléatoire
définie par
désigne la variable aléatoire correspondant au fait d’avoir obtenu PILE au
ème tirage. On remet des pièces à une centaine d’élèves (chaque élève correspond à une couleur différente), et on regarde la moyenne du nombre de PILE obtenus sur les
premiers lancers. Et on regarde ce qui se passe quand n augmente. La loi de grands nombres permet d’affirmer que



obtenue par un élève. Un histogramme est représenté à droite.
) et réduire (ici mulplier par
) la moyenne empirique pour étudier une éventuelle convergence. On pose alors

