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Le tabou de l’exponentielle

Pour Carl Sagan, « if you understand exponentials, the key to many of the secrets of the universe is in your hand ». Mais tout le monde ne semble pas prêt à percer les secrets de l’universe. Ainsi, mi-novembre 2021, plus de 18 mois après le début de pandémie de SARS-COVID 19, le ministre de la santé affirmait « la circulation du virus s’est accélérée depuis maintenant quelques semaines, de l’ordre de 30% à 40% d’augmentation par semaine. Nous ne sommes pas encore dans une phase dite exponentielle » (cité dans Ouest France (2021)). Comme une augmentation à taux constant est précisément la définition d’une « croissance exponentielle », on peut s’interroger sur cette affirmation, qui révèle soit une lacune de numéracie de nos dirigeants, soit un élément de langage, le mot « exponentiel » devenant un mot tabou, qu’il ne faudrait pas mentionner ?

La proportionnalité et la croissance linéaire

Un aspect central des mathématiques enseignées au primaire et au secondaire est la notion de proportionnalité, observée en géométrie avec le théorème de Thalès et que l’on retrouvera en arithmétique avec la « règle de trois ». Comme le raconte la légende, au VIème siècle avant notre ère, Thalès de Milet voulait déterminer la hauteur d’une grande pyramide, et il eut l’idée d’utiliser la longueur des ombres, et la proportionnalité des figures géométriques. Si un bâton de 2 mètres, planté dans le sable a une ombre qui se projette sur 3 mètres, un arbre de de 6 mètres aura une ombre de 9 mètres; et inversement, si l’ombre de la pyramide fait 90 mètres, c’est que la pyramide fait 60 mètres de haut. C’est la base de la proportionnalité, et de la croissance linéaire.

On retrouve ce concept par exemple en physique, quand un corps se déplace à vitesse constante : en doublant la distance à parcourir, on va doubler le temps de trajet. Cette linéarité est importante, et heuristiquement, elle sert de base de nombreuses réflexions que l’on peut avoir quand on cherche à extrapoler. C’est cette idée qui sert de base pour le calcul des provisions pour sinistres à payer : en supposant que la cadence de paiements reste inchangée, un principe de proportionnalité permet d’extrapoler les paiements futurs. Autrement dit, quand une grandeur croît de manière linéaire, y(t)=at, pour un a paramètre positif. Dans ce cas, dy(t)/dt est constante, et c’est cette propriété qui va disparaître quand on aura une croissance exponentielle.

La légende de l’échiquier, des feuilles pliées et des nénuphars

Selon la légende, un roi perse (ou indien, selon la source) avait promis d’offrir à un de ses ministres tout ce qu’il voudrait, et ce dernier avait demandé à son roi de lui donner des grains de blé, en respectant un protocole précis : le roi (ou son intendant) devrait déposer un grain de blé sur la première case d’un échiquier, deux sur la seconde, quatre sur la troisième, en doublant de case en case, jusqu’à la soixante-quatrième. Après s’être moqué de son ministre (la demande semblant relativement modeste), le roi demande à ses comptables de faire les calculs. Ses derniers se rendent compte que tous les grains dans tous les greniers du monde ne devraient pas suffire. Dans une des légendes, le roi cèda son trône à son ministre, afin de récompenser sa sagesse. Au IXème siècle, Thābit ibn Qurra (ثابت بن قرة) qui s’était interrogé sur l’existence de l’infini, avait parlé de « suite duplicative », alors que Pierre de Fermat, au XVIIème siècle, parlait de « progression double » pour décrire ce problème. Le nombre de grains sur la case n est 2^{n-1}, de telle sorte que la somme totale des grains sur les n premières cases est 2^n-1. Soit, au total 18, 446, 744, 073, 709,  551, 615 grains quand n vaut 64… ou un peu plus de 500 milliards de tonnes de blé (soit mille fois la production annuelle de blé, dans le monde).

Une autre histoire en lien avec cette légende de l’échiquier est celle de la feuille de papier que l’on plie en deux, puis que l’on plie à nouveau en deux, etc. Si on part d’une feuille de papier standard (d’un dixième de millimètre d’épaisseur), l’épaisseur double à chaque pliage. En une cinquantaine de pliages (si on oublie un instant les difficultés physiques, qui font qu’au bout d’une dizaine de pliage, nous n’avons plus assez de force dans notre pouce pour plier la feuille), l’épaisseur est de 2^{50} dixième de millimètre, soit 112,589,991 kilomètres (un peu moins que la distance de la terre au soleil).

Finalement, on peut aussi mentionner la fameuse énigme du nénuphar :

« Un nénuphar dans un étang double de taille chaque jour. Il recouvre la totalité de l’étang en un mois (30 jours). Quel jour avait-t-il couvert la moitié de l’étang ? ».

On parlera d’énigme car la réponse intuitive, 15 jours (la moitié du temps pour la moitié de la surface), n’est pas valide : comme la surface double tous les jours, il faudra 29 jours pour couvrir la première moitié de l’étang, et juste un jour pour couvrir la seconde moitié.

Toutes ces légendes racontent la même histoire, celle d’une croissance dite exponentielle, au sens où y(t)=a^t (à ne pas confondre* avec y(t)=t^a qui correspondrait à une croissance « en fonction puissance », ou « polynomiale »). On notera parfois y(t)=\exp(\alpha t)\alpha est le logarithme de a.

Dessiner une exponentielle

Les exponentielles sont une forme un peu étonnante, dépendant de l’échelle de temps (ou le pas de temps) que l’on considère, comme sur la Figure 1, y(t)=2^t , correspondant au nombre de grains dans la légende de l’échiquier.


Figure 1 : croissance exponentielle , avec différentes échelles de temps

La figure de droite correspond à ce qui se passe avec le jeu de l’échiquier : quand on atteint des grandes valeurs de t, y(t) devient « infiniment grand ». En effet, en notant que 2^{10}=1028, on peut dire que y(t)=2^t\approx 1000^{t/10}, autrement dit, en 10 étapes (la dixième case sur l’équipier), on a 1, 000 grains, 1, 000, 000 grains sur la vingtième, 1, 000, 000, 000 sur la trentième, etc. On pourrait presque dire que l’écriture du nombre (dans la base 10 classique, avec les 10 chiffres usuels, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), la taille du nombre croit de manière linéaire. Sur la figure de droite, on a l’impression que le nombre de grain « explose » à partir de 90, mais c’est juste que y(100)\approx 1000\times y(90), et effectivement, la valeur en 90 est mille fois plus petite que celle en 100.

Mais la représentation la plus intéressante, la plus classique, est probablement celle au centre de la Figure 1, on a l’illusion qu’il y a trois phases dans la croissance géométrique,

  • une partie très plate, au début (disons entre 0 et 4)
  • une augmentation raisonnable (entre 4 et 8)
  • une augmentation brutale entre (8 et 10)

C’est cette idée qui a circulé ces derniers mois sur les réseaux sociaux, repris dans la Figure 2.

Figure 2 : à droite, le mathématicien face à une croisse exponentielle d’un phénomène, et à gauche, l’homme politique face à la même courbe (source : Jens von Bergmann, inspiré du style du webcomic xkcd de Randall Munroe, traduit par l’auteur)

L’exponentielle donne l’illusion d’une rupture de tendance, mais formellement, la croissance est toujours « exponentielle ». Cela s’explique simplement en notant que l’exponentielle est solution d’une équation différentielle de la forme dy(t)/dt=ay(t), autrement dit la pente, dy(t)/dt, est proportionnelle à y(t): la croissance est donc effectivement faible au début (car y(t) est faible) et bien plus conséquente ensuite (car y(t) est plus importante).

Les exponentielles et l’actualisation financière

La grande différence entre les modèles linéaires (y(t+1)-y(t) constant, soit y(t)=at et les modèles multiplicatifs (y(t+1)/y(t) constant, soit y(t)=a^t), entre les droites et les exponentielles, c’est que dans un cas, la variation absolue est constante, et pour l’autre, c’est la variation relative. Ceci donne des paradoxes bien connus. Par exemple une baisse de 20% suivie d’une hausse de 20% ne permet pas de revenir au point de départ. C’est d’ailleurs une identité dite remarquable, puisque (1-r)(1+r)=1-r^2\neq 1. C’est la même logique que l’on retrouve dans les intérêts composés, puisque (1+r)(1+r)-1=2r+r^2\neq 2r(le rendement est « un peu » plus grand que deux fois r). Étrangement, c’est le cumul de toutes ces petites quantités, négligeables au premier ordre, qui semble perdre toute raison à force de se cumuler.

Car lorsque l’on compose les intérêts, on obtient qu’en plaçant un capital C sur un produit financier rapportant un taux tous les ans, la richesse au bout de t années croît exponentiellement vite avec le temps, puisque y(t)=C(1+r)^t, tel que l’avait décrit Fibonacci, dans le Liber Abaci, publié en 1202, comme le rappelait Charpentier (2016).

Cette croissance exponentielle avait été soulignée en 1772 par Richard Price, qui essayer d’imaginer ce qu’aurait rapporté le placement d’un simple penny dans une banque (virtuelle) à la naissance de Jésus Christ, « one penny, put out at our Saviour’s birth to 5 per cent, compound interest, would, before this time, have increased to a greater sum, than would be contained in a hundred and fifty millions of earths, all solid gold ». Il n’est pas certain que donner comme valeur 150 millions de fois le volume de la terre en or donne une bonne indication, mais rappelons que si r vaut 5%, (1+r)^{100} vaut un peu plus de 100, (1+r)^{500} vaut un peu plus de 40 milliards, et (1+r)^{1772}  est un nombre à 28 chiffres.

Ces nombres qui peuvent donner le tournis (surtout quand on parle de somme financière) ne sont pas sans faire penser au mécanisme mis en place par Charles Ponzi, un peu avant 1920 (et qui aura inspiré bon nombre d’investisseurs, comme Bernard Madoff) : il proposait d’offrir un rendement de 50% en trois mois ! Supposons qu’il arrive à trouver 10 investisseurs prêts à investir 100$ lors du lancement du produit. Trois mois après, il doit leur verser 150$, ce qui revient à trouver 15 investisseurs prêts à investir 100$. Six mois après, comme il devra leur verser 225$, il faudra trouver 23 investisseurs prêts à investir 100$, etc. Au bout de 5 ans, il lui faut un peu plus de 330,000 investisseurs. Au bout de 10 ans, toute la terre doit avoir investi dans le placement offert par Charles Ponzi ! Autrement dit, le nombre d’investisseurs doit croître aussi vite que le capital, c’est-à-dire exponentiellement vite ! Ce besoin de doubler le nombre d’investisseurs quasiment tous les six mois correspond à un système pyramidal (même si une pyramide correspondrait davantage à une croissance linéaire). Ce doublement de la taille de la population des investisseurs n’est pas sans faire penser aux premiers modèles démographiques.

Malthus et les modèles démographiques

A la fin du XVIIIème siècle, Malthus propose un modèle de croissance exponentielle de la population, qui a marqué les mémoires, même si John Graunt, à qui on doit les premières tables de mortalité, puis William Petty avaient envisagé la question un siècle plus tôt, et repris par Léonard Euler, en 1748, qui se demandait s’il était possible d’avoir eu une croissance exponentielle de la population depuis Adam et Eve, ou plutôt en partant de six êtres humains ayant commencé à repeupler la terre après le Déluge. Voltaire aura été critique de ce modèle, soulignant que « on ne propage point en progression géométrique. Tous les calculs qu’on a fait sur cette prétendue multiplication sont des chimères absurdes ».

Ce qui est (mathématiquement) intéressant, c’est que les démographes ont rapidement proposé une alternative intéressante à la croissance exponentielle, sous l’impulsion de Pierre-François Verhulst, vers 1840, que l’on peut résumer de la manière suivante, en considérant un système dynamique, décrit par une équation différentielle :

  • si dy(t)/dt est constante, on a une croissance linéaire, caractérisée par une relation de proportionnalité dont nous parlions en introduction (y(t+h)-y(t) sera proportionnelle à h)
  • si dy(t)/dt est proportionnelle à y(t), on a une croissance exponentielle (ou plus généralement si dy(t)/dt=a+by(t))
  • si dy(t)/dt est quadratique en , autrement dit si dy(t)/dt=a+by(t)+cy(t)^2, on peut obtenir le modèle logistique proposé par Pierre-François Verhulst que l’on retrouvera dans les modèles de démographie, et plus généralement de dynamique des populations, et de modélisation des pandémies.

La croissance suivant un modèle logistique donne une croissance ressemblant beaucoup à une exponentielle, au début, avant d’atteindre un point d’inflexion, avant de ralentir et de se stabiliser. En réalité, le modèle logistique de Verhulst (formellement dy(t)/dt=ay(t)[b-y(t)]) avait été proposé par Daniel Bernoulli vers 1750 pour modéliser la dynamique d’une épidémie de variole. On revient donc au point de départ, avec un lien entre les exponentielles et les pandémies…

L’explosion exponentielle dans une pandémie

Charpentier & Barry (2020) rappelait que dans les modèles classiques de pandémie, le nombre de personnes infectées augmentait exponentiellement vite, au commencement, le facteur étant d’augmentation étant lié au nombre de contacts potentiels d’un individu contagieux. S’il est difficile d’arrêter une croissance exponentielle, y(t)=a^t, Ghys (2020) rappelait qu’il est possible de la ralentir très fortement en forçant la distanciation sociale, pour avoir y(t)=b^{t}, avec b<a, où y(t) est le nombre de personnes infectées (et contagieuses). Et comme le disait Stevens (2020), « That is math, not prophecy. The spread can be slowed, public health professionals say, if people practice “social distancing” by avoiding public spaces and generally limiting their movement ». Et, presque paradoxalement, un petit changement peut avoir des conséquences majeures, précisément à cause de cette amplification « exponentielle ». C’est la vision optimiste que proposait Young (2021) en écrivant « the infectious nature of a virus means that a tiny bad decision can cause exponential harm, but also that a tiny wise decision can do exponential good ».

Bernoulli, D. (1760). Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir. Académie des Sciences de Paris.
Charpentier, A. (2016). Fibonacci, les lapins, le nombre d’or et les calculs actuariels. Risques, 106.
Charpentier, A. & Barry, L. (2020). Concilier risques collectifs et décisions individuelles. Risques, 123
Feertchak, A. (2021). Covid-19 : la trajectoire de l’épidémie est-elle exponentielle dans le monde ? Le Figaro, 14 avril
Ghys, E. (2020). Epidémies : aplatir les exponentielles. Le Monde, 24 mars,
Hernandez, J. (2020) Comment mieux communiquer sur la dynamique exponentielle de la pandémie ?. Le Figaro, 24 décembre,
Meyer-Vacherand, E. (2020). Covid-19 : comprendre la croissance exponentielle d’une pandémie, un défi cognitif pour la population. Le Monde, 8 juillet,
Ouest France (2021). Covid-19. Olivier Véran : « Nous avons retardé cette cinquième vague ». Ouest France, 16 novembre,
Price, R. (1772). An Appeal to the Public on the Subject of National Debt. London.
Sagan, C. (1997). Billions and Billions: Thoughts on Life and Death at the Brink of the Millennium. Headline Publishing.
Stevens, H. (2020). Why outbreaks like coronavirus spread exponentially, and how to “flatten the curve. The Washington Post, 14 mars,
Young, E. (2021). I Canceled My Birthday Party Because of Omicron. The Atlantic, 17 décembre 2021.

* En fait, la croissance exponentielle fait aussi peur aux informaticiens : un algorithme qui se résout de manière linéaire en fonction du temps (ou du nombre de calculs à effectuer, comme trouver le plus grand élément parmi t), quadratique (comme ordonner une liste de t éléments), ou plus généralement polynomial (comme multiplier des matrices t\times t) est considéré comme « simple ». Un problème qui se résout en un nombre d’étapes qui croît de manière exponentielle sera dit « NP-hard » (NP signifiant « non-polynomial »), comme trouver le chemin le plus court passant par t villes. Et si la croissance exponentielle est (très) rapide, la « décroissance exponentielle » est elle aussi très rapide. Aussi, en probabilité, si \mathbb{P}(X>t)=a^{-t} correspondant à une décroissance exponentielle, on parlera de « queues fines » contrairement à une décroissance polynomiale, \mathbb{P}(X>t)=t^{-a}, qui correspond à des queues de type Pareto, et donc des « risques (potentiellement) extrêmes ».

Introduction aux modèles linéaires généralisés

J’ai un peu d’avance dans le cours. Je vais mettre en ligne les transparents pour la semaine prochaine (normalement), où nous aborderons la classe des modèles linéaires généralisés. Les transparents sont en ligne ici.

Je n’ai pas mis de section sur lesGeneralized Additive Models, on se contentera de la section sur le lissage évoquée à la fin des transparents sur la modélisation de la fréquence. Afin de légitimer les méthodes de lissage (sur l’âge de l’assuré en particulier), je renvoie vers un graphique produit il y a plusieurs années par un cabinet de conseil, qui notait que la forme de la fonction de lissage, liant l’âge à la fréquence est identique, dans tous les pays,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2013/02/assurance4.jpgMais je pense que je ferais un billet dédié au lissage, dans la problématique de la tarification en assurance IARD.

Hotline, modèles paramétriques et angoisse insoutenable

Après le billet sexe de l’été (ou presque, ici), je vais faire un  rapide un billet angoissant (pas angoisse insécuritaire comme dans les journaux, mais pire). En tout cas, moi ça m’angoisse, et il n’y a pas de raison que je sois le seul à angoisser quand j’appelle une hotline…
Afin d’illustrer mon billet, je me suis permis de faire une petite expérience: j’ai appelé 7 fois de suite une hotline (gratuite1) et j’ai noté le temps avant qu’un opérateur ne décroche2. J’ai obtenu les durées suivantes

1:21,10:07,2:21,8:58,0:11,0:34,1:13

Bref, à partir de ces données, on peut ajuster une loi pour modéliser le temps d’attente avant que l’opérateur ne décroche,

> T
[1]  1.3500000 10.1166667  2.3500000  8.9666667  0.1833333  0.5666667  1.2166667
> mean(T)
[1] 3.535714
> var(T)
[1] 17.40319
> library(MASS)
> (Exp <- fitdistr(T,"exponential"))
     rate   
  0.2828283 
 (0.1068990)
> (Gam <- fitdistr(T,"gamma"))
     shape       rate   
  0.7928017   0.2242283 
 (0.3653143) (0.1404783)

où j’ai retenu deux lois classiques sur les modèles de durées: la loi exponentielle et la loi gamma. Ces lois donnent des modèles assez comparable en regardant les fonctions de répartition.

> u=seq(0,12,.1)
> plot(ecdf(T))
> lines(u,pexp(u,rate=Exp$estimate),col="blue",lwd=3)
> lines(u,pgamma(u,shape=Gam$estimate[1],rate=Gam$estimate[2]),col="red",lwd=3)

Toutefois,ces modèles donnes des choses assez différentes si l’on regarde les espérances de vie résiduelles, i.e. les mean remaining lifetime en anglais.

> t2=as.POSIXlt(naissance$date)> F=function(x){1-pgamma(x,shape=Gam$estimate[1],rate=Gam$estimate[2])}
> e=function(x){
+ integrate(F,x,Inf)$value/F(x)
+ }
> v=rep(NA,length(u))
> for(i in 1:length(u)){
+ v[i]=e(u[i])
+ }

avec la loi exponentielle en bleu, et la loi gamma en rouge. La loi exponentielle est bien connue pour son absence de mémoire: peu importe le temps déjà attendu, l’espérance d’attente reste constante: ici, même si j’ai déjà attendu 3 minutes, ou 8 minutes, mon espérance d’attente est constante, à savoir 3 minutes et demi. On parle de constant mean remaining lifetime. En revanche, pour une loi gamma dont le shape paramètre est inférieur à 1, on a une loi dite increasing mean remaining lifetime (IMRL, dont la théorie peut se retrouver ici ou pour le chapitre 2 du livre de Maxim Finkelstein, en ligne )
En fait, si on regarde les évolutions des espérances de vie résiduelles, on a la loi exponentielle en bleu, constante, et la loi gamma, avec une fonction monotone: si le paramètre shape est inférieur à un (en rouge), on a une loi IMRL alors que s’il excède 1 (en vert), on a une loi DMRL (decreasing mean remaining lifetime).

Bref, à chaque fois que j’appelle une hotline et que j’attends plus de 3 minutes, je me demande toujours: quelle est la stratégie à adopter ? Pour ma part, le plus souvent, j’ai l’angoisse de la loi IMRL, autrement dit, plus j’ai attendu, plus le temps qu’il me reste à attendre est grand ! Et je raccroche assez vite…

Moralité, en statistique paramétrique, le choix du modèle n’est jamais neutre, donc il vaut mieux connaître les propriétés de différentes lois avant de se lancer dans un modèle paramétrique…. Et j’espère, ami  lecteur, que je ne serais plus le seul à me demander si je suis tombé sur une hotline IMRL la prochaine fois que j’essaye de connaître le prix d’un transfert bancaire…
1 à l’intention des jeunes chercheurs en herbe qui souhaitent faire avancer la science, l’expérience ne marche que sur des hotline gratuites….
2 au début je posais une question quelconque, sur la facturation d’un service bancaire ou autre, mais je dois avouer que sur la fin, je raccrochais sans rien dire… oui, la science autorise ce genre de fantaisie….