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Introduction aux modèles linéaires généralisés

J’ai un peu d’avance dans le cours. Je vais mettre en ligne les transparents pour la semaine prochaine (normalement), où nous aborderons la classe des modèles linéaires généralisés. Les transparents sont en ligne ici.

Je n’ai pas mis de section sur lesGeneralized Additive Models, on se contentera de la section sur le lissage évoquée à la fin des transparents sur la modélisation de la fréquence. Afin de légitimer les méthodes de lissage (sur l’âge de l’assuré en particulier), je renvoie vers un graphique produit il y a plusieurs années par un cabinet de conseil, qui notait que la forme de la fonction de lissage, liant l’âge à la fréquence est identique, dans tous les pays,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2013/02/assurance4.jpgMais je pense que je ferais un billet dédié au lissage, dans la problématique de la tarification en assurance IARD.

Hotline, modèles paramétriques et angoisse insoutenable

Après le billet sexe de l’été (ou presque, ici), je vais faire un  rapide un billet angoissant (pas angoisse insécuritaire comme dans les journaux, mais pire). En tout cas, moi ça m’angoisse, et il n’y a pas de raison que je sois le seul à angoisser quand j’appelle une hotline…
Afin d’illustrer mon billet, je me suis permis de faire une petite expérience: j’ai appelé 7 fois de suite une hotline (gratuite1) et j’ai noté le temps avant qu’un opérateur ne décroche2. J’ai obtenu les durées suivantes

1:21,10:07,2:21,8:58,0:11,0:34,1:13

Bref, à partir de ces données, on peut ajuster une loi pour modéliser le temps d’attente avant que l’opérateur ne décroche,

> T
[1]  1.3500000 10.1166667  2.3500000  8.9666667  0.1833333  0.5666667  1.2166667
> mean(T)
[1] 3.535714
> var(T)
[1] 17.40319
> library(MASS)
> (Exp <- fitdistr(T,"exponential"))
     rate   
  0.2828283 
 (0.1068990)
> (Gam <- fitdistr(T,"gamma"))
     shape       rate   
  0.7928017   0.2242283 
 (0.3653143) (0.1404783)

où j’ai retenu deux lois classiques sur les modèles de durées: la loi exponentielle et la loi gamma. Ces lois donnent des modèles assez comparable en regardant les fonctions de répartition.

> u=seq(0,12,.1)
> plot(ecdf(T))
> lines(u,pexp(u,rate=Exp$estimate),col="blue",lwd=3)
> lines(u,pgamma(u,shape=Gam$estimate[1],rate=Gam$estimate[2]),col="red",lwd=3)

Toutefois,ces modèles donnes des choses assez différentes si l’on regarde les espérances de vie résiduelles, i.e. les mean remaining lifetime en anglais.

> t2=as.POSIXlt(naissance$date)> F=function(x){1-pgamma(x,shape=Gam$estimate[1],rate=Gam$estimate[2])}
> e=function(x){
+ integrate(F,x,Inf)$value/F(x)
+ }
> v=rep(NA,length(u))
> for(i in 1:length(u)){
+ v[i]=e(u[i])
+ }

avec la loi exponentielle en bleu, et la loi gamma en rouge. La loi exponentielle est bien connue pour son absence de mémoire: peu importe le temps déjà attendu, l’espérance d’attente reste constante: ici, même si j’ai déjà attendu 3 minutes, ou 8 minutes, mon espérance d’attente est constante, à savoir 3 minutes et demi. On parle de constant mean remaining lifetime. En revanche, pour une loi gamma dont le shape paramètre est inférieur à 1, on a une loi dite increasing mean remaining lifetime (IMRL, dont la théorie peut se retrouver ici ou pour le chapitre 2 du livre de Maxim Finkelstein, en ligne )
En fait, si on regarde les évolutions des espérances de vie résiduelles, on a la loi exponentielle en bleu, constante, et la loi gamma, avec une fonction monotone: si le paramètre shape est inférieur à un (en rouge), on a une loi IMRL alors que s’il excède 1 (en vert), on a une loi DMRL (decreasing mean remaining lifetime).

Bref, à chaque fois que j’appelle une hotline et que j’attends plus de 3 minutes, je me demande toujours: quelle est la stratégie à adopter ? Pour ma part, le plus souvent, j’ai l’angoisse de la loi IMRL, autrement dit, plus j’ai attendu, plus le temps qu’il me reste à attendre est grand ! Et je raccroche assez vite…

Moralité, en statistique paramétrique, le choix du modèle n’est jamais neutre, donc il vaut mieux connaître les propriétés de différentes lois avant de se lancer dans un modèle paramétrique…. Et j’espère, ami  lecteur, que je ne serais plus le seul à me demander si je suis tombé sur une hotline IMRL la prochaine fois que j’essaye de connaître le prix d’un transfert bancaire…
1 à l’intention des jeunes chercheurs en herbe qui souhaitent faire avancer la science, l’expérience ne marche que sur des hotline gratuites….
2 au début je posais une question quelconque, sur la facturation d’un service bancaire ou autre, mais je dois avouer que sur la fin, je raccrochais sans rien dire… oui, la science autorise ce genre de fantaisie….