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Pluralisme, balance, équilibre, et cirque médiatique

J’ai déjà parlé, ici ou , de mes souvenirs d’enfance et des cours de français au secondaire. En particulier de mon incompréhension assez profonde devant l’analyse de texte littéraire, où il fallait, me semblait-il, deviner les intentions de l’auteur, repérer des symboles que je ne voyais pas, attribuer à une tournure ou à une image une profondeur que je soupçonnais parfois d’être reconstruite après coup. La dissertation, à côté, me paraissait presque plus simple. Elle avait ses règles, ses figures imposées, son architecture reconnaissable. Je comprenais à peu près le jeu rhétorique du débat, ou du debating, que j’ai retrouvé plus tard en école : on pouvait toujours argumenter, quel que soit le sujet, et même quel que soit le point de vue qu’on nous demandait de défendre. Un peu comme dans le Gorgias de Platon, il y avait là une forme d’exercice de virtuosité : apprendre à soutenir une position, puis son contraire, montrer qu’on sait manier les arguments, retourner une objection, produire une apparence de symétrie.

Dans la dissertation scolaire, on nous a donc appris à opposer une thèse et une antithèse. Encore une fois, l’exercice n’était pas absurde en soi. Il obligeait à ne pas confondre conviction et démonstration, à reconnaître qu’un problème peut être abordé de plusieurs façons, à ne pas s’installer trop vite dans la certitude. Il y avait même quelque chose de salutaire dans cette discipline, on apprenait qu’un argument n’est pas simplement ce que l’on pense, mais ce que l’on peut justifier, on apprenait qu’une position adverse n’est pas nécessairement une absurdité, mais peut contenir une part de vérité ou, au moins, une objection sérieuse.  Depuis, j’ai appris à écrire autrement. De manière un peu autodidacte, sans doute, en lisant, en écrivant, en corrigeant, en étant corrigé. Mais l’écriture d’un article scientifique, ou même d’un essai un peu sérieux, ne ressemble pas du tout à ce vieux schéma thèse-antithèse-synthèse. En général, j’ai une thèse, je la pose, je la motive, j’essaie d’expliquer pourquoi elle mérite d’être prise au sérieux. Puis j’en cherche les limites. Je précise les hypothèses sous lesquelles elle tient, les cas où elle devient fragile, les objections qui m’obligent à la reformuler. Il ne s’agit pas de faire comme si deux positions se valaient a priori, mais de comprendre jusqu’où une proposition peut être défendue, à quelles conditions, avec quels degrés d’incertitude, et face à quelles objections.

Il me semble que c’est très différent. La pensée ne progresse pas parce qu’on a mécaniquement placé deux discours face à face. Elle progresse parce qu’on accepte de hiérarchiser, de qualifier, de contextualiser, de distinguer ce qui est établi, ce qui est plausible, ce qui est incertain, ce qui est simplement faux. Or le seul endroit où je retrouve aujourd’hui cette vieille construction scolaire de la thèse et de l’antithèse, c’est dans les débats télévisés ou radiophoniques. Si un invité avance une idée, il faut aussitôt lui opposer quelqu’un. Un scientifique vient expliquer l’état des connaissances, et il faut “équilibrer” avec une voix contraire. Un chercheur présente une enquête, et il faut un polémiste en face. Comme si l’information devait toujours prendre la forme d’un duel, et comme si la vérité naissait spontanément du choc de deux opinions mises en scène.  Un climatologue vient parler du réchauffement climatique, on lui oppose un climatosceptique médiatique. Un sociologue vient présenter une enquête, on lui oppose un polémiste. Un épidémiologiste explique un consensus médical, on invite “l’autre point de vue”. Le dispositif semble démocratique, chacun pouvant se faire une opinion. Mais si on y réfléchit deux secondes, tout est déjà joué dans la scénographie. Le simple fait d’installer deux personnes face à face produit une géométrie de l’équivalence. Il y a deux micros, donc deux positions. Deux positions, donc deux légitimités. Deux légitimités, donc une controverse.

Or il me semble qu’il y a une différence essentielle entre une controverse scientifique et une dispute médiatique. Une controverse scientifique suppose des méthodes partagées, des données discutables, des arguments évaluables par des pairs, des incertitudes que l’on peut décrire. Une dispute médiatique peut se contenter d’un désaccord expressif. Le premier monde demande du temps, le second demande du rythme. Le premier cherche les nuances, le second préfère les oppositions. Le premier cherche à savoir, alors que le second cherche à produire un “moment”.

(source: Joe Dator, “Facts Don’t Matter”, publié dans The New Yorker, 5 décembre 2016)

C’est tout le problème de ce qu’on appelle, dans la littérature anglo-saxonne, le false balance, ou faux équilibre. Natascha Rietdijk et Alfred Archer le définissent, dans Post-Truth, False Balance and Virtuous Gatekeeping, comme le fait de présenter deux côtés d’un débat comme plus égaux que ne le justifie l’état des preuves. Ils insistent sur le fait que ce mécanisme ne relève pas nécessairement de la fake news, mais qu’il contribue à dévaluer la vérité en brouillant ce qui compte comme preuve et qui peut être reconnu comme autorité compétente. Dans The Epistemic Dangers of Journalistic Balance, Giulia Terzian parle de son côté d’un danger épistémique, le format équilibré pouvant représenter improprement un conflit de points de vue comme une dispute entre égaux épistémiques, et conduire le public à tirer de mauvaises conclusions sur l’état réel des connaissances.

Le problème n’est pas qu’il existe des voix dissidentes. Il y en a toujours, et j’imagine qu’il doit y en avoir. Le problème commence quand la dissidence est mise en scène comme si elle avait le même poids que l’état accumulé des connaissances. Ce n’est pas parce qu’il existe deux phrases contradictoires qu’il existe deux positions également sérieuses. Ce n’est pas parce qu’un polémiste sait répondre vite qu’il répond bien. Ce n’est pas parce qu’une opinion existe dans l’espace public qu’elle mérite d’être traitée comme une hypothèse scientifique robuste.

Le climat offre probablement l’exemple le plus documenté de ce problème. Maxwell Boykoff et Jules Boykoff avaient postulé, dans Balance as Bias: Global Warming and the US Prestige Press, que l’équilibre peut devenir un biais. Leur analyse montrait que, dans la presse américaine sérieuse (“de prestige”), la volonté de donner “les deux côtés” avait conduit à accorder une place disproportionnée aux positions climatosceptiques, contribuant à faire diverger le discours médiatique du discours scientifique. Sur la couverture du climat de 1988 à 2002, une part importante des articles donnait aux climatosceptiques une attention équivalente à celle des défenseurs du consensus scientifique.

Le cas français n’est pas moins instructif. Olivier Godard, dans Le climato-scepticisme médiatique en France : un sophisme moderne, insiste sur le fait que le climatoscepticisme médiatique français n’est pas une controverse scientifique, ni une contre-expertise, mais un sophisme qui emprunte des arguments du débat scientifique en les déformant au service d’une visée idéologique. La description d’Olivier Godard est presque une théorie générale du plateau télé : à s’en tenir aux apparences, on pourrait croire à une “belle” controverse scientifique entre théories opposées et également dignes d’attention. Mais ces apparences sont trompeuses, car beaucoup de ces figures médiatiques ne participent pas, ou très marginalement, au travail ordinaire des communautés scientifiques concernées.

Il est important de distinguer deux choses que le plateau confond presque structurellement, la contradiction et la critique. La contradiction, c’est facile puisqu’il suffit de trouver quelqu’un qui dit non. La critique, elle, est plus exigeante, puisqu’elle suppose de comprendre ce qui est avancé, de savoir où se situent les incertitudes, d’identifier les hypothèses fragiles, les données manquantes, les méthodes discutables. Un bon contradicteur scientifique n’est pas celui qui vient dire l’inverse, c’est celui qui sait où porter le doute. Il y a une différence entre contester un résultat et installer du brouillard.

J’imagine que les journalistes ne font pas cela uniquement par cynisme. Il y a des contraintes de temps, de format, de production. Gaye Tuchman l’avait très bien montré dans Objectivity as Strategic Ritual. L’objectivité journalistique fonctionne aussi comme un rituel stratégique. Comme c’est un métier exposé aux critiques, aux délais, aux risques juridiques et aux pressions hiérarchiques, certaines procédures permettent de revendiquer une posture objective. Citer plusieurs personnes, mettre des guillemets, juxtaposer des points de vue, tout cela peut devenir une manière de se protéger. Le problème est que ces procédures envoient des signaux d’objectivité, sans la produire. Elles prouvent juste que le journaliste a respecté le rituel, elles ne prouvent pas que le public a été mieux informé.

Jay Rosen formule une critique proche avec sa notion de View from Nowhere. Le journaliste fait semblant de se placer entre deux pôles, refuse d’assumer une position, et appelle cela impartialité. Mais Jay Rosen rappelle que l’autorité journalistique ne vient pas du fait de prétendre n’avoir aucun point de vue, elle vient du travail de journaliste (enquêter, vérifier, maîtriser un sujet, connaître les faits, creuser sous la surface). La neutralité de posture devient une facilité : si deux camps me critiquent, c’est que je dois être au milieu, et si je suis au milieu, c’est que je suis impartial, et si je suis impartial, j’ai fait mon travail.

Invariablement, ça me fait penser à la culture scolaire de la dissertation. Dans sa version sérieuse, la dissertation ne consiste pas à dire “d’un côté, de l’autre”. Elle suppose de poser un problème, de construire les termes du désaccord, d’évaluer les arguments, puis de dépasser l’opposition initiale. Mais dans sa version paresseuse, de mauvais élève, elle devient une machine à produire de la symétrie, avec le plan classique, thèse, antithèse, et une synthèse molle qui permet de ne pas trancher. Le journalisme de plateau semble parfois avoir retenu cette version-là. Il ne cherche pas à savoir si les arguments se valent, il cherche à faire tenir le face-à-face.

Et à ce jeu, le polémiste est clairement le client idéal. Il parle vite, il coupe, il formule des phrases courtes, il a toujours une certitude prête à être réchauffée. Il ne va pas s’embarrasser des questions de protocoles, de marges d’erreur, de problèmes de mesure ou de conditions d’identification. En face, le scientifique, lui, arrive avec des scrupules, il distingue, il nuance, il hésite,  il précise que cela dépend de la période, de l’échantillon, de la méthode, du modèle, du niveau de confiance. C’est profondément asymétrique, le polémiste vient jouer au tennis, alors que le scientifique arrive avec sa bibliothèque… Et la plupart des formats récompensent le premier. Un chercheur qui explique patiemment une distribution de probabilités, une incertitude causale ou un consensus scientifique fait rarement “un moment”, pour reprendre la formule de la journaliste Léa Salamé, qui déclarait “mon obsession, ce n’est pas d’aller chercher la vérité, c’est qu’il y ait un moment“. “Un moment”, c’est quand un polémiste lance une formule, quand il accuse, il exagère, il fait monter la tension, et ça produit immédiatement une séquence qui marquera, qui transformera une  question en dramaturgie.

Les naïfs, ou les optimistes, objecteront probablement que le public n’est pas dupe. Peut-être. Mais les travaux empiriques sur le faux équilibre ne sont pas rassurants.  Megan Imundo et David Rapp montrent, dans des expériences sur le climat décrites dans When Fairness is Flawed, que l’exposition à des arguments contraires au consensus réduit la perception du consensus expert, même lorsque ces arguments sont présentés avec une position consensuelle. Ils montrent aussi qu’un rappel explicite du poids des preuves, un weight-of-evidence statement, peut atténuer cet effet. Autrement dit, il ne suffit pas de “donner les deux côtés” et de faire confiance au public. Si l’on ne contextualise pas les positions, si l’on ne dit pas où se trouve le poids des preuves, on risque de fabriquer de l’incertitude là où elle n’a pas lieu d’être.

J’ai l’impression que la seule sortie possible, c’est de prendre l’impartialité au sérieux. Être impartial, ce n’est pas donner le même temps à toutes les affirmations, c’est rendre justice à leur statut. Une hypothèse marginale peut être mentionnée comme marginale, ce qu’elle est vraiment. Une incertitude peut être discutée comme incertitude. Un consensus peut être présenté comme consensus, sans être transformé en dogme. Une controverse scientifique peut être exposée, mais en expliquant qui y participe, sur quelles bases, avec quelles méthodes, et avec quel degré de reconnaissance par les communautés concernées. Ce serait un journalisme moins théâtral, peut-être, mais plus honnête. Au lieu d’un “pour/contre”, on pourrait avoir une cartographie explicite et claire, annonçant ce qu’on sait assez solidement, ce qui reste incertain, ce qui fait débat entre spécialistes, ce qui relève de la polémique publique, et ce qui est simplement faux. Au risque de me répéter, le pluralisme n’exige pas l’égalité artificielle des arguments. Il exige au contraire que l’on donne au public les moyens de comprendre pourquoi certains arguments pèsent plus que d’autres.

Mais on n’y est pas. On ne peut se rendre sur plateau télé (ou radio) que sur un malentendu. Le scientifique croit venir expliquer là où en est la connaissance scientifique, mais bien souvent, le plateau attend qu’il contribue à produire un “moment”. À ce jeu, le polémiste est chez lui alors que le scientifique a clairement l’air d’un invité de passage. Pourquoi continuer à participer à ce cirque médiatique ?

La parité, comme condition d’équilibre stable non dégénéré

Alors que le Sénat, en France, publie un rapport “femmes et sciences“, s’inquiétant de la sous-représentées des femmes dans les domaines et les carrières scientifiques (à tel point que pour l’illustration, ils sont obligés de faire appel à de l’IA générative pour avoir une image de femme faisant de la science ?), je me suis dit que je pourrais revenir sur ces questions, qui me semblent essentielles. Avec un point de vue un peu différent, montrant que si les visions d’éthiques ne suffisent pas à trancher, les mathématiques peuvent peut être éclairer ce débat…

La démocratie est le pire des dictatures, parce qu’elle est la dictature exercée par le plus grand nombre sur la minorité.

La formule de Pierre Desproges est (volontairement) provocatrice, mais elle contient une vérité mathématique. Dans tout système collectif, le rapport de force entre majorité et minorité n’est jamais neutre. Quand un groupe devient trop petit, il perd non seulement du pouvoir, mais aussi de la visibilité, de la légitimité et du lien social. Et cette perte n’est pas linéaire : elle s’accélère à mesure que le déséquilibre s’accroît. On retrouve cette dynamique dans les démocraties politiques, bien sûr (mais aussi dans les entreprises, les laboratoires, ou les départements universitaires). La parité hommes–femmes en est un exemple intéressant. Dans le monde universitaire, je suis sensible en particulier à l’idée de projection (ou “rôle-modèle”) pour les étudiantes, qui ont besoin de modèles féminins visibles pour se projeter dans des carrières académiques ou scientifiques. Et je suis entièrement d’accord sur le fait que voir seulement des hommes occuper les postes de professeurs, de chercheurs ou de doyens, cela entretient un effet de désidentification, leur faire croire (ou comprendre) que ces trajectoires leur sont moins accessibles ou moins “naturelles”.

Mais mon point aujourd’hui c’est de discuter un autre argument, à savoir que quand les femmes deviennent trop rares dans un environnement donné, ce n’est pas seulement leur voix qu’on n’entend plus, c’est tout le système relationnel qui se réorganise, jusqu’à rendre leur présence plus difficile encore. Et le déséquilibre devient alors auto-entretenu. Sous un certain seuil, les interactions se referment, la mixité se délite, et les comportements déviants trouvent un terreau plus favorable. La majorité ne domine plus seulement, elle façonne la norme et exclue la minorité.

Le paradoxe de la parité « auto-entretenue »

Les débats sur la parité ou les politiques dites de « discrimination positive » sont souvent ramenés à une question morale ou politique : faut-il ou non imposer des quotas ? Mais on oublie parfois qu’au-delà du principe, il existe des dynamiques collectives mesurables qui rendent ces politiques nécessaires pour la stabilité d’un groupe.

Dans de nombreux environnements humains (entreprises, labos, écoles, communautés en ligne, etc) la proportion de femmes ou de minorités influence la structure même des interactions sociales. Et cette structure, à son tour, façonne les comportements, les normes, et les risques de déviance. Mon point est que la parité n’est pas qu’un objectif symbolique : c’est un paramètre structurel d’équilibre.

Des ordres de grandeur ?

Pour avoir quelques ordres de grandeur dans le monde universitaire et les professions scientifiques,

  • Union européenne: professeurs “grade A” (équivalent professeur·e titulaire) : 29,7% de femmes (données 2022 agrégées UE, eraportal)
  • En France, en mathématiques (corps enseignants-chercheurs) : 22,8% de femmes (toutes disciplines on est plus proche de ≈ 40%). (femmes-et-maths)
  • États-Unis: emplois STEM : 26,7% de femmes (occupations, ACS 2021, census.gov)
  • Canada: personnes diplômées en STEM : 34% de femmes et personnes en emplois STEM : < 25% de femmes (randstad)

Mais on peut aussi regarder un peu plus les études, en France (en restant focalisé maths/sciences) où ces questions ont donné lieu à plusieurs articles,

  • Terminale générale parmi les classes très “maths/sciences” (couple Mathématiques + Physique-chimie, 2021-2022) : 35% de filles dans ces classes (enseignementsup-recherche.gouv)
  • En terminale, en 2021, 31% des élèves de l’option maths expertes étaient des filles (Femmes et maths)
  • Classes Préparatoires aux Grandes Écoles,  CPGE (scientifiques MP/PC/PSI/PT) en France : 30% de femmes à la rentrée 2023-2024 (enseignementsup-recherche.gouv)
  • À l’École Polytechnique (cycle ingénieur) : ≈ 20% de femmes (constat 2023); pour les nouveaux admis 2024 : ≈ 16% de femmes (école polytechnique)

Quand la minorité devient invisible

Les sciences sociales ont depuis longtemps observé un phénomène de « masse critique » : lorsque la proportion de femmes dans un collectif tombe sous un certain seuil (souvent estimé autour de 20 à 30% – c’est pour ça que je donnais les ordres de grandeurs auparavant), la dynamique interne change qualitativement.
Rosabeth Moss Kanter, dans un ouvrage paru en 1977, montrait que les femmes deviennent alors des tokens, des figures symboliques plus qu’intégrées, perçues d’abord comme “femmes” avant d’être reconnues comme “collègues”. Sous ce seuil, les femmes se retrouvent sous surveillance permanente, souvent contraintes de représenter leur groupe.

Mais paradoxalement, elles deviennent aussi moins visibles en termes d’influence : leurs interactions se raréfient, leur exposition à des soutiens féminins diminue, et leurs réseaux deviennent périphériques. Des analyses récentes de réseaux sociaux, par exemple celles de Karimi et al. (2017), montrent que la visibilité minoritaire dépend directement de la taille relative du groupe et du degré d’homophilie : plus un groupe est petit, plus il est enclavé, et moins ses membres perçoivent ou sont perçus par le reste du réseau.

La spirale de l’exclusion

Cette invisibilité engendre une spirale d’auto-exclusion : moins il y a de femmes, plus l’environnement devient masculin, plus les normes de comportement s’adaptent à ce nouvel équilibre. Les remarques déplacées, le paternalisme ou la mise à l’écart sont perçus comme « normaux » par la majorité. Les femmes, elles, se sentent de plus en plus en décalage, et finissent par partir. On peut formuler cela en termes de théorie des graphes : chaque individu appartient à un réseau d’interactions ; les liens (collaboration, affinité, soutien) dépendent souvent du genre, par homophilie ; si la proportion de femmes r_t devient trop faible, le sous-graphe féminin se fragmente ; la probabilité de contacts mixtes (femme-homme) diminue, alors même que la probabilité d’interactions entre hommes reste stable ou croît. Dans ce cadre, la dynamique de sortie (découragement, départ, désaffection) devient auto-renforçante : une fois sous un certain seuil r^\star, la remontée devient improbable sans intervention externe. C’est un point de bascule, comparable aux transitions de phase dans les systèmes physiques.

Les vertus dynamiques de la discrimination positive

On peut alors lire les politiques de parité ou de « discrimination positive » non pas comme des interventions morales, mais comme des mécanismes de stabilisation de système. Elles visent à maintenir la proportion de femmes r_t au-dessus du seuil r^\starcelui où le système bascule dans la spirale d’exclusion. Autrement dit, une politique d’équilibre n’est pas simplement « juste », elle est préventive. Elle évite de franchir la frontière où les dynamiques sociales, la perception mutuelle et les normes collectives cessent d’être égalitaires. Des études empiriques soutiennent cette intuition : dans les entreprises, universités ou administrations où la représentation féminine dépasse 30%, on observe une baisse significative des plaintes pour harcèlement ou comportements hostiles, ainsi qu’une amélioration du sentiment de légitimité des femmes dans leur rôle (Kanter (1977), Karami et al. (2021), Paustian-Underdahlan et al. (2025), Walker et al. (2024)).

Un signal inquiétant : la baisse des filles en sciences

Or, ce seuil semble aujourd’hui menacé dans plusieurs domaines. En France comme ailleurs, la proportion de filles dans les filières scientifiques, et notamment en mathématiques, recule depuis une dizaine d’années. Dans certaines classes préparatoires ou départements universitaires, on revient à des niveaux proches de ceux des années 1980. Ce n’est pas seulement une question de représentation : c’est le signal d’un risque structurel. Si je reviens à mes maths, si la proportion de filles r_t passe sous le seuil critique r^\star, le système risque de s’enfermer dans une dynamique où les jeunes femmes se sentent de moins en moins légitimes, soutenues, ou simplement à leur place. À ce stade, la parité ne reviendra plus « naturellement ». Il faudra une action extérieure (bourses ciblées, recrutement préférentiel, visibilité médiatique) pour recréer les conditions d’un équilibre stable.

Les modèles issus de la théorie des réseaux ou de la physique sociale permettent de penser autrement les enjeux de diversité : non comme un débat moral, mais comme une question de stabilité dynamique. Une société qui néglige la parité risque d’entrer dans une zone de rétroaction négative, où le déséquilibre s’auto-entretient et finit par exclure les minorités non par décision explicite, mais par inertie structurelle. Les quotas, les politiques d’équilibre ou les actions ciblées sont alors, en un sens, l’équivalent social des « forces de rappel » qui empêchent un système complexe de diverger. Ils ne garantissent pas l’égalité parfaite, mais ils assurent que le système reste dans une zone où l’égalité reste possible.

Non, les probabilités ne sont pas nos amies…

… et non, nous ne vivons pas le monde merveilleux des Bisounours: la vie n’est pas toujours juste. Les probabilités sont un objet assez curieux à manipuler, pas forcément très intuitif. J’avais évoqué ici et enfin  la notion d’espace probabilisé http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/espace-probabilise.png… En fait, généralement, les calculs de probabilités sont assez troublants et paradoxaux. On va considérer ici des gens devant prendre des situations en présence d’incertitude, et plus particulièrement deux situations: la difficulté de prendre en compte de l’information (et donc de calculer des probabilités conditionnelles) et le cas où les gens doivent agir en prenant des décisions de manière aléatoire (et donc fixent en même les probabilités).

  • Les probabilités conditionnelles

Avant hier, j’avais mis en ligne (ici) un billet sur le paradoxe dit de Monty Hall, où le candidat à un jeu télévisé doit choisir une porte parmi trois (afin de gagner une voiture), une fois son choix effectué, le présentateur ouvre une des deux autres portes (une qui n’a pas de lot derrière) et demande au candidat s’il souhaite revenir sur son choix. Et la réponse est qu’effectivement, le candidat a intérêt à ouvrir la porte qui est restée ouverte (et que l’animateur n’a pas choisie). L’idée du raisonnement est de formaliser proprement cette information à l’aide de lois conditionnelles.

Cette importance de l’information se retrouve par exemple dans l’histoire des cocus de Bagdad ou des yeux bleus (ici). Sinon, sur les paradoxes de probabilité, je peux aussi renvoyer vers des histoires de des lancers de pièces (ici), mais aussi sur le paradoxe des enveloppes () qui pourrait faire penser à l’histoire de Monty Hall. Mais mon préféré sur les lois conditionnelles reste le paradoxe de Simpson (ici, repris sous une forme plus géométrique )…

  • Les probabilités comme paramètres de décision

Dans tous ces exemples, les probabilités sont connues, et il s’agit simplement d’une mise à jour afin de prendre en compte une nouvelle information. Mais il existe des cas encore plus vicieux, où les probabilités ne peuvent pas être considérées comme exogènes, ou objectives, car elles sont déterminées par les joueurs. Considérons une jeu simple, un peu dans l’esprit du pierre-feuille-ciseau (que j’avais déjà évoqué ici, en rappelant qu’il était fondamental de prendre des décisions de manière aléatoire). Dans le jeu d’aujourd’hui, on a toujours deux joueurs, disons moi (P) et ma fille (F). On cache nos mains dans le dos, et on les sort au même moment, en montant un ou deux doigts,

  • si le nombre de doigts sortis est identique (paires (1,1) ou (2,2)), alors je gagne le nombre de doigts sortis, i.e. 2 ou 4
  • si le nombre de doigts sortis est différent (paires (1,2) ou (2,1)), alors ma fille gagne le nombre de doigts sortis, i.e. 3

La matrice des paiements est alors la suivante

P\F 1 2
1 2 -3
2 -3 4

Si on suppose que l’on a une chance sur 4 pour chacune des paires, le jeu est alors a somme nulle, puisque
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-80.png
Sauf que les probabilités sont fixées par les joueurs, en l’occurrence moi et ma fille. Supposons que je sorte 1 doigt avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF1.png, et 2 avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF2.png(avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-81.png). Ma fille sort 1 doigt avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF3.png, et 2 avec probabilitéhttp://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF4.png (avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF5.png). La valeur espérée du jeu (de mon point de vue) est
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF.png
Ma fille cherche http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF15.png qui va minimiser cette valeur, alors que moi, je cherche http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF16.png qui la maximise. Bref, un problème classique de problème minmax de théorie des jeu. L’équilibre (s’il existe) sera http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF17.png où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-18.pnget http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-19.png solution de
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-20.png
A p donné, ma fille cherche à trouver
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-21.png
soit
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-23.png
soit encore
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-25.png
en notant que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-81.png, on peut réécrire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-26.png. Autrement dit, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-27.png, ma fille a toujours intérêt à sortir un doigt (car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-82.png) et ce n’est pas un équilibre… pareillement, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-28.png, ma fille a toujours intérêt à sortir deux doigts, et là encore ce n’est pas un équilibre. Autrement dit, le seul équilibre possible est obtenu lorsque http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-29.png, i.e l’équilibre correspond à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-30.png. De manière dual, pour ma part, je cherchais à trouver
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-31.png
i.e.
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-32.png
soit
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-25.png
qui conduit à un équilibre seulement si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-33.png. Autrement dit, afin que le jeu soit à l’équilibre, il faut que nous jouions la stratégie suivante: sortir un doigt avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-40.png (et pas http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF60.png) et deux avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-41.png. Et la valeur espérée du jeu est alors
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-50.png
Moralité, ma fille tu as intérêt à travailler tes maths si tu veux battre un jour ton père ce n’est pas vraiment un jeu “juste“… à condition bien sûr que moi et ma fille soyons ensuite capable de mettre en œuvre cette stratégie… Car si je regarde avec mes yeux de statisticiens, je pense qu’il est assez dur de faire la différence entre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-40.png et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF60.png … La preuve sur cette petite simulation,

> N=100; pv=rep(NA,100000)
> for(s in 1:100000){
+ X=sample(1:2,size=N,prob=c(5/12,7/12),replace=TRUE)
+ P=prop.test(table(X)[1],n=N,p=1/2)
+ pv[s]=P$p.value}
> mean(pv>0.05)
[1] 0.66776

autrement dit, en supposant que ma fille et moi arrivions a jouer 100 fois à ce jeu, dans 2/3 des cas je n’arrive pas à faire la différence entre une probabilité valant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF60.png et une probabilité valant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/jeuPF-40.png.