Cette semaine, nous allons finir la modélisation du passif d’une compagnie d’assurance non-vie. Les slides sont en ligne.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #10
La semaine dernière, nous avions commencé la modélisation du passif d’une compagnie d’assurance non-vie. Les slides introductifs sont en ligne.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #9
Cette semaine, nous avons fini les modèles de tarification, avec une extention sur les modèles globaux (sans passer par une séparation entre fréquence et coût moyen), et sur le choix de variables, et le choix de modèles. Les slides introductifs sont en ligne.
Données sinistres, devoir Actuariat (ENSAE)
Pour le dernier devoir du cours d’actuariat non-vie, à l’ENSAE, quelques données de sinistres. Pour plusieurs milliers de sinistres (garantie dommages tous accidents issu d’un portefeuille automobile d’une société française) on a les données suivantes, entre 1995 et 2014,
- id_sin: identifiant du sinistres (les 4 premiers caractères représentent l’exercice de survenance)
- an_surv: exercice de survenance
- an_gest: exercice de gestion
- etat_sin: code état du sinistre à la fin de l’exercice de gestion (1=mis en jeu, 2= cloture partielle, 3 = cloture totale, 4 = réouvert et 5 = cloture sans suite)
- pmt: paiements effectués sur le sinistre à la fin de l’exercice de gestion
- rec: recours encaissés sur le sinistre à la fin de l’exercice de gestion
- eval_pmt: évaluation des paiements (réglés+à venir) vue à la fin de l’exercice de gestion
- eval_rec: évaluation des recours (réglés+à venir) vue à la fin de l’exercice de gestion
Pour information complémentaire, on dispose des éléments d’information suivants, sur le portefeuille
Exercice | Volume portefeuille (garanties années) |
Chiffre d’affaires (€) | Nb sinistres survenus dans l’année |
2014 | 303 900 | 45 900 000 | 41 678 |
2013 | 296 500 | 45 700 000 | 41 639 |
2012 | 295 600 | 44 000 000 | 42 815 |
2011 | 292 000 | 41 200 000 | 43 351 |
2010 | 282 900 | 40 700 000 | 45 276 |
2009 | 274 300 | 39 800 000 | 42 779 |
2008 | 263 800 | 41 900 000 | 38 941 |
2007 | 256 200 | 41 200 000 | 38 048 |
2006 | 250 800 | 42 400 000 | 38 603 |
2005 | 239 100 | 41 100 000 | 37 539 |
2004 | 226 800 | 37 900 000 | 34 728 |
2003 | 220 300 | 39 200 000 | 34 491 |
2002 | 211 400 | 35 500 000 | 35 984 |
2001 | 202 400 | 34 800 000 | 36 322 |
2000 | 193 400 | 34 000 000 | 36 186 |
1999 | 184 500 | 32 300 000 | 34 123 |
1998 | 175 500 | 29 800 000 | 30 517 |
1997 | 166 500 | 28 000 000 | 28 432 |
1996 | 157 500 | 26 500 000 | 26 852 |
1995 | 148 600 | 25 700 000 | 26 775 |
La base complète est dans le fichier ensae2017.zip. Nous reviendrons sur les attendus lors du prochain cours.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #8
Pour poursuivre sur la modèlisation des coûts individuels, quelques slides sur les grands risques. Les slides sont en ligne.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #6
On reviendra sur les modèles de comptage, après la digression sur les GLM et la sur-dispersion, en parlant un peu de tarification a posteriori. En particulier, nous verrons deux approches assez différentes, avec les modèles de crédibilité et l’approche par bonus-malus. Les slides sont en ligne.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #5
Petit retour sur les modèles de comptage, avec la digression sur les GLM, avec les modèles permettant d’avoir de la surdispersion (théoriquement impossible dans un modèle de Poisson, mais plus réaliste compte tenu des particularités des données d’assurance). Les slides sont en ligne.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #4
Ce mardi, poursuite du cours d’actuariat, avec les modèles linéaires généralisés (qui englobent la régression logistique et la régression de Poisson, sur lesquelles nous avons passé du temps). Les slides sont en ligne.
Multinomial Logit as an Iterated Logit Regression
For the second section of the course at ENSAE, yesterday, we’ve seen how to run a multinomial logistic regression model. It is simply an extension of the binomial logistic regression. But actually, it is also possible to consider iterative binomial regressions.
Consider here a response variable Y with a multinomial distribution (3 factors to have something more general than the binomial), taking values \{A,B,C\}, with respective probabilities \mathbf{p}=(p_A,p_B,p_C). Here is a code to generate some multinomial variables
msample=function(A,B,C){
Y=rep(NA,B)
for(i in 1:B){Y[i]=sample(A,size=1,prob=C[i,])}
return(Y)
}
and here is a code to generate a dataset with n rows,
generate3=function(n,x,pb=c(-2,0)){
set.seed(x)
X1=runif(n)
X2=runif(n)
X3=runif(n)
s1=pb[1]+X1+X2
s2=pb[2]-X1+X2
P1=exp(s1)/(1+exp(s1)+exp(s2))
P2=exp(s2)/(1+exp(s1)+exp(s2))
Y=msample(0:2,n,cbind(1-P1-P2,P1,P2))
df=data.frame(Y=Y,X1=X1,X2=X2,X3=X3)
return(df)
}
Let us generate a training dataset and a validation one
pb=c(.31,.42)
DF1=generate3(1000,1,pb=pb)
DF2=generate3(500,2,pb=pb)
With a multivariate logistic regression
\mathbb{P}[Y=A|\mathbf{x}]=\frac{\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\alpha}]}{1+\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\alpha}]+\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\beta}]}
\mathbb{P}[Y=B|\mathbf{x}]=\frac{\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\beta}]}{1+\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\alpha}]+\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\beta}]}
\mathbb{P}[Y=B|\mathbf{x}]=\frac{1}{1+\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\alpha}]+\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{\beta}]}
For convenience, consider the most popular factor in our training dataset
modalite=names(sort(table(DF1$Y),decreasing = TRUE))
Consider a regression model on the simulated dataset (with several covariates), let us estimate it, and let us get predictions.
library(nnet)
reg=multinom(as.factor(Y) ~ ., data = DF1)
mp1=predict (reg, DF1, "probs")
mp2=predict (reg, DF2, "probs")
An alternative can be the following.
consider a first regression model on the Bernoulli variable Y_A=\mathbf{1}(Y=A). Actually, we will consider the most important factor, but for convenience, assume that it is A.
\mathbb{P}[Y_A=A|\mathbf{x}]=\frac{\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{a}]}{1+\exp[\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{a}]}
On our dataset, estimate that model, and get predictions. In the case where Y\neq A, define another Bernoulli variable Y_B=\mathbf{1}(Y=B|Y\neq A). We can estimate that model and derive two probabilities, \mathbb{P}(Y=B|Y\neq A) and \mathbb{P}(Y=C|Y\neq A) (the sum of the two being equal to 1). Based on those two models, it is possible to compute the three probabilities we are looking for. \mathbb{P}[Y=A] is obtained from the first model, and we can derive the other two from \mathbb{P}[Y=B|Y\neq A]\cdot\mathbb{P}[Y\neq A] and \mathbb{P}[Y=C|Y\neq A]\cdot\mathbb{P}[Y\neq A].
reg1=glm((Y==modalite[1])~.,data=DF1,family=binomial)
reg2=glm((Y==modalite[2])~.,data=DF1[-which(DF1$Y==modalite[1]),],family=binomial)
p11=predict (reg1, newdata=DF1, type="response")
p12=predict (reg2, newdata=DF1, type="response")
p21=predict (reg1, newdata=DF2, type="response")
p22=predict (reg2, newdata=DF2, type="response")
mmp1=cbind(p11,(1-p11)*p12,(1-p11)*(1-p12))
mmp2=cbind(p21,(1-p21)*p22,(1-p21)*(1-p22))
colnames(mmp1)=colnames(mmp2)=modalite
Let us compare the predicted probabilites, on the same dataset (here the training dataset)
> mmp1[1:9,c("0","1","2")]
0 1 2
1 0.19728737 0.4991805 0.3035321
2 0.17244580 0.5648537 0.2627005
3 0.19291753 0.5971058 0.2099767
4 0.09087176 0.7787304 0.1303978
5 0.23400225 0.4083022 0.3576955
6 0.18063647 0.6637352 0.1556283
7 0.13188881 0.7402710 0.1278401
8 0.13776970 0.6524959 0.2097344
9 0.12325864 0.6790336 0.1977078
> mp1[1:9,c("0","1","2")]
0 1 2
1 0.19691036 0.5022692 0.3008205
2 0.17123189 0.5680647 0.2607034
3 0.19293066 0.5984402 0.2086291
4 0.08821851 0.7813318 0.1304497
5 0.23470739 0.4109990 0.3542936
6 0.18249687 0.6602168 0.1572863
7 0.13128711 0.7400898 0.1286231
8 0.13525341 0.6553618 0.2093848
9 0.12090016 0.6815915 0.1975084
The two are very close. So yes, it is possible to see the multinomial regression as some sequential binomial regressions.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #3
Mardi, seconde partie du cours d’actuariat, avec les modèles de classification le matin, mais l’après midi, on devrait commencer les modèles de comptage. Les slides sont en ligne.
Le matin, je dois intervenir 15 minutes à l’IHP vers 9 heures, dans un colloque sur Artificial Intelligence for Fintech and Insurtech: si le RER traîne un peu trop, entre Luxembourg et Lozère, j’aurais peut-être 5 minutes de retard….
Base de Données, Devoir d’Actuariat
Pour les deux premiers devoirs du cours d’actuariat de l’assurance non-vie, on utilisera les mêmes données, dont le descriptif complet est en ligne ici. La première base d’apprentissage (sa version corrigée) est aussi en ligne
> base=read.csv2("http://freakonometrics.free.fr/PG3/PG_2017_SURV_YEAR0.csv",sep=",")
> dim(base)
[1] 100000 32
> table(base$survenance)
FALSE TRUE
85636 14364
On reviendra en cours mardi prochain sur les attendus, mais l’idée sera de modélisation la variable survenance. Pour se second projet, on passera à la modélisation de la prime pure.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #2
Mardi, on commencera le cours d’actuariat, avec un cours d’introduction le matin, mais l’après midi, on attaquera plus sérieusement, avec une mise en bouche, avec les modèles de classification (de type {survenance} vs {non survenance} d’accident). Là encore, les slides sont en ligne.
Je parlerais aussi du premier devoir, qui portera sur les modèles que nous (re)verrons ici.
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #1
Reprise du cours d’assurance non-vie à l’ENSAE la semaine prochaine. Les slides sont en ligne globalement, sinon je mettrais les liens au fur et à mesure (en corrigeant les typos, voire en rajoutant des sections, si besoin), avec cette semaine les slides pour l’introduction du cours. Et pour illustrer, j’ai emprunté quelques images au très beau livre Karambolage d’Arnold Odermatt.
ENSAE, Devoir 3
Pour le dernier devoir du cours d’actuariat de l’assurance dommage, comme annoncé, je demande de faire un calcul de provisions, sur les données du fichier triangle_ensae.ods.
Je veux un rapport, de 5 pages, proposant un montant de provisions pour les 14 années passées, mais aussi pour la dernière année en cours (pour laquelle 103 733 € ont déjà été payés), avec deux méthodes différentes (montant dit best estimate). Dans un second temps, il faudra utiliser une méthode de simulations pour estimer le quantile à 99.5% des paiements à venir, toutes années confondues. Autrement dit, on veut savoir combien de provisions il convient de constituer pour pouvoir indemniser intégralement les assurés dans 99.5% des cas.
Actuariat de l’Assurance non-Vie #11
Dernier jeu de slides, pour compléter la section sur le provisionnement, avec des méthodes plus économétriques. Les slides sont enfin en ligne.
Je complèterais éventuellement s’il y a des questions spécifiques, sur un point, ou un autre.