Il y a une quinzaine de jours (ici) on avait vu comment construire des estimateurs pour l’indice de queue de la loi de Pareto. On avait 4 valeurs (différentes). Maintenant, on peut se demander lequel devrait être le “meilleur“.

• propriétés de l’estimateur du maximum de vraisemblance

Maintenant que l’on a un peu avancé dans le cours, on peut continuer l’étude de la distribution des couts de sinistres (étude commencée ici).

i.e.

de telle sorte que

et

Aussi l’information de Fisher est .
La variance aymptotique de  est alors

• propriétés de l’estimateur de la méthode des moments

Nous avions noté que

i.e. , alors . Aussi, comme le théorème central limite limite

où

la delta method permet d’écrire, en posant ,

i.e.

La variance asymptotique est alors

• propriétés de l’estimateur de la méthode de la médiane

Pour le dernier estimateur, le théorème de Glivenko Cantelli sur les fonctions quantiles permet d’écrire

i.e. pour la médiane,

où la variance asymptotique (pour la médiane) peut se simplifier sous la forme

Là encore, en utilisant la delta method (je peux renvoyer ici pour une application numérique de cette méthode), avec

i.e. , on en déduit que

La variance asymptotique de notre estimateur est alors (en enlevant le facteur au dénominateur – car il est commun à tous),

Pour trois de nos estimateurs (je n’ai pas fait le quatrième, ça serait hors programme), on a pu obtenir facilement des variances asymptotiques. Graphiquement, on a les évolutions suivantes pour les variances asymptotiques de nos trois estimateurs, en fonction de la valeur de , avec le maximum de vraisemblance (en rouge), celui de la méthode des moments (en bleu) et celui basé sur la médiane (en mauve)

Manifestement le premier estimateur (le maximum de vraisemblance) a une variance asymptotique plus faible que les deux autres (mais on l’avait vu en cours, c’est ce que garantit l’inégalité de Cramér-Rao). Autrement dit, l’estimateur du maximum de vraisemblance est probablement le plus fiable….
En utilisant ces résultats mentionnés, on peut aussi construire des intervalles de confiance asymptotiques pour la valeur du paramètre , à l’aide de nos trois estimateurs, i.e. pour un intervalle de confiance à 90%,

où les estimations des variances asymptotiques sont obtenues en substituant à   dans les formules au dessus.
Si on considère que l’estimateur du maximum de vraisemblance est le meilleur que l’on puisse utiliser, on obtient comme intervalle de confiance pour ,

2.845093-1.64/sqrt(100)*2.845093
[1] 2.378498
 
2.845093+1.64/sqrt(100)*2.845093
[1] 3.311688

L’étape d’après sera d’introduire des tests. On pourra ainsi se demander si l’on peut accepter l’hypothèse . Mais c’est une autre histoire… à suivre donc….