Lors du cours de demain, nous allons parler (longuement) de l’estimation de la variance (comme cela avait commencé en TD vendredi dernier). Mais en pratique, c’est souvent l’écart-type qui nous intéresse. On va passer par mal de temps à chercher un estimateur sans biais de la variance, et montrer que
devrait convenir, mais cela ne nous donne pas vraiment d’information sur le biais de l’estimateur naturel de l’écart-type, à savoir
car 
.
Bref, il y a sûrement un biais, et ça pourrait être intéressant de le quantifier. Classiquement, on suppose disposer d’un échantillon 
i.i.d. On va faire une hypothèse forte, à savoir que leur loi est une loi normale 
, où 
est inconnu.
Naturellement, on voudrait considérer
où 
est la densité de cette variable. Or on sait que 
suit une loi du chi-deux à 
degrés de liberté, dont la densité est la loi gamma suivante
En notant que l’on peut réécrire
on a que cette espérance s’écrit
soit en faisant un peu de calculs,
ou encore
Ce qui va se simplifier en utilisant la fonction gamma
où
