Il y a plusieurs mois, j’avais fait un billet sur le paradoxe de Simpson (ici). Pour reprendre un exemple simple, supposons que l’on a deux hôpitaux, affichant les statistiques suivantes, pour les personnes “saines”,
hôpital | total | survivants | décès | taux de survie |
|
hopital A | 600 | 590 | 10 | 98% | x |
hopital B | 900 | 870 | 30 | 97% |
et pour les personnes “malades” (on suppose vraiment que le critère est identique pour les deux hôpitaux)
hôpital | total | survivants | décès | taux de survie |
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hopital A | 400 | 210 | 190 | 53% | x |
hopital B | 100 | 30 | 70 | 30% |
Bref, peu importe son état de santé, on a toujours intérêt à choisir l’hôpital A. D’où le paradoxe. En revanche, si on combine, on obtient “globalement”,
hôpital | total | survivants | décès | taux de survie |
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hopital A | 1000 | 800 | 200 | 80% | |
hopital B | 1000 | 900 | 100 | 90% | x |
on note que l’on a intérêt à choisir l’hôpital B. Étonnant non ? (l’exemple vient de Marco Scarsini, et je n’ai jamais trouvé plus élégant).
J’évoque souvent ce paradoxe en économétrie, et c’est ce que j’avais fait dans mon précédant billet (ici). En fait, Roger Nelsen propose un petit exemple simple permettant de comprendre comment on peut obtenir un tel paradoxe. L’idée est de noter que

et

et pourtant

Cela n’a a priori rien d’exceptionnel… On peut parfaitement avoir

et

tout en ayant,

C’est ce que l’on peut visualiser ci-dessous,
Merci Roger….