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Maths

Découpage équitable de la pizza

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Bon, maintenant que l’année scolaire est passée, je vais arrêter un peu les billets sérieux pour revenir pour mes mésaventures à la maison. Par exemple, hier soir, c’était pizza. Et mes enfants aiment partager à deux une pizza (sur laquelle on a rajouté plein de choses qu’ils aiment, genre des olives, ou des morceaux d’ananas). Mais il faut un découpage équitable. Les enfants ne veulent pas un partage juste, mais un partage moitié-moitié.

Classiquement, je coupe la pizza en deux (cf figure ci-contre, avec un côté en bleu pour mon fils, et un en rouge pour ma fille, histoire de simplifier un peu). Mais comme me l’a fait noté mon fils, si mon couteau ne passe pas par le centre de la pizza (on va dire le centre du cercle parce qu’il va falloir faire des maths… pour les recettes de cuisine, il faut changer de site, genre ici).
Donc pour faire simple, la proba d’avoir deux parts rigoureusement égale est très très faible… car il faut couper suivant une droite qui passe exactement au centre (sinon, il y a quelqu’un qui est défavorisé, alors on tire au sort… a prioric’est juste juste, mais ex-post, il y en a toujours un ou une qui trouve le système injuste et qui veut qu’on retire au hasard…)
Fort heureusement, il existe une technique simple, et rigoureusement juste, permettant d’avoir des parts équitables…
L’idée est la suivante: on commence par couper horizontalement, n’importe où. Ensuite, on coupe verticalement (à angle droit, en prenant son équerre) de manière à récupérer 4 parts. Au point d’intersection,  on coupe à 45° direction nord-est, et 45° direction nord-ouest…. Une fois le découpage effectué, on réparti les parts, à tour de rôle, les parts bleues pour mon fils, et celles en rouges pour ma fille,

Car le truc génial est que le découpage – en plus d’être fort élégant – est parfaitement équitable ! Comme les enfants sont toujours sceptiques, il faut bien sûr leur prouver que oui, ils en auront exactement pareil. Pour ça on reprend le couteau…

Si on recoupe les parts suivant les traits-ci-dessus, chaque part bleue pourra être superposée à une part rouge (la preuve mathématique repose sur des simple notions de symétrie…). Génial non ? On a même le théorème du mardi soir, à savoir que “si on coupe une pizza en 8 parts, avec des pointes à 45° partir d’un point choisi arbitrairement dans la pizza, alors la somme alternée des parts sera égale” (cf ici). En 1967, Upton a posé ce problème,

Larry Carter et Stan Wagon affirmaient que ce résultat resterait vrai si on coupait en 12 ou 16 parts (avec des angles égaux pour les pointes), mais pas pour 6, 10, 14 ou 18 par exemple. Le blog du chou romanesco (ici et là) prétend que c’est vrai pour les découpages en un nombres pairs. En fait, Rick Mabry et Paul Deiermann ont un théorème assez général (là pour la version complète) et qui généralise aussi en dimension 3 (pour une calzone en quelque sorte). Mais je sens que ça n’intéresse plus trop les enfants, qui ont déjà fini la pizza….

Les plus curieux peuvent aussi consulter le court article ci-dessous,

Maths

Moyenne géométrique versus moyenne arithmétique…

L’autre jour, j’étais de surveillance d’examen. Pour passer le temps, j’ai survolé l’énoncé, et je me souviens avoir lu “montrez que la moyenne arithmétique est plus grande que la moyenne géométrique“. Ayant généralement tendance à préférer les copies où il y a peu à lire, mais avec de jolis dessins, j’ai eu envie de proposer une correction sans écrire un mot aux étudiants (qui semblaient souffrir dans leur démonstration). Il suffit de monter que

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/moyennes-latex.png

Ben voilà,

quod erat demonstrandum. Non ? On note en plus que l’on a égalité si et seulement si les nombres sont égaux…. Allez, pour convaincre les sceptiques, je rajoute une deuxième preuve… Bon, en fait je peux prouver que

mais c’est la même chose, non ?

M2-ADD

Le “cercle des corrélations” en ACP

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Tout au long de l’analyse en composantes principales, nous avons parlé du “cercle des corrélations“. Cette notion est fondamentale en ACP, et je voulais insister un peu sur ce point pour le démystifier,

“A chaque point-variable, on associe un point dont la coordonnée sur un axe factoriel est une mesure de la corrélation entre cette variable et le facteur. Dans l’espace de dimension p la distance des points-variables à l’origine est égale à 1. Donc par projection sur un plan factoriel les points-variables s’inscrivent dans un cercle de rayon 1 – le cercle des corrélations – et sont d’autant plus proche du bord du cercle que le pointvariable est bien représenté par le plan factoriel, c’est-à-dire que la variable est bien corrélée avec les deux facteurs constituant ce plan.”

L’angle entre 2 variables, mesuré par son cosinus, est égal au coefficient de corrélation linéaire entre les 2 variables: cos(angle) = r(X1,X2)

  • si les points sont très proches (angle proche de 0) : cos(angle) = r(X1,X2) = 1 donc X1 et X2 sont très fortement corrélés positivement
  • si a est égal à 90° , cos(angle) = r(X1,X2) = 0 alors pas de corrélation linéaire entre X1 et X2
  • si les points sont opposés, a vaut 180°, cos(angle) = r(X1,X2) = -1 : X1 et X2 sont très fortement corrélés négativement

Attention, on ne peut interpréter que les variables situées au bord du cercle. En effet, seuls ces points là sont “bien” projetés, comme le rappelle le dession ci-dessous,