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Actuariat de l’Assurance Non-Vie #2

Mardi, on commencera le cours d’actuariat, avec un cours d’introduction le matin, mais l’après midi, on attaquera plus sérieusement, avec une mise en bouche, avec les modèles de classification (de type {survenance} vs {non survenance} d’accident). Là encore, les slides sont en ligne.

Je parlerais aussi du premier devoir, qui portera sur les modèles que nous (re)verrons ici.

 

Choosing a Classifier

In order to illustrate the problem of chosing a classification model consider some simulated data,

> n = 500
> set.seed(1)
> X = rnorm(n)
> ma = 10-(X+1.5)^2*2
> mb = -10+(X-1.5)^2*2
> M = cbind(ma,mb)
> set.seed(1)
> Z = sample(1:2,size=n,replace=TRUE)
> Y = ma*(Z==1)+mb*(Z==2)+rnorm(n)*5
> df = data.frame(Z=as.factor(Z),X,Y)

A first strategy is to split the dataset in two parts, a training dataset, and a testing dataset.

> df1 = training = df[1:300,]
> df2 = testing  = df[301:500,]
  • The Holdout Method: Training and Testing Datasets

The two datasets can be visualised below, with the training dataset on top, and the testing dataset below

> plot(df1$X,df1$Y,pch=19,col=c(rgb(1,0,0,.4),
+ rgb(0,0,1,.4))[df1$Z])

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Les Arbres de Classification

J’animerai une formation lundi 28 de 14:00 à 16:00 au local N-6320 de l’UQAM sur le thème introduction aux arbres de classification. Cette formation est organisée dans le cadre des séminaires en méthodes d’analyses quantitatives et qualitatives qui se tiennent régulièrement depuis un peu plus d’un mois. animé par le collectif pour le développement et les applications en mesure et évaluation (Cdame). Les slides sont disponibles en pdf (il y a quelques animations, qui ne passent qu’avec Acrobat)

La base utilisée tout au long des exposés est la suivante
> MYOCARDE=read.table("http://freakonometrics.free.fr/saporta.csv",head=TRUE,sep=";")

Regression tree using Gini’s index

In order to illustrate the construction of regression tree (using the CART methodology), consider the following simulated dataset,

> set.seed(1)
> n=200
> X1=runif(n)
> X2=runif(n)
> P=.8*(X1<.3)*(X2<.5)+
+   .2*(X1<.3)*(X2>.5)+
+   .8*(X1>.3)*(X1<.85)*(X2<.3)+
+   .2*(X1>.3)*(X1<.85)*(X2>.3)+
+   .8*(X1>.85)*(X2<.7)+
+   .2*(X1>.85)*(X2>.7) 
> Y=rbinom(n,size=1,P)  
> B=data.frame(Y,X1,X2)

with one dichotomos varible (the variable of interest, ), and two continuous ones (the explanatory ones  and ).

> tail(B)
    Y        X1        X2
195 0 0.2832325 0.1548510
196 0 0.5905732 0.3483021
197 0 0.1103606 0.6598210
198 0 0.8405070 0.3117724
199 0 0.3179637 0.3515734
200 1 0.7828513 0.1478457

The theoretical partition is the following

Here, the sample can be plotted below (be careful, the first variate is on the y-axis above, and the x-axis below) with blue dots when  equals one, and red dots when  is null,

> plot(X1,X2,col="white")
> points(X1[Y=="1"],X2[Y=="1"],col="blue",pch=19)
> points(X1[Y=="0"],X2[Y=="0"],col="red",pch=19)

In order to construct the tree, we need a partition critera. The most standard one is probably Gini’s index, which can be writen, when ‘s are splited in two classes, denoted here 

L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-comp-04.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.

or when ‘s are splited in three classes, denoted 
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-comp-07.png

etc. Here,  are just counts of observations that belong to partition  such that  takes value . But it is possible to consider other criteria, such as the chi-square distance,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-comp-01.png

where, classically

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-comp-02.png
when we consider two classes (one knot) or, in the case of three classes (two knots)
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-comp-05.png

Here again, the idea is to maximize that distance: the idea is to discriminate, so we want samples as not independent as possible. To compute Gini’s index consider

> GINI=function(y,i){
+ T=table(y,i)
+ nx=apply(T,2,sum)
+ pxy=T/matrix(rep(nx,each=2),2,ncol(T))
+ vxy=pxy*(1-pxy)
+ zx=apply(vxy,2,sum)
+ n=sum(T)
+ -sum(nx/n*zx)
+ }

We simply construct the contingency table, and then, compute the quantity given above. Assume, first, that there is only one explanatory variable. We split the sample in two, with all possible spliting values , i.e.

Then, we compute Gini’s index, for all those values. The knot is the value that maximizes Gini’s index. Once we have our first knot, we keep it (call it, from now on ). And we reiterate, by seeking the best second choice: given one knot, consider the value that splits the sample in three, and give the highest Gini’s index, Thus, we consider either the following partition

or this one

I.e. we cut either below, or above the previous knot. And we iterate. The code can be something like that,

> X=X2
> u=(sort(X)[2:n]+sort(X)[1:(n-1)])/2
> knot=NULL
> for(s in 1:4){
+ vgini=rep(NA,length(u))
+ for(i in 1:length(u)){
+ kn=c(knot,u[i])
+ F=function(x){sum(x<=kn)}
+ I=Vectorize(F)(X)
+ vgini[i]=GINI(Y,I)
+ }
+ plot(u,vgini)
+ k=which.max(vgini)
+ cat("knot",k,u[k],"\n")
+ knot=c(knot,u[k])
+ u=u[-k]
+ }
knot 69 0.3025479 
knot 133 0.5846202 
knot 72 0.3148172 
knot 111 0.4811517

At the first step, the value of Gini’s index was the following,

which was maximal around 0.3. Then, this value is considered as fixed. And we try to construct a partition in three parts (spliting either below or above 0.3). We get the following plot for Gini’s index (as a function of this second knot)

 which is maximum when the split the sample around 0.6 (which becomes our second knot). Etc. Now, let us compare our code with the standard R function,

> tree(Y~X2,method="gini")
node), split, n, deviance, yval
      * denotes terminal node

 1) root 200 49.8800 0.4750  
   2) X2 < 0.302548 69 12.8100 0.7536 *
   3) X2 > 0.302548 131 28.8900 0.3282  
     6) X2 < 0.58462 65 16.1500 0.4615  
      12) X2 < 0.324591 7  0.8571 0.1429 *
      13) X2 > 0.324591 58 14.5000 0.5000 *
     7) X2 > 0.58462 66 10.4400 0.1970 *

We do obtain similar knots: the first one is 0.302 and the second one 0.584. So, constructing tree is not that difficult…

Now, what if we consider our two explanatory variables? The story remains the same, except that the partition is now a bit more complex to write. To find the first knot, we consider all values on the two components, and again, keep the one that maximizes Gini’s index,

> n=nrow(B)
> u1=(sort(X1)[2:n]+sort(X1)[1:(n-1)])/2
> u2=(sort(X2)[2:n]+sort(X2)[1:(n-1)])/2
> gini=matrix(NA,nrow(B)-1,2)
> for(i in 1:length(u1)){
+ I=(X1<u1[i])
+ gini[i,1]=GINI(Y,I)
+ I=(X2<u2[i])
+ gini[i,2]=GINI(Y,I)
+ }
> mg=max(gini)
> i=1+sum(mg==max(gini[,2]))
> par(mfrow = c(1, 2))
> plot(u1,gini[,1],ylim=range(gini),col="green",type="b",xlab="X1",ylab="Gini index")
> abline(h=mg,lty=2,col="red")
> if(i==1){points(u1[which.max(gini[,1])],mg,pch=19,col="red")
+          segments(u1[which.max(gini[,1])],mg,u1[which.max(gini[,1])],-100000)}
> plot(u2,gini[,2],ylim=range(gini),col="green",type="b",xlab="X2",ylab="Gini index")
> abline(h=mg,lty=2,col="red")
> if(i==2){points(u2[which.max(gini[,2])],mg,pch=19,col="red")
+          segments(u2[which.max(gini[,2])],mg,u2[which.max(gini[,2])],-100000)}
> u2[which.max(gini[,2])]
[1] 0.3025479

The graphs are the following: either we split on the first component (and we obtain the partition on the right, below),

or we split on the second one (and we get the following partition),

Here, it is optimal to split on the second variate, first. And actually, we get back to the one-dimensional case discussed previously: as expected, it is optimal to split around 0.3. This is confirmed with the code below,

> library(tree)
> arbre=tree(Y~X1+X2,data=B,method="gini")
> arbre$frame[1:4,]
     var   n       dev      yval splits.cutleft splits.cutright
1     X2 200 49.875000 0.4750000      <0.302548       >0.302548
2     X1  69 12.811594 0.7536232      <0.800113       >0.800113
4 <leaf>  57  8.877193 0.8070175                               
5 <leaf>  12  3.000000 0.5000000

For the second knot, four cases should be considered: spliting on the second variable (again), either above, or below the previous knot (see below on the left) or spliting on the first one. Then whe have wither a partition below or above the previous knot (see below on the right),

Etc. To visualize the tree, the code is the following

> plot(arbre)
> text(arbre)
> partition.tree(arbre)

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2013/01/arbre-gini-x1-x2-encore.png

Note that we can also visualize the partition. Nice, isn’t it?

To go further, the book Classification and Regression Trees by Leo Breiman (and co-authors) is awesome. Note that there are also interesting sections in the bible Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction by Trevor Hastie, Robert Tibshirani and Jerome Friedman (which can be downloaded from http://www.stanford.edu/~hastie/…)

Régression logistique et arbres

Pour le cours de mercredi prochain, la base utilisée sera une base tirée du livre de Jed Frees, http://instruction.bus.wisc.edu/jfrees/…

> baseavocat=read.table("http://freakonometrics.free.fr/AutoBI.csv",header=TRUE,sep=",")
> tail(baseavocat)
     CASENUM ATTORNEY CLMSEX MARITAL CLMINSUR SEATBELT CLMAGE  LOSS
1335   34204        2      2       2        2        1     26 0.161
1336   34210        2      1       2        2        1     NA 0.576
1337   34220        1      2       1        2        1     46 3.705
1338   34223        2      2       1        2        1     39 0.099
1339   34245        1      2       2        1        1     18 3.277
1340   34253        2      2       2        2        1     30 0.688

On dispose d’une variable dichotomique indiquant si un assuré – suite à un accident de la route – a été représenté par un avocat (1 si oui, 2 si non). On connaît le sexe de l’assuré (1 pour les hommes et 2 pour les femmes), le statut marital (1 s’il est marié, 2 s’il est célibataire, 3 pour un veuf, et 4 pour un assuré divorcé). On sait aussi si l’assuré portait ou non une ceinture de sécurité lorsque l’accident s’est produit (1 si oui, 2 si non et 3 si l’information n’est pas connue). Enfin, une information pour savoir si le conducteur du véhicule était ou non assuré (1 si oui, 2 si non et 3 si l’information n’est pas connue). On va recoder un peu les données afin de les rendre plus claires à lire.

Les transparents du cours sont en ligne ici,

Sur les arbres de régression, je mettrais en ligne un billet, afin d’illustrer la méthode. En attendant des compléments théoriques peuvent se trouver en ligne http://genome.jouy.inra.fr/…, http://ensmp.fr/…, ou http://ujf-grenoble.fr/… (pour information, nous ne verrons que la méthode CART). Je peux renvoyer au livre (et au blog) de Stéphane Tuffery, ou (en anglais) au livre de Richard Berk, dont un résumé se trouve en ligne sur http://crim.upenn.edu/….

La semaine suivante, nous aborderons la régression de Poisson, les méthodes de biais minimal, et introduirons les modèles linéaires généralisés. Je renvoie au chapitre sur la tarification a priori du Denuit & Charpentier (2005), aux chapitres 12 et 13 de Frees (2010) ou encore les chapitres 5 et 6 du De Jong  & Heller (2008). Pour les plus curieux qui veulent comprendre les liens entre les modèles linéaires généralisés et la tarification par crédibilité, je renvoie à l’article de Klinker (2010)

Segmentation en tarification, compléments

Dans le premier cours d’actuariat IARD, nous avons vu l’importance de la ségmentation, et son implication sur le calcul des primes (passer d’une espérance mathématique à une espérance conditionnelle). Pour aller un peu plus loin, quelques compléments,

pour une lecture plus économique de la problématique de la segmentation en assurance

ou pour une lecture plus légale

Sinon, plusieurs articles de vulgarisation peuvent être lu sur internet,

La première démo aura lieu lundi, en salle informatique. Karim sera une introduction au langage R, à la manipulation des variables (qualitatives et quantitatives). Je mettrais en ligne les transparents en fin de semaine, et les codes seront mis en ligne dans le courant de la semaine prochaine.

Comme annoncé hier, il n’y aura pas cours mercredi prochain. Le mercredi suivant, nous verrons la modélisation des variables indicatrices, i.e. la régression logistique, et les arbres de régression. On supposera que le modèle linéaire aura été vu, je mets un lien vers les transparents du cours ACT6420 de la session passée, notes de cours transparents1 et transparents2. Il est aussi possible de relire Frees (2010), chapitres 3, 4, 5 et 6.

Pour commencer à pratiquer la régression logistique, on utilisera la petite fonction suivante

logit = function(formula, lien="logit", data=NULL) {
glm(formula,family=binomial(link=lien),data)
}

Sinon, la Casualty Actuarial Society a mis en ligne plusieurs documents en ligne sur les arbres de régression (qui sont peu abordés dans les livres mentionnés auparavant),

pour une comparaison de toutes les méthodes

Les transparents seront mis en ligne en fin de semaine prochaine. A suivre donc…