Considérons les données suivantes, correspondant à des professions au sein d’un couple. On dispose du tableau de contingence suivant

> base=read.table(
"http://freakonometrics.free.fr/epoux.csv",
sep=";",header=TRUE)
> rownames(base)=base$Nom

Classiquement, avec ce genre de données, on est habitué à utiliser la distance du chi-deux, et les contributions au chi-deux pour voir les modalités qui correspondent fortement

> M=base[1:9,2:10]
> CT=chisq.test(M)

On peut le visualiser de la manière suivante,

> mosaicplot(t(M),main="",las=2,shade=TRUE)

avec les maris en ligne, et les épouses en colonnes. Les contribution importantes sont en bleu ou rouge foncé, les couleurs correspondant respectivement à un lien ‘positif’ (probabilité jointe plus importante que le cas indépendant) ou un lien ‘négatif’ (probabilité jointe moins importante que le cas indépendant)

ou dans l’autre sens

> mosaicplot(M,main="",las=2,shade=TRUE)

mais avec la même conclusion que précédemment: il y a de fortes valeurs bleues sur la diagonale.

Autrement dit, les couples sont relativement homogènes en terme de professions.

En analyse des correspondance, on va regarder notre tableau de contingence, en ligne ou en colonne. Par exemple, on peut définir les profils lignes, qui sont des vecteurs de probabilité \boldsymbol{L}_i=\left(\frac{p_{i1}}{p_{i\cdot}},\cdots,\frac{p_{iJ}}{p_{i\cdot}}\right)\in\mathbb{R}^J

> N=M 
> L=N/apply(N,1,sum)

En notant \boldsymbol{D}_I=\text{diag}(p_{1\cdot},\cdots,p_{I\cdot}), on peut écrire \boldsymbol{L}=\boldsymbol{D}_I^{-1}\boldsymbol{N}Le barycentre de nos vecteurs de lignes est ici\overline{\boldsymbol{L}}=\left(p_{\cdot 1},\cdots,p_{\cdot J}\right)\in\mathbb{R}^J

Là encore, en notant \boldsymbol{D}_J=\text{diag}(p_{\cdot 1},\cdots,p_{\cdot J}), on peut écrire ce barycentre de manière matricielle, \overline{\boldsymbol{L}}=\mathbb{I}_{IJ}\boldsymbol{D}_J.\boldsymbol{L}_{0,i}=\boldsymbol{L}_i-\overline{\boldsymbol{L}}

> Lbar=apply(N,2,sum)/sum(N)
> matL0=t(t(L)-Lbar)

A chaque point, on a associé la fréquence (relative) comme poids, p_{i\cdot}, ce qui correspond à utiliser la matrice \boldsymbol{D}_I. Pour mesurer la distance entre deux points, on va pondérer la distance euclidienne par l’inverse des des probabilités, p_{\cdot j}, ce qui revient à utiliser la matrice \boldsymbol{D}_J^{-1}. La distance entre deux lignes estd(\boldsymbol{L}_{i_1},\boldsymbol{L}_{i_2})=\sum_{j=1}^J\frac{1}{p_{\cdot j}}\left(\frac{p_{i_1j}}{p_{i_1\cdot}}-\frac{p_{i_2j}}{p_{i_2\cdot}}\right)^2

On va alors faire une analyse en composantes principales avec ces différents poids. D’un point de vue matriciel, on va alors l’analyse spectrale de\boldsymbol{H}=\boldsymbol{D}_J^{-1/2}\boldsymbol{L}_0^{\text{T}}\boldsymbol{D}_I\boldsymbol{L}_0\boldsymbol{D}_J^{-1/2}

En particulier, on note \boldsymbol{U}_1,\cdots,\boldsymbol{U}_k les vecteurs propres, et on défini les composantes principales\boldsymbol{C}=\boldsymbol{L}_0\boldsymbol{D}_J^{-1/2}\boldsymbol{U}

La projection sur les deux premières composantes des lignes donne ici

> library(FactoMineR)
> acpL=PCA(matL0,scale.unit=FALSE,
+          row.w=(apply(N,1,sum)),
+          col.w=1/(apply(N,2,sum)))

L’idée est de visualiser le nuage des individus correspondants aux lignes. Dans un second temps, on va faire exactement pareil, mais sur les colonnes\boldsymbol{C}_j=\left(\frac{p_{1j}}{p_{\cdot j}},\cdots,\frac{p_{jI}}{p_{\cdot j}}\right)\in\mathbb{R}^I

> C=t(t(N)/apply(N,2,sum))

Le barycentre est ici\overline{\boldsymbol{C}}=\left(p_{1\cdot},\cdots,p_{I\cdot}\right)\in\mathbb{R}^I

> Cbar=apply(N,1,sum)/sum(N)
> matC0=C-Cbar

et on peut alors faire une analyse en composante principale

> acpC=PCA(t(matC0),scale.unit=FALSE,
+          row.w=(apply(N,2,sum)),
+          col.w=1/(apply(N,1,sum)))

ce qui donne, en regardant le nuage des individus,

La magie de l’analyse des correspondances est qu’on ‘peut’ représenter les deux projections des individus sur le même plan,

> matC=acpC$ind$coord
> matL=acpL$ind$coord
> plot(matC[,1:2],col="red",xlim=c(-.002,.015))
> text(matC[,1:2],rownames(matC),col="red",pos=4)
> points(matL[,1:2],col="blue")
> text(matL[,1:2],rownames(matL),col="blue")

C’est exactement ce que fait la fonction

> afc=CA(N)

Note: en réalité, si on regarde les coordonnées des lignes par ACP on obtient

acpL$ind$coord
                    Dim.1     Dim.2     Dim.3     Dim.4     Dim.5
Agriculteur (M) -0.000056 -0.000414  0.002940  0.000150  0.000011
Artisan (M)     -0.000014  0.000152 -0.000057  0.000323  0.001279
Cadres (M)      -0.000262  0.001734 -0.000015  0.000359 -0.000219
Prof_Int (M)    -0.000194  0.000450 -0.000003 -0.000504  0.000041
Employe (M)     -0.000104 -0.000317 -0.000083 -0.000188  0.000011
Ouvrier (M)     -0.000052 -0.000764 -0.000080  0.000133 -0.000141
Retraite (M)     0.007771  0.000502 -0.000001 -0.000089 -0.000065
Inactif (M)     -0.000018 -0.000150 -0.000163  0.000751 -0.000007
Inconnu(M)       0.000261 -0.000492 -0.000554  0.000398  0.000648

alors que

CA(M, graph = FALSE)$row$coord
                 Dim 1  Dim 2  Dim 3  Dim 4  Dim 5
Agriculteur (M) -0.028 -0.209  1.481  0.076  0.005
Artisan (M)     -0.007  0.077 -0.029  0.163  0.644
Cadres (M)      -0.132  0.873 -0.007  0.181 -0.110
Prof_Int (M)    -0.098  0.227 -0.001 -0.254  0.020
Employe (M)     -0.053 -0.160 -0.042 -0.095  0.006
Ouvrier (M)     -0.026 -0.385 -0.040  0.067 -0.071
Retraite (M)     3.914  0.253 -0.001 -0.045 -0.033
Inactif (M)     -0.009 -0.075 -0.082  0.378 -0.004
Inconnu(M)       0.132 -0.248 -0.279  0.201  0.327

ce qui donne un ratio constant,

acpL$ind$coord/CA(M, graph = FALSE)$row$coord
                      Dim.1       Dim.2       Dim.3       Dim.4       Dim.5
Agriculteur (M) 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Artisan (M)     0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Cadres (M)      0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Prof_Int (M)    0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Employe (M)     0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Ouvrier (M)     0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Retraite (M)    0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Inactif (M)     0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182
Inconnu(M)      0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182 0.001985182

qui correspond à 1/\sqrt{n}

1/sqrt(sum(M))
[1] 0.001985182