Ce soir, @imparibus reprenait  une information du Point (ici). “Un sondage de l’institut Sensus diffusé jeudi crédite Mme Rousseff, 62 ans, de 46,8% des intentions de vote et José Serra, 68 ans, de 42,7% […]  la marge d’erreur du sondage est de 2,2%, a expliqué un reponsable de l’enquête [… ce qui donne une ] grande probabilité que les 2 candidats soient à égalité”. @imparibus affirmait que c’était faux,@adelaigue me demandant mon avis…
Bon, je suis flâté qu’Alexandre m’appelle à l’aide, mais je suis plutôt nul en sondage… Bref, pour faire une réponse intelligente et détaillée, il me faudra un peu plus de place que ce que ne me propose Twitter…
Soit  la probabilité de voter pour R, et  la probabilité de voter pour S. On note  la probabilité de voter pour un autre candidat, .
Si  et  sont les fréquences empiriques obtenues à partir de  personnes sondées, rappelons que

et

Aussi,

Si on veut tester  (hypothèse ) car c’est finalement de ça qu’on parle ici, l’idée la plus naturelle serait d’introduire la statistique de test d’égalité des proportions,

qui suit – à la louche – une loi normale sous .
C’est bien joli tout ça, mais je ne connais pas  ! En fait, on va essayer de s’aider de la petite phrase “la marge d’erreur du sondage est de 2,2%”
Alors si j’en crois le site d’ipsos (ici),  cette marge d’erreur correspond à 2000 personnes interrogées…
Or ici  =46% et et  = 42.7%, avec

soit,

Si on compare à une loi normale, on a 2.6% de chances d’atteindre une telle valeur…
On peut aussi faire un test du chi-deux. En cas d’égalité des proportions, on devrait avoir =44.75%
et si on utilise un test du chi-deux pour mesurer la distance entre les deux lois multinomiale (sous  et sous H1), on a comme distance du chi-deux

soit ici =3.71 avec 2000 personnes interrogées. Sous ,  devrait suivre une loi du chi-deux à 1 degré de liberté, ce qui donne une p-value de 5.26%.
On peut aussi tenter un test de rapport de vraisemblance. Sous , on a

alors que sous 

(en utilisant la forme des lois multinomiales). Le rapport des vraisemblances s’écrit alors

soit ici = 10.436. La statistique de test est ici qui doit suivre, sous  une loi du chi-deux à un degré de liberté. La p-value associée est alors de l’ordre de 0,1%….
Bon, il semble qu’on puisse raffiner un peu les tests, en reprenant les idées de Nass (1959) et de Hoel (1938) – mais qui sont intéressant si on a peu de données (ce qui n’est pas vraiment le cas ici).
Bref, j’aurais tendance à être plutôt d’accord avec @imparibus. Maintenant, je suis nul en sondage, donc si quelqu’un a d’autres idées, je suis preneur ! Surtout que j’ai peut-être fait quelques erreurs de calculs ici ou là….