Petit résumé du débat du matin avec mon fils …
“– papa, papa j’ai trouvé trois bouts de bois,
– ben… fais une figure géométrique avec *
– ça marche pas !
– comment ça, “ça marche pas” ?!?
– j’arrive pas à faire un triangle !
– … hein ? attends, j’arrive”
genre “mais qu’est-ce que tu racontes ? t’es pas réveillé ce matin ou quoi ?“. Bref, après avoir vu qu’effectivement ça n’était pas possible (un des bouts de bois était beaucoup plus long que les deux autres),  je me suis demandé si mon fils n’avait vraiment pas eu de chance… ou si au contraire, c’était plutôt “normal” de ne pas pouvoir faire un triangle à partir de trois bouts de bois….
Soient ,  et  les longueurs des trois morceaux de bois (oui, une fois le café avalé, je peux prendre un peu de temps pour formaliser). Ces trois bouts de bois forment  un triangle si et seulement si la somme des deux plus petits est plus grande que le plus grand. Autrement dit, si je m’intéresse aux statistiques d’ordre

il faut que

Pour faire simple, on supposera que les  suivent une loi uniforme sur [0,1].

• Approche par simulation

Par simulation, ça ne devrait pas être trop compliqué d’avoir un ordre de grandeur de la probabilité

Le code est tout simplement

> n=1000000
> U=matrix(runif(3*n),n,3)
> U1=apply(U,1,max)
> U2=apply(U,1,sum)-U1
> U3=U1<U2
> mean(U3)
[1] 0.501067

Finalement la probabilité semble être proche de 1/2… ça doit pouvoir se montrer….

• Approche par des calculs de proba

Il doit être possible de calculer directement

ou bien, on peut aussi noter que

ce qui ne fait intervenir que deux variables (certes, toujours non indépendantes, mais on devrait s’en sortir malgré tout): le maximum des trois variables, et la somme des trois variables. On cherche alors

Je pense qu’il est plus simple de travailler sur la première expression, en notant qu’il existe 6 permutations de ces 3 valeurs, et cette probabilité s’écrit simplement

(qui  est un des 6 arrangements possibles, tous équiprobables). Cette probabilité est alors tout simplement, compte tenu de l’indépendance des tailles des bouts de bois, ce qui est peut être une hypothèse un peu forte, certes,

qui doit pouvoir se réécrire

L’intégrale au centre se réécrit alors simplement, à condition de savoir comment  se positionne par rapport à 1. Deux cas assez différents sont à distinguer: comme on veut , soit , soit . Autrement dit on écrira l’ensemble sur lequel on calcule la première intégrale comme la réunion de deux ensembles (disjoints),

et

Sur le premier ensemble,

et sur le second

Bref, l’intégrale se retrouve sous la forme de deux intégrales

et

La première intégrale correspond à un cas où  est petit, ou plutôt . La seconde intégrale est un cas où  est grand, ou plutôt . Bref, la première intégrale peut s’écrire

et la seconde

(on aura en mémoire le facteur 6, que je ne mes pas pour alléger un peu). Bref, on a deux fois la même intégrale, qui s’écrire (dans le second cas à une translation des indices près)

Notre probabilité est alors 6 fois le double de cette intégrale, soit

Bon, finalement c’est beaucoup plus improbable de pouvoir construire un triangle que je ne le croyais au départ…. Damned ! Moralité, mieux vaut ne pas trop réfléchir avant d’avoir pris un café…. Et comme “papa” est très fort en mauvaise foi, “papa” expliquera que si la longueur des bois de bois n’était pas distribuée suivant une loi uniforme, l’intuition initiale n’était pas complètement stupide… Non mais !
* pour ma défense, c’était ça ou la révision de la table de multiplication de 5… en gros, “papa a pas encore pris son café, c’est pas le moment“.