Pour répondre à une question de Laurence (qui voulait que je réexplique la formule de Bayes), je voulais faire une digression par un exemple amusant, emprunté à Daniel Kahnmann et Amos Tversky. Mais tout d’abord revenons à la formule de Bayes, qui nous dit que la fonction

est une mesure de probabilité,

que l’on appellera probabilité conditionnelle. Avec cet outils, on peut essayer de résoudre le problème suivant

La question est alors

Daniel Kahnmann et Amos Tversky ont présenté ce problème à beaucoup d’étudiants, et comme ils le notent

Qu’en est-il ? Comme toujours, un peu de formalisme. La couleur C du taxi prend deux valeurs, Bleue (B) ou Vert (G). Quant au témoin (W), il peut être correct (C) ou parfois se tromper (F). Les informations dont on dispose sont

et

(pour la couleur des taxis) et pour le fait de se tromper

et

D’après la formule de Bayes

On peut réécrire la première relation

et en faisant pareil pour la seconde, on en déduit

donc finalement le rapport des probabilités d’avoir un taxi bleu, ou vert, s’écrit

Comme on sait que on en déduit

On notera que malgré notre avis d’expert, la probabilité que la voiture soit bleue est toujours plus grande que la probabilité que la voiture soit verte. Même avec une faible probabilité de se tromper (15%) on ne lui accorde guère de crédit… Quel est le crédit que l’on doit accorder à un expert ? Les experts n’ont-il pas tendance à sur-estimer leurs connaissances… C’est un peu ce que je lisais dans l’article d’Eric Van den Steen, Overconfidence by Bayesian-Rational Agents [à suivre]