Petit retour sur les modèles de comptage, avec la digression sur les GLM, avec les modèles permettant d’avoir de la surdispersion (théoriquement impossible dans un modèle de Poisson, mais plus réaliste compte tenu des particularités des données d’assurance). Les slides sont en ligne.
Tag Archives: binomiale négative
Collectionner les Figurines Lego
Tous ceux qui ont des enfants – ou qui jouent encore au Lego – le savent : régulièrement, Lego sort des séries de figurines, vendus en sachets individuels hermétiques, un peu comme les anciennes cartes à jouer. On est à la saison 15, et il y a 16 figurines par séries,
D’ordinaire, les enfants réclament un paquet, quand on va dans un magasin de jeux (genre pour acheter un cadeau pour un anniversaire) mais là, ma fille les a réclamé tous.
Bon, après le moment où je ris dans ma barbe, j’ai quand même fini par me demander combien ça pourrait coûter si on achetait des paquets, de manière à récupérer les 16 figurines.
La bonne stratégie pour faire le calcul me semble d’ordonner les personnage par ordre d’apparition, et de modéliser le nombre de paquets achetés entre deux premières apparitions, comme indiqué sur le dessin ci-dessous
Si désigne le nombre total de paquets à acheter, on note
le nombre de paquets à acheter, entre l’apparition de la (
)ème nouvelle figurine, et la
ème (avec la convention que
vaut 1, i.e. à l’achat du premier paquet, on a notre première figurine), on a
On notera que, si 
désigne la loi géométrique,
et à partir de là, les calculs sont simples, puisque
soit (par linéarité de l’espérance)
ou encore
> sum(16/(1:16)) [1] 54.09166
Pour ceux qui ont oublié leur calculatrice, on peut se souvenir que
> log(16)*16 [1] 44.36142
qui diffère du résultat numérique car il manquait la constante d’Euler
i.e.
Numériquement, on obtient, en prenant pour 0.57721 (cf Google)
> (log(16)+ 0.57721)*16 [1] 53.59678
Mais je m’écarte du sujet… à 3€, il faut débourser, en moyenne, 162€ pour avoir les 16 personnages, soit plus de 10€ (en moyenne) par personnage !
> sum(16/(1:16))*3 [1] 162.275
On est ici au même prix que l’hotel Lego friends (oui, c’est une demande récurrente)
Par simulation, on peut confirmer cet ordre de grandeur (avec ici un million de simulation de la variable),
> rpaquet=function(i) sum(1+rgeom(16,prob=(1:16)/16)) > S=unlist(lapply(1:1e6,rpaquet)) > mean(3*S) [1] 162.1709
mais surtout, on peut avoir des quantiles, par exemple
> median(S)*3 [1] 150
après avoir déboursé 150 euros, il y a 50% de chances que l’on ait déjà toutes les figurines.
> quantile(S,.9)*3 90% 237
Et il y a 1 chance sur 10 pour qu’on dépasse les 237€. Mine de rien, pour 16 petites figurines, on dépasse là le prix du Falcon Millenium,
Je pense que les enfants ne sont pas prêt que je leur rachète des petites figurines !
Actuariat de l’Assurance Non-Vie #5
Pour le quatrième cours d’actuariat de l’assurance non-vie à l’ENSAE, la semaine prochaine, on abordera la notion de sur-dispersion dans les modèles de comptage. Les slides sont en ligne (la version pdf téléchargeable est plus complète que celle sur slideshare)
Sommer des variables binomiales négatives
Il existe trois grandes familles de lois utilisées pour modéliser les variables de comptage,
- la loi binomiale,
- la loi de Poisson,
- la loi binomiale négative,
Ces trois lois sont les trois dans la famille de Sundt (ici), au sens où
En plus ces trois lois sont dans la famille exponentielle (et peuvent servir en économétrie via les GLM). 
Pour la loi binomiale négative, il existe des dizaines de manières de l’écrire. On peut remonter à Blaise Pascal en 1679 pour sa première utilisation. Pour reprendre la présentation de Georges Polya dans le contexte des urnes, on a des boules blanches et noires dans une urne, et on fait des tirages avec remise. Il y a une proportion p de boules noires. Le nombre de boules blanches que l’on a tiré avant de tirer la 
ième boule noire suit une loi binomiale négative. Mais ça ne marche que si est un entier. On pourra envisager une écriture plus générale par la suite.
On retiendra aussi l’approche de Greenwood et Yule (1920), présentant la loi binomiale négative comme un mélange de lois de Poisson. Supposons que 
suive une loi de Poisson 
et que 
suit une loi Gamma, de densité
Alors la loin (non conditionnelle) de X est une loi binomiale négative,
L’interprétation via les lois mélanges est assez élégante (j’avais parlé de la surdispersion de la loi de Poisson en pratique ici), et notons d’ailleurs que Greenwood et Yule avaient parlé de “accident proneness” pour décrire la loi sous cette forme
Bref, la loi binomiale négative de paramètres 
et 
a pour loi de probabilité
.Remarque: un cas particulier de la loi binomiale négative est la loi ditegéométrique, obtenue quand 
. J’ai évoqué cette loi ici, afin d’expliquer la notion de période de retour (et l’interprétation d’un probabilité en terme de durée). Feller avait d’ailleur noté que la loi binomiale négative pouvait être vue comme une convolution de lois géométriques.
Mais je m’écarte du sujet…. J’ai reçu un mail cet après midi me demandant (je vire certaines parties pour garder la question) “la loi binomiale négative est elle additive ?”. Je comprends cette question comme la stabilité de la famille de loi par sommation: la somme de variables binomiales négatives (indépendantes) est-elle encore une loi binomiale négative ?
Notons que la loi binomiale négative est indéfiniment divisible. Mais il existe un autre résultat sur l’additivité qui nous sera encore plus utile. Liiders a montré en 1934, puis Quenouille en 1949, que la loi binomiale négative est un loi Poisson composée, lorsque les sauts sont des variables logarithmiques indépendantes (ce qui a aussi été appelé processus de Arfwedson).
. J’ai évoqué cette loi ici, afin d’expliquer la notion de période de retour (et l’interprétation d’un probabilité en terme de durée). Feller avait d’ailleur noté que la loi binomiale négative pouvait être vue comme une convolution de lois géométriques.Mais je m’écarte du sujet…. J’ai reçu un mail cet après midi me demandant (je vire certaines parties pour garder la question) “la loi binomiale négative est elle additive ?”. Je comprends cette question comme la stabilité de la famille de loi par sommation: la somme de variables binomiales négatives (indépendantes) est-elle encore une loi binomiale négative ?
Notons que la loi binomiale négative est indéfiniment divisible. Mais il existe un autre résultat sur l’additivité qui nous sera encore plus utile. Liiders a montré en 1934, puis Quenouille en 1949, que la loi binomiale négative est un loi Poisson composée, lorsque les sauts sont des variables logarithmiques indépendantes (ce qui a aussi été appelé processus de Arfwedson).
où les 
sont i.i.d. de loi
sont i.i.d. de loi
La fonction génératrice est alors
où 
correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.
En utilisant ce résultat, on peut en déduire que si deux variables ont le même paramètre c’est à dire la même probabilité sous jacente, alors la loi de la somme (de deux variables indépendantes) est toujours une loi binomiale négative, dont le paramètre sera lié à la somme de deux lois de Poisson indépendantes: ça sera donc la somme des deux autres paramètres. Aussi, si
correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.En utilisant ce résultat, on peut en déduire que si deux variables ont le même paramètre
c’est à dire la même probabilité sous jacente, alors la loi de la somme (de deux variables indépendantes) est toujours une loi binomiale négative, dont le paramètre sera lié à la somme de deux lois de Poisson indépendantes: ça sera donc la somme des deux autres paramètres. Aussi, si
et 
sont deux variables indépendantes, alors
Une autre solution est de faire les calculs…(si quelqu’un veut s’y coller, je suis preneur). Enfin, si on se place dans le cas où les paramètres 
sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.
Remarque: on doit également obtenir la stabilité par sommation en relachant l’hypothèse d’indépendance, avec des l’indépendance conditionnellement, à condition que le paramètre de mélange (permettant d’obtenir l’indépendance conditionnelle) coïncide avec le paramètre de mélange permettant d’écrire la loi binomiale négative comme un mélange Poisonnien.
Greenwood, M., and Yule, G. U. (1920). An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings with particular reference to the occurrence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 83, 255-279.
Quenouille, M. H. (1949). A relation between the logarithmic, Poisson, and negative binomial series, Biometrics, 5, 162- 164.
sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.Remarque: on doit également obtenir la stabilité par sommation en relachant l’hypothèse d’indépendance, avec des l’indépendance conditionnellement, à condition que le paramètre de mélange (permettant d’obtenir l’indépendance conditionnelle) coïncide avec le paramètre de mélange permettant d’écrire la loi binomiale négative comme un mélange Poisonnien.
Greenwood, M., and Yule, G. U. (1920). An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings with particular reference to the occurrence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 83, 255-279.
Quenouille, M. H. (1949). A relation between the logarithmic, Poisson, and negative binomial series, Biometrics, 5, 162- 164.