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Concilier risques collectifs et décisions individuelles

cet article a été co-écrit avec Laurence Barry.

Les débuts de la pandémie de SARS-CoV-2 (ou COVID-19) ont vu se multiplier les appels à la « responsabilité individuelle », en commençant par de fortes demandes (voire une obligation dans certains pays, dont la France) à rester chez soi autant que possible, au début du printemps 2020, avant qu’il ne soit obligatoire de porter un masque dans les lieux publics (souvent fermés) au cours de l’été. En paraphrasant Coluche, « dire qu’il suffirait que les gens restent chez eux pour qu’on puisse sortir… ». Cet appel à la responsabilité de chacun est faite au nom de tous et pour le bien de tous, venant symboliser cette solidarité toute particulière que nous rappelle la pandémie : le risque que je choisis de courir ne concerne pas seulement ma personne mais constitue aussi un risque pour ceux qui m’entourent. Pour le formuler en terme probabiliste, McKendrick (1926) affirmait « la probabilité d’occurrence augmente avec le nombre de cas existants ». Assez intuitive a priori, cette conception de la responsabilité individuelle va en réalité à l’encontre de la conception classique en économie : l’individu rationnel (et responsable) fait des choix le concernant, et ne concernant que lui. Le bien collectif se déduit par sommation des utilités individuelles, indépendantes les unes des autres. Seulement voilà ; avec l’épidémie se crée une interdépendance des utilités qui fait que le bien-être d’Untel, qui choisit de ne pas porter de masque, peut nuire à la santé et donc l’utilité de beaucoup d’autres personnes. Comment penser alors en termes économiques cette « responsabilité individuelle » dans le contexte de l’épidémie ?

Des préférences individuelles au bien-être collectif

L’hypothèse centrale de la théorie économique du comportement est que chacun est capable de classer, par ordre de préférence, toutes sortes d’alternatives qui lui sont proposées. Et si je dois choisir une parmi deux, je choisirai systématiquement celle que je préfère. Comme le montre Mas-Colell et al. (1995), une simple hypothèse de continuité des préférences se traduit alors par l’existence d’une fonction d’utilité individuelles traduisant ces préférences. Cette approche pourrait suffire dans l’état de nature de Jean-Jacques Rousseau, lorsque l’homme est imaginé vivant en solitaire. Mais en société il convient d’être plus réaliste, et de tenir compte des interactions entre les individus. Organiser la vie en société, en favorisant la coopération et en cherchant à assurer un bien-être collectif, ne peut en effet se faire en se contentant de comprendre le bien-être individuel. Pour reprendre un exemple de Jean-Jacques Rousseau, plusieurs chasseurs ont intérêt à collaborer pour traquer un cerf, car aucun chasseur ne saurait y arriver seul[i] (Rousseau, 1755). La première difficulté est donc d’assurer une collaboration pour la chasse, mais aussi et surtout, si un cerf est tué, se pose le problème de la répartition de la viande.

Tout au long du XVIIIème siècle Francis Hutcheson et Adam Smith en Angleterre, Jean-Charles de Borda et Nicolas de Condorcet ont tenté de formaliser cette notion de « bien-être collectif », montrant qu’il existait malheureusement de très nombreux paradoxes, en particulier quand il s’agit du bien être d’une nation. A la même époque, Kant formalise l’impératif catégorique : « Agis uniquement d’après la maxime qui fait que tu puisses vouloir en même temps qu’elle devienne une loi universelle ». Autrement dit, avant de prendre une décision pour agir, il convient de se demander ce qui se passerait si tout le monde agissait de cette manière. La rationalité de l’individu se doit d’être collective, et de prendre en compte l’humanité dans son ensemble. Dans sa lecture de Kant, Arendt (1991) met en avant le sensus communis, ce sens commun à tous les hommes et qui rattache le jugement de chacun « à la raison humaine tout entière ». Penser par soi-même devient alors « penser en se mettant à la place de tout autre, dans ce qu’elle appelle une « mentalité élargie ».

Tocqueville quant à lui renverse les termes de l’équation. Dans les pays démocratiques selon lui, on ne peut plus mettre en avant la valeur du sacrifice de soi : il faut pouvoir démontrer que « l’homme en servant ses semblables se sert lui-même (…) Aux Etats-Unis on ne dit presque point que la vertu est belle. On dit qu’elle est utile ». Cela implique cependant de « petits sacrifices », consentis car ils se révèlent bénéfiques pour celui qui les consent. Tocqueville (1981) exhorte alors ses lecteurs à agir dans leur intérêt « bien entendu », c’est-à-dire en tenant compte de l’intérêt de tous.

Cette rationalité collective est en réalité une pratique habituelle au sein de petits groupes, comme la famille. Il n’est pas rare, en effet, de mettre de côté son intérêt personnel pour le bien de la famille. Mais elle est plus complexe à mettre en œuvre au sein d’un groupe plus important, plus hétérogène, voire plus abstrait.

Le passager clandestin contre les intérêts communs

Une vision résolument optimiste consisterait en effet à croire que si tous les membres d’un groupe ont des intérêts communs, alors chacun va agir pour les atteindre. Un exemple bien connu est celui du réchauffement climatique : collectivement, l’intérêt de tous est la réduction des gaz à effet de serre au niveau mondial ; mais individuellement, chaque pays a la tentation de retarder la mise en place de mesures qui pourraient pénaliser son économie, en espérant toutefois bénéficier d’actions précoces de pays voisins. C’est le principe du passager clandestin : il y aurait un bénéfice collectif à tirer d’une coopération, mais les individus ont davantage d’incitations à chercher à profiter de la « coopération » des autres. En termes économiques, ils cherchent à avoir une prestation sans en assumer les coûts.

Ce problème, largement étudié dans Olson (1965), est classique pour la majorité des « biens publics[ii] » qui satisfont deux caractéristiques : être non-rival et non-excluable, c’est-à-dire dont la consommation par les uns ne diminue pas la quantité disponible pour les autres et dont on ne peut par ailleurs restreindre l’accès. Axelrod & Hamilton (1981) expliquaient que la coopération nécessaire à la promotion de biens communs ne dépendait pas forcément d’une forme d’altruisme, mais plus simplement d’une réciprocité entre les agents, basée sur une coopération conditionnelle : ils coopèrent s’ils pensent que les autres vont faire de même. Plusieurs études ont montré que la majorité des gens fonctionnent de la sorte, mais leur comportement est très sensible à leurs croyances, d’où l’importance de maintenir leurs convictions en matière d’égalité (ou d’égalitarisme) : tout le monde doit coopérer, personne ne doit bénéficier d’un traitement de faveur. Fehr & Fischbacher (2004) ont ainsi montré qu’il suffit d’une petite proportion de passagers clandestins pour provoquer une rupture[iii] de la coopération. Ceci explique probablement les diverses normes injonctives autour de la « distanciation sociale », assurant qu’une personne qui resquille soit sanctionnée de manière exemplaire. En effet, comme le soulignent Brito et al. (1991) à propos des vaccins, même si l’obligation de vacciner est sous-optimale, elle peut être nécessaire si la proportion de gens prêts à se porter volontaires est en dessous du seuil nécessaire à l’immunité de la population dans son ensemble.

Le cas de la vaccination

La vaccination est en fait un exemple presque parfait de ce problème de passager clandestin, via la notion d’immunité de groupe. Plus le taux de personnes immunisées augmente, dans un groupe, plus le risque pour une personne non-immunisée de rencontrer une personne infectieuse diminue, et au-delà d’un certain seuil (de l’ordre de 80% pour la plupart des maladies, comme la coqueluche, la variole, la polio, etc), il devient impossible pour la maladie de se maintenir dans la population et elle finit par disparaître. Pour les maladies contagieuses bénéficiant d’un vaccin, au niveau collectif, il est souhaitable que 80% de la population soit vaccinée ; mais si la vaccination a des effets secondaires conséquents, il peut être rationnel au niveau individuel de ne pas souhaiter être vacciné.

Deux aspects importants entrent alors en jeu : la perception des risques, et la croyance dans le comportement des risques des autres membres de la communauté. Avoir une minorité de passagers clandestins (disons moins de 20%), parce qu’ils pensent les risques trop grands, n’est pas problématique. Mais si la perception des risques change, on peut observer la rupture de l’équilibre, et l’immunité de groupe n’existe plus. Aussi, la confiance dans l’autorité est essentielle, comme le rappelait Charpentier (2020).

L’immunité collective fonctionne grâce à un contrat social implicite : ceux qui sont médicalement capables de se faire vacciner doivent se faire vacciner. La contrepartie est que les personnes que ne souhaitent pas respecter ce contrat devraient s’engager à ce que leurs actions n’entraînent pas de coût supplémentaire pour ceux qui le respectent, en particulier en s’imposant une forte distanciation sociale, en évitant les lieux publics, de manière à ne pas contaminer des personnes ayant de faibles défenses immunitaires, et qui sont, elles, dans l’obligation de compter sur l’immunité collective.

Les pandémies et leurs réponses individuelles

Comme le disait Daniel Kahneman dans Konnikova (2020), « people, certainly including myself, don’t seem to be able to think straight about exponential growth. What we see today are infections that occurred 2 or 3 weeks ago and the deaths today are people who got infected 4 or 5 weeks ago. All of this is I think beyond intuitive human comprehension ». Le fait d’adopter une attitude de passager clandestin et de ne pas respecter les contraintes de distanciation sociale tient peut-être simplement du fait qu’on ne comprend simplement pas ce qu’est une croissance exponentielle : on ne mesure pas vraiment l’impact de sa propre contagion sur le groupe dans son ensemble.

Ce point a été montré dans Lammers et al. (2020) à partir de l’interprétation du nombre de reproduction de base R0 des modèles épidémiologiques. Le  Rcorrespond au nombre moyen de personnes qu’une personne contagieuse peut infecter : il constitue ainsi une visualisation de la contagiosité d’un individu sur son entourage. Avec un R0 de 1, la pandémie est contrôlée, et la croissance est linéaire. Mais s’il excède 1, la croissance est exponentielle. Avec un R0 de 1.5, 4 personnes vont en contaminer 6 autres, qui à leur tour vont en contaminer 9 autres, etc. En une quinzaine d’itérations, 1 750 personnes seront contaminées. Avec un R0 de 2, ces 4 individus auront contaminé plus de 130 000 personnes (soit 75 fois plus), en une quinzaine d’itération ! Autrement dit, alors qu’au niveau de l’individu spécifique l’augmentation est à peine perceptible (il contamine 2 personnes au lieu de 1.5 en moyenne), l’effet collectif est, lui, extrêmement important et difficilement concevable.

Figure 1 : nombre de personnes contaminées après 1, 3, 5, 7, 9 itérations, pour différentes valeurs de R0 (entre 1.8 en haut à gauche et 2.4 en bas à droite).

De nombreuses études en science du comportement ont montré que nous sommes davantage sensibilisés face à une seule personne identifiable qu’en étant noyé sur une avalanche de chiffres. Ce serait alors par l’exemple que l’on pourrait se convaincre mutuellement de coopérer pour le bien commun. Le port du masque facial est intéressant, car si des sondages ont montré qu’une majorité des gens portaient un masque pour se protéger, les masques ont surtout pour effet de protéger les autres personnes d’une transmission asymptomatique du SARS-CoV-2. Il présente aussi l’avantage de rendre visible la nouvelle norme sociale et d’impliquer activement tous les membres de la communauté. En devenant un symbole de la solidarité, le port du masque engage ainsi la coopération de chacun. A l’inverse, les photos de personnes à la plage ou dans les parcs publics qui ne respectent pas la distanciation sociale ont probablement eu un impact préjudiciable en termes de changement de comportement.

Les débats autour des applications de traçage sont un autre exemple frappant de la difficulté de faire accepter la coopération. Comme pour le masque, elles sont présentées le plus souvent comme permettant d’être alerté si l’on a été en contact avec une personne contaminée, donc comme un moyen de se protéger soi-même ; beaucoup plus rarement est mise avant la possibilité de prévenir autrui de sa propre contamination, parfois un inconnu qu’on ne pourra jamais alerter sans l’application. De plus, alors qu’elles étaient recommandées par de nombreux épidémiologistes (di Domenico et al. 2020; Ferguson et al. 2020; Ferretti et al. 2020), elles ont été dénoncées soit parce qu’elles porteraient atteinte à la liberté individuelle, soit parce qu’elles présenteraient des dangers de détournement. Dans une importante contribution, des experts en cryptographie ont ainsi tenté d’alerter l’opinion publique sur les possibles usages malveillants de ces applications ; au travers d’une quinzaine d’exemples qui cherchent à marquer l’imagination, ce n’est plus le passager clandestin qui est mis en avant pour saper la coopération mais l’individu franchement malveillant qui chercherait à nuire à ses voisins (Vuillot et al. 2020).

De la place de la liberté individuelle

Dans le contexte de la vaccination, et plus récemment sur le port du masque, l’argument de la liberté de choix est souvent avancé par les opposants, laissant croire que l’exercice de la liberté se faisait sans contraintes. Comme le note Frankfurt (2003), la plupart des religions limite le comportement d’une personne dans la mesure où elle agit en accord avec les préceptes de son Dieu ou de son église. Dans un contexte plus laïque, Jean-Jacques Rousseau affirmait que « l’obéissance à la loi qu’on s’est prescrite est liberté ». Car le concept de liberté s’accompagne toujours de la notion de responsabilité : je suis libre lorsque deux conditions sont réunies. Premièrement, j’ai la capacité d’agir (ou de ne pas agir) d’une manière particulière, et deuxièmement, j’accepte la responsabilité de mes actes. Quand je refuse de porter un masque en période de pandémie, j’accepte la première condition mais rejette la seconde. Autrement dit, j’affirme mon droit d’agir, ou de ne pas agir, mais je le fais de manière à refuser d’accepter toute responsabilité pour les conséquences que mes actions (ou inactions) peuvent entraîner. Comme l’affirmait Friedrich Hayek, « la liberté ne signifie pas seulement qu’une personne a le droit de choisir et qu’elle porte le fardeau de ses choix, mais aussi qu’elle doit assumer les conséquences de ses actes, pour lesquels elle sera félicitée ou blâmée. Liberté et responsabilité sont indissociables ».

L’assurance comme réponse collective ?

Dans le contexte de la santé, Wikler (2002) affirmait « if people know they are taking risks but accept them as the price of pursuing goals to which they assign higher priority, then it is not the business of public health to insist that health be valued above all ». Si ce précepte peut valoir pour l’assurance santé classique, il est plus difficile à appliquer à l’épidémie ; comme expliqué plus haut, dans les maladies contagieuses le choix individuel de prendre un risque se répercute sur le reste de la collectivité. De plus, la logique assurantielle de couverture de l’aléa grâce à la mutualisation fonctionne mal dans le cadre de l’épidémie ; on est dans le cas classique d’un risque systémique où les individus et leurs risques ne sont pas indépendants. En réalité, la contagion met en avant une solidarité d’un autre ordre que celle promue par l’assurance, comme le note Barry (2020). Il s’agit d’une interdépendance où le comportement de l’un impacte le risque de l’autre et qui exige, pour être contrôlé, la coopération de tous. Penser collectivement, c’est donc finalement adopter des valeurs de solidarité et de coopération.

Références

Arendt, Hannah (1991). Juger – La Philosophie Politique de Kant. Points. Paris: Seuil.

Axelrod, Robert & Hamilton, William (1981). The Evolution of Cooperation. Science, 211 (4489): 1390–96.

Barry, Laurence (2020). Individu/Collectif : L’épidémiologie à l’épreuve Du Big Data (Ou l’inverse) ? Working Paper # 20. Paris: Chaire PARI.

Brito, Dagobert, Sheshinski Eytan & Intriligator Michael (1991). Externalities and Compulsory Vaccinations. Journal of Public Economics 45, 69–90.

Charpentier, Arthur (2020). De la démarche scientifique en période de crise. Risques, 121.

Costa, Dora et Kahn, Matthew (2003). Civic Engagement and Community Heterogeneity: An Economists Perspective. Perspectives on Politics, 1(1): 103-112.

di Domenico, Laura, Giulia Pullano, Chiara Sabbatini, Pierre-Yves Boelle, and Vittoria Colizza. (2020). Expected Impact of Lockdown in Île-de-France and Possible Exit Strategies. 9. Paris: INSERM.

Fehr, Ernst & Fischbacher, Urs (2004). Social norms and human cooperation. Trends in Cognitive Sciences, 8(4), 185-190.

Ferguson, Neil, D. Laydon, G. Nedjati Gilani, N. Imai, K. Ainslie, M. Baguelin, S. Bhatia, A. Boonyasiri, Z. Cucunuba Perez, G. Cuomo-Dannenburg, A. Dighe, I. Dorigatti, H. Fu, K. Gaythorpe, W. Green, A. Hamlet, W. Hinsley, L. Okell, S. Van Elsland, H. Thompson, R. Verity, E. Volz, H. Wang, Y. Wang, P. Walker, C. Walters, P. Winskill, C. Whittaker, C. Donnelly, S. Riley, & A. Ghani. 2020. Report 9: Impact of Non-Pharmaceutical Interventions (NPIs) to Reduce COVID19 Mortality and Healthcare Demand. Imperial College Report.

Ferretti, Luca, Chris Wymant, Michelle Kendall, Lele Zhao, Anel Nurtay, Lucie Abeler-Dörner, Michael Parker, David Bonsall, & Christophe Fraser. (2020). Quantifying SARS-CoV-2 Transmission Suggests Epidemic Control with Digital Contact Tracing. Science, Vol. 68 #619, 1-8.

Frankfurt, Harry, (2003) Freedom of the Will and a Concept of a Person, in Gary Watson (ed), Free Will, 2nd edition, Oxford University Press,  322-336.

Konnikova, Maria (2020). Why We Underestimated COVID-19. New Yorker, 3 avril 2020,

Lammers, Joris, Crusius, Jan et Gast, Anne (2020). Correcting misperceptions of exponential coronavirus growth increases support for social distancing. PNAS, 117 (28).

Lim, Wooyoung & Zhang, Pengfei (2020). Herd immunity and a vaccination game: An experimental study. PLoS One. 5(5), e0232652.

McKendrick, A. G. (1926). Applications of Mathematics to Medical Problems. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 44, 98–130.

Mas-Colell, Andreu, Whinston, Michael et Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press.

Olson, Mancur (1965). The Logic of Collective Action: Public Goods and the Theory of Groups. Harvard University Press.

Rousseau, Jean-Jacques (1755). Discours sur l’origine et les fondements de l’inégalité parmi les hommes. Garnier Flammarion.

Skyrms, Brian (2004) The Stag Hunt and the Evolution of Social Structure. Cambridge: Cambridge University Press.

Tocqueville, Alexis. (1981). De La Démocratie En Amérique – 2. Flammarion.

Vuillot, Xavier, Anne Bonnetain, Veronique Canteaut, Pierrick Cortier, Lucca Gaudry, Steve Hirschi, Stéphanie Kremer, Gaëtan Lacour, Matthieu Leurent, Léo Lequesne, André Perrin, Emmanuel Schrottenloher, Serge Thomé, and Christophe Vaudenay. (2020). Le Traçage Anonyme, Dangereux Oxymore Analyse de Risques à Destination Des Non-Spécialistes. Https://Risques-Tracage.Fr. Retrieved April 25, 2020 (https://risques-tracage.fr/).

Wikler, Daniel (2002) Personal and social responsibility for health. Ethics & International Affairs, 16, 47-55.

Wolman, Davis (2020). Yes, the Public Can Be Trusted in a Pandemic. Wired, 27 mars 2020,

[i] Comme le rappelle Skyrms (2004), ce dilemme de chasse au cerf est aussi appelé jeu de l’assurance, en théorie des jeux et de choix sociaux.

[ii] On pourrait aussi penser aux « biens communs », qui sont des biens en capacité limité. Le SARS-CoV-2 a montré que le système de santé pouvait être saturé, ce qui en fait dès lors un bien rival.

[iii] Mathématiquement, cette rupture est intéressante car on peut alors voir la vaccination comme un jeu non-linéaire de bien public, comme le fait Lim & Zhang (2020).

Personalization as a promise: Can Big Data change the practice of insurance?

Our recent article, “Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?” with Larence Barry just got published in “Big Data & Society” (but a working paper version is still available online)

The purpose of this paper is to measure the impact of technologies from the Big Bang. data on thehe pricing ofhe products car insurance. The first part describes how the aggregated view buildsuit by statistics enables highlighting invisible regularities at the individual level. Despite a very granular segmentations in automobile insurance, the approach remained classificatory, hypothesizing the risk identity of individuals from the same class. The second part highlights the reversal of big data-induced perspective in the’analysis ofgiven ; awith theur volume and the new algorithms, the aggregate viewpoint is questioned.. The hypothesis of class homogeneity is becoming increasingly difficult to test. maintain, especially since predictive analysis boasts the ability to predict the rs results at the individual level. The third part is studying the’influence of telematics boxes able to import the new pinsurance aradigm automobile. However, a reading of the most recent research articles on a pricing automobile including this new monter that the epistemological leap, at least for now, has not taken place.

Telematics: a revolution ?

Tomorrow morning, Laurence Barry will present some joint work at the Online International Conference in Actuarial science, data science and finance, organised by colleagues in Lyon. The paper, “Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?” is online, as a Working Paper of the PARI chair,

The purpose of this paper is to measure the impact of technologies from the Big Bang. data on thehe pricing ofhe products car insurance. The first part describes how the aggregated view buildsuit by statistics enables highlighting invisible regularities at the individual level. Despite a very granular segmentations in automobile insurance, the approach remained classificatory, hypothesizing the risk identity of individuals from the same class. The second part highlights the reversal of big data-induced perspective in the’analysis ofgiven ; awith theur volume and the new algorithms, the aggregate viewpoint is questioned.. The hypothesis of class homogeneity is becoming increasingly difficult to test. maintain, especially since predictive analysis boasts the ability to predict the rs results at the individual level. The third part is studying the’influence of telematics boxes able to import the new pinsurance aradigm automobile. However, a reading of the most recent research articles on a pricing automobile including this new monter that the epistemological leap, at least for now, has not taken place.

Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?

Our recent article, “Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?” with Larence Barry is now online, as a Working Paper of the PARI chair.

The purpose of this paper is to measure the impact of technologies from the Big Bang. data on thehe pricing ofhe products car insurance. The first part describes how the aggregated view buildsuit by statistics enables highlighting invisible regularities at the individual level. Despite a very granular segmentations in automobile insurance, the approach remained classificatory, hypothesizing the risk identity of individuals from the same class. The second part highlights the reversal of big data-induced perspective in the’analysis ofgiven ; awith theur volume and the new algorithms, the aggregate viewpoint is questioned.. The hypothesis of class homogeneity is becoming increasingly difficult to test. maintain, especially since predictive analysis boasts the ability to predict the rs results at the individual level. The third part is studying the’influence of telematics boxes able to import the new pinsurance aradigm automobile. However, a reading of the most recent research articles on a pricing automobile including this new monter that the epistemological leap, at least for now, has not taken place.

Des modeles prédictifs en assurance

Cet post est aussi en ligne sur https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02350006, il a été coécrit avec Laurence Barry et Ewen Gallic.

Les compagnies d’assurance émettent des contrats qui prévoient des paiements d’indemnités en cas de survenance d’évènements aléatoires (accident, maladie, décès, etc.). En contrepartie, l’assuré doit s’acquitter d’une prime, dont le montant est déterminé ex-ante, avant le début de la période de couverture. Cette prime se décompose en deux termes : une prime pure (destinée à couvrir les pertes anticipées) et un chargement (incluant des commissions à des agents, divers frais, mais aussi couvrant contre le risque de variabilité des pertes). La prime pure est souvent calculée par classe de risque, et une classification est alors nécessaire.

Assurer une population hétérogène, ou l’importance de la classification

Le regroupement des risques selon diverses informations telles l’âge de l’assuré, son état de santé ou encore sa profession constitue ce que l’on appelle la classification des risques. Cette pratique de segmentation se justifie (à des fins d’admissibilité mais aussi de tarification) par la supposition que les risques sont placés dans des groupes relativement homogènes, au sein desquels les probabilités de survenance sont similaires. Pour Schauer (2006), cette « généralisation », qui vise à voir l’individu sous le prisme de sa classe de risque, de généraliser son comportement à partir de quelques variables explicatives, est probablement la raison d’être de l’actuaire : « to be an actuary is to be a specialist  in  generalization,  and  actuaries  engage  in  a form of decision-making that is sometimes called actuarial ». Statistiquement on cherche une méthode de classification aussi « discriminatoire » que possible[1], en gardant en mémoire que la discrimination est interdite, ce qui rend l’exercice périlleux, et souvent critiqué (nous y reviendrons plus loin).

Les assureurs évoquent souvent deux arguments pour justifier une segmentation. Le premier est qu’elle serait rendue économiquement nécessaire par la concurrence ; ne pas classifier conduit à une anti-sélection, les risques importants restant seuls chez les assureurs qui ne segmentent pas. Dans une telle situation, l’équilibre de marché ne serait pas possible puisque les risques faibles seraient chez un concurrent ayant segmenté. Si le facteur de risque était observable, tant par les assurés que les assureurs, il y aurait un phénomène d’auto-sélection, les assurés à risque faible ayant les polices les moins chères. Cette situation constitue un équilibre séparant de Nash. Mais si le facteur de risque n’est pas observable, un équilibre sous-optimal peut être atteint, résultant d’une externalité négative de cette information non-accessible, à la manière de Wilson (1977), tel que décrit dans Cummins et al. (1982) dans le cas des contrats d’assurance-vie. Cela dit, Kleindorfer & Kunreuther (1980) montrent qu’accéder à davantage d’information ne conduit pas nécessairement à une amélioration du bien-être des consommateurs. De plus si la classification n’est pas autorisée, l’équilibre est maintenu, les risques faibles subventionnant les risques élevés.

Le second argument avancé pour justifier une segmentation est que cette dernière (et le fait, par conséquent, d’ajuster les primes au risque) serait juste et équitable. Mais cette vision de l’équité n’a pas toujours été de mise et semble portée par les développements techniques. Ainsi la classification est devenue de plus en plus fine, multipliant les classes de risque et conduisant à des tarifs « personnalisés ». En plus des avancées statistiques, des facteurs économiques pourraient justifier cette sophistication : la concurrence de plus en plus forte sur certaines branches.

Incertitude en assurance

Il y a plusieurs manières de caractériser l’incertitude en assurance. Comme bien souvent quand on fait des prévisions, il convient de distinguer l’incertitude associée à l’estimation des probabilités et l’incertitude réelle sur le résultat (aléa de l’évènement). Pour la seconde notion, Hacking (1975) parle de probabilité structurelle, et c’est celle qui est souvent utilisée pour introduire les concepts de probabilité, par exemple avec des dés ou des jeux de cartes : les probabilités sont connues, seule l’issue du jeu est incertaine. Par exemple je sais que la probabilité d’avoir 6 en lançant un dé est 1/6 (compte tenu de la géométrie du cube).

D’un point de vue statistique, la probabilité se mesure quand on peut observer une fréquence, c’est-à-dire une répétition de risques semblables. Les statisticiens ont ainsi défini une notion de probabilité empirique, basée sur la répétition[2]. Si, en lançant mille dés j’obtiens 173 fois la face 6, la probabilité empirique d’avoir 6 est de 17,3%. La loi des grands nombres nous assure que cette fréquence va tendre vers la vraie valeur en répétant l’expérience, et le théorème central limite permet d’en contrôler les fluctuations. C’est la première incertitude dont nous parlions au début de cette section, que nous appellerions l’erreur d’estimation.

On peut enfin mentionner deux notions supplémentaires ; tout d’abord, les probabilités conditionnelles. Cette idée est introduite en assurance par de Moivre, ou de Witt, lorsqu’ils notaient que pour estimer une probabilité de décès, il fallait considérer des personnes de même âge. C’est cette idée que l’on retrouve quand on considère une classification : on veut des risques homogènes, similaires, sans être pour autant identiques. La probabilité que l’on obtient est alors conditionnelle à ce facteur commun qui caractérise la classe observée. Dans notre exemple des dés, cela revient à dire qu’il ne faut pas lancer mille dés, mais mille fois le même dé – ou à défaut des dés semblables.

Enfin, les probabilités subjectives ont été formalisées par Bruno de Finetti et Leonard Savage (ainsi que plus philosophiquement par Frank P. Ramsey) pour comprendre et modéliser la prise de décision. Elles sont relativement populaires en économie de l’incertain, mais difficile à mettre en œuvre dans un contexte de valorisation de contrats d’assurance automobile ou habitation. Il s’agit d’un jugement, qui ne peut être confronté à la réalité, mais envisageable pour l’assurance de risques encore mal connus (McGrayne (2012) évoque ainsi les premiers contrats d’assurance aviation). Une approche bayésienne consiste alors à combiner cette probabilité subjective avec la probabilité comme fréquence observée d’un phénomène : partant d’une croyance a priori, on affine l’estimation par une mise à jour progressive en répétant les expériences. Classiquement, la probabilité d’avoir la face 6 sera une moyenne entre notre croyance (1 chance sur 6) et une probabilité dite historique, obtenue en faisant quelques lancés (3 sur 20 lancers, par exemple). Les poids attribués aux deux dépendant du nombre d’expériences effectuées : on donnera plus de crédit à l’expérience si on fait mille lancés que si on en fait soixante.

Incertitude sur le résultat, ou aléa fondamental

Les probabilités prédictives, utilisées pour calculer la prime d’un contrat d’assurance, sont la première étape d’un problème de classification. Un outil classique pour juger de la pertinence d’un classifieur est la courbe ROC, décrite dans Kuhn (2018)) : on compare la probabilité individuelle (a priori, telle que résultant du modèle de classification) à un seuil, compris entre 0 et 1; si la probabilité est inférieure au seuil, l’estimation est que la personne survit, sinon qu’elle décède.

On compare ensuite cette estimation aux réalisations (ex-post) de survie et de décès. Pour chaque seuil, on peut considérer la matrice classique dite matrice de confusion de théorie de la décision : elle consiste à répartir les observations suivant le résultat observé (en colonne) et l’estimation résultant du modèle en ligne (en fonction de la probabilité estimée pour l’individu et le seuil que l’on s’est fixé). On peut ainsi partager la population entre les classements corrects, et les erreurs (dont les « faux positifs » si la personne a survécu malgré une probabilité estimée de décès supérieure au seuil, et les « faux négatifs » si la personne décède malgré une probabilité estimée inférieure au seuil).

Figure 1: Courbe ROC et classification pour un seuil de probabilité valant 1.5%.

La courbe ROC est obtenue en faisant varier le seuil. Chaque seuil correspond à un point de la courbe, rapportant graphiquement les taux de faux positifs (en abscisse) et de vrais positifs (en ordonnée), comme sur la Figure 1.

Considérons un groupe de 1000 assurés, où 20 personnes sont décédées l’an passé. Supposons un modèle dans lequel on admet que la population est parfaitement homogène, la probabilité estimée de décès est de 2% pour tout le monde. Dans ce cas pour tout seuil supérieur à 2%, on estimera que la totalité de la population survit : on aura un taux de faux positifs de 0% et un taux de vrais positifs de 0%, d’où un point (0,0) sur le graphe. A l’inverse pour tout seuil inférieur à 2%, on estimera que la totalité de la population décède : on aura un taux de faux positifs de 100% et un taux de vrais positifs de 100%, d’où un point (1,1) sur le graphe. La courbe de ROC de ce modèle uniforme à 2% est donc la diagonale du carré sur la figure 1.

Mais on peut aussi imaginer qu’il existe un peu d’hétérogénéité avec, par exemple, une probabilité de décès de 1% pour une moitié de la population et de 3% pour l’autre moitié, ou encore que le modèle produit des probabilités comprises entre 1% et 3% de façon non dichotomique. Les données simulées pour construire la courbe noire sur la Figure 1 suppose que la population a des probabilités de décès variables, comprises entre 1% et 3%, obtenues par une régression logistique. Comme le montre le tableau de droite, on commet des erreurs, et comme le montre celle de gauche, la nature de celle-ci varie en fonction du seuil choisi, qui modifie les taux de faux positifs et de faux négatifs.

Le cas extrême serait celui où le modèle aurait correctement attribué une probabilité de 100% aux 20 personnes qui sont effectivement décédées. C’est la courbe rouge sur la Figure 1. Ce partage est possible ex-post, une fois réalisation de l’aléa : a posteriori, il y a une certitude de décès pour ceux qui sont effectivement morts. Mais cela n’a cependant pas grande réalité dans l’assurance, à moins d’imaginer que l’actuaire serait un oracle, qui saurait avec certitude qui va mourir, et qui va survivre. La réalité est plutôt celle de la situation intermédiaire entre la courbe rouge et la diagonale, avant d’arriver dans la région hachurée, où le taux d’erreur est faible, mais pas nul : on ne peut pas prédire, avec certitude, qui va décéder. L’assurance n’est possible que si cette borne supérieure n’est pas trop élevée.

Incertitude statistique, données et modèles

Une question fondamentale pour la survie de l’assurance est de savoir où se situe cette borne supérieure : jusqu’où peut-on aller, entre les deux cas extrêmes (population homogène avec une probabilité de 2% pour tous, et une population très discriminée, avec 2% de la population ayant 100% de chances de mourir, et l’autre 0%) ? Et de quoi cette borne dépend-elle ? En particulier, des modèles plus complexes, tels que les réseaux de neurones très profonds permettent-ils vraiment d’améliorer la prévision ? Et l’enrichissement de données, tel qu’on l’observe grâce aux objets connectés et la fusion avec toutes sortes d’informations externes, va-t-il déplacer la borne supérieure vers le haut ?

Si l’apprentissage profond – voir Goodfellow et al. (2018) – permet d’avoir des classifieurs d’images avec un taux d’erreur proche de 0%, il est difficile d’imaginer qu’il sera possible de prévoir, presque un an à l’avance (à la signature du contrat), qui décèdera dans l’année, qui aura la grippe, qui aura un dégât des eaux, etc. Les modèles plus complexes permettent d’améliorer les prévisions, en tenant compte de non-linéarités, d’effets croisés entre les variables tarifaires, mais pas au point de faire disparaître l’aléa. Et tant que l’assurance est envisagée ex-ante (la prime est fixée au début de la période de couverture), il est difficile d’imaginer que rajouter de l’information fera aussi disparaître l’aléa. C’est d’ailleurs le cas pour les tests génétiques qui n’expliquent qu’une (petite) partie du risque de cancer, par exemple. Et rajouter des données revient souvent à rajouter du bruit, ce qui rend le travail d’analyse plus complexe. Cependant, force est de constater que des modèles plus complexes et des données plus riches tendent effectivement à « améliorer » la prévision, en remontant la courbe ROC vers le haut. Mais se pose-t-on les bonnes questions ? Que signifie vraiment une borne très éloignée du cas homogène, sur la diagonale ?

Homogénéité, équité et causalité

Comme nous l’avons vu, la tarification en assurance repose sur une répartition des risques (des contrats) en catégories, au sein desquelles la distribution des pertes peut être estimée, afin de fixer un niveau de primes. La répartition se fait à partir des caractéristiques de l’assuré, et du bien assuré. En retraçant l’histoire de l’assurance, Ewald (1986) montre que les mécanismes de prévoyance se sont mis en place en déplaçant la charge des accidents du travail sur la société : on abandonne l’idée d’une responsabilité individuelle de l’accident en faveur de la solidarité. L’assurance distingue « entre le dommage que subit tel ou tel individu — c’est affaire de chance ou de malchance — et la perte liée au dommage dont l’attribution est, quant à elle, toujours collective et sociale ». Ce principe de solidarité sociale, de mutualisation des risques, fait que le risque (en assurance) est toujours pensé collectivement.

Aujourd’hui, les tarifs sont considérés comme « justes », ou « actuariellement équitables » si chaque prime correspond à la perte attendue (pour ne pas dire « espérée », au sens mathématique) pour chaque assuré. Dans cette perception de l’équité, une hypothèse essentielle est que les classes soient « homogènes ». En effet, dans l’hypothèse inverse, les personnes les moins risquées subventionnent les personnes les plus risquées, ce qui est perçu comme socialement injuste.

On peut décrire cette version de l’équité actuarielle à l’aide de la formule de décomposition de la variance. La variance globale se décompose en effet en deux termes, la variance inter-classes et la variance intra-classes : l’ « équité actuarielle » vise à ce que  les classes de risque soient relativement distinctes les unes des autres, donc une variance inter-classes forte, accompagnée d’une homogénéité des classes, donc une variance intra-classes faible. D’un point de vue statistique, chercher à augmenter l’une est équivalente à faire diminuer l’autre. Cette mécanique n’est pas toujours claire pour des observateurs non avertis ; ainsi dans l’affaire Manhart, un des cas les plus documentés sur la discrimination par le genre en assurance, le juge Stevens affirme : « we focus on fairness to individuals rather than on fairness to classes […] even a true generalization about a class is an insufficient reason for disqualifying an individual to whom the generalization does not apply» (cité dans Anzalone (2016)). Autrement dit, pour la justice, un critère statistique de type « true generalization » ne peut être opposable à un individu.

Une autre critique importante, que l’on retrouve dans la « gender directive », est le lien entre discrimination et causalité. En effet, statistiquement, les actuaires vont chercher des facteurs de classification fortement corrélés avec la sinistralité. Mais il est possible que ces facteurs ne soient qu’un proxy de la vraie variable causale, restée elle inobservée, conduisant à une mauvaise estimation du risque pour certains. Comme le notent Antonio et Charpentier (2017), le genre a ainsi été longtemps utilisé en assurance automobile car très corrélé avec des variables associées au style de conduite et à d’autres variables historiquement non observables (mais qui le sont aujourd’hui grâce aux objets connectés, comme le kilométrage, les heures de conduites, les types de routes utilisés, etc).

Ce lien avec les mécanismes causaux est d’ailleurs relativement profond, et Hacking (1975) y voit une connexion avec la « révolution probabiliste » : on peut assez facilement mettre en évidence des corrélations, mais les causes, si elles existent, nous restent plus opaques. Laplace au début du 19e siècle déclare ainsi que « la probabilité est relative en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance », liant les probabilités à la fois à une vision newtonienne déterministe du monde et à notre incapacité à le connaitre parfaitement. Cette dernière composante fait que l’on ne peut pas annoncer la date exacte du décès d’un individu, mais statistiquement, dans un groupe homogène, on peut prédire le nombre de décès au cours d’une année. Et pour revenir à la relation causale, le tabagisme par exemple ne cause pas forcément une mort prématurée mais fumer sera vu comme dangereux car il augmente la probabilité de décès pendant une période donnée. Ainsi nous montre Hacking (1975), la causalité est pensée aujourd’hui dans un contexte probabiliste, et non plus déterministe.

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[1] Au sens statistique du mot, dans le sens introduit par Fisher (1936).

[2] Dans cette approche fréquentiste, et notamment pour Ronald Fisher et Richard von Mises, la probabilité d’un évènement unique (dit « one shot ») n’a pas de sens.