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Loi des grands nombres et théorème central limite en assurance

Dans le dernier numéro de la revue Risques figure un petit article sur la loi des grands nombres et le théorème central limite en assurance (ici) Le but était de remettre un peu les pendules à l’heure sur la différence entre les implications de ces deux résultats, et surtout d’amorcer une discussion sur l’importance des hypothèses (en particulier celle de risques indépendants).

Pour une tarification de l’assurance automobile à l’aide du tour de poitrine !

Plusieurs sites spécialisés en assurance commencent à évoquer un arrêté probable de la cour européenne sur la discrimination en assurance (par exemple ici ou ). Une des bases (économiques) de l’assurance est le principe d’Akerlof qui pousse les assureurs à segmenter par classe de risque. Afin de segmenter, et de révéler les classes de risques, on utilise l’historique de sinistralité (information dite a posteriori), ou bien des informations exogènes (dites a priori) sur le conducteur, le véhicule, son usage, etc. Par exemple on peut utiliser l’ancienneté du véhicule, et le nombre de kilomètre effectués (en moyenne) par le conducteur, comme sur le graphique ci-dessous (retrouvé dans les transparents que l’on utilisait avec François Bucchini quand on donnait le cours d’assurance dommage à l’ENSAE, les probas étant “normalisées” dans une espère de base 100)

ou encore le type de carburant utilisé (diesel ou essence)

On retrouve que plus on conduit, plus la probabilité d’avoir un accident augmente, mais le carburant et l’âge du véhicule semblent être aussi des variables discriminantes. Et parmi les variables qui semblent significatives (pour expliquer la probabilité d’avoir un accident), il y a le sexe (croisé ici avec le kilométrage, comme auparavant),

Alors l’effet peut sembler marginal sur ce graphique… mais c’est loin d’être le cas. Par exemple, sans utiliser des techniques très poussées en économétrie, on peut regarder le nombre moyen de sinistres, et le coût moyen de sinistres, par sexe, et par tranche d’âge (voire aussi par CSP et par puissance du véhicule). Dans une étude faite par un assureur, j’avais trouvé les chiffres suivants

En haut à droite (beaucoup d’accidents, et coût – en moyenne – élevé) on retrouve les jeunes hommes. Donc oui, les jeunes hommes sont significativement beaucoup plus risqués que les autres conducteurs. Et le soucis est que, si on ne segmente pas, Georges Akerlof nous explique que le marché de l’assurance disparait, les “bons” risques ne voulant plus payer pour les “mauvais” risques. Sans pour autant rentrer dans une spirale infernale de la segmentation, il est bon que les primes restent corrélées au risque sous-jacent.

Les assureurs prétendent qu’ils ne «ne font pas de la discrimination, ils font de la différenciation ». Je ne rentrerais pas sur les débats de terminologie (pas aujourd’hui en tous les cas), mais le but n’est pas de trouver des variables “explicatives” de la sinistralité au sens causal (malgré la terminologie usuelle des économètres) mais de trouver des variables “corrélées” avec une forte sinistralité, et de les utiliser pour segmenter. Les assureurs européen avaient, jusqu’alors, bénéficié d’un sursis dans le calcul des primes qui leur permet de pratiquer des tarifs différents « lorsque le sexe est un facteur déterminant dans l’évaluation des risques».

Dans un cours d’analyse de données, j’avais montré (ici) qu’à partir des notes de étudiant(e)s à différents examens, je pouvais prédire le sexe des étudiants. Bon, l’étude avait été faite rapidement, avec un petit jeu de données (et donc sans population d’apprentissage et de test), mais il est facile de trouver des variables permettant de deviner le sexe d’un conducteur. D’aucuns pourraient être tentés d’utiliser la pointure des chaussures, mais personnellement je préférerais le tour de poitrine, ou un tour de poitrine ramené à un tour de hanche. Je suis presque sûr qu’avec de telles observations, on peut avoir des variables fortement corrélées avec la survenance d’accident ! En tous les cas ça promet un peu d’animation chez les agents d’assurance ! voire chez les chirurgiens esthétiques (retirer les implants mammaires pour faire baisser sa prime d’assurance auto, voilà qui est original) !

Foot, probabilité, et assurance, partie 1

Depuis la fenêtre de mon bureau, je pourrais presque voir la grande banderolle sur le fronton du centre commercial de la Visitation,

Un vendeur d’électroménager proposer de rembourser certains achats sir la France gagne la coupe du monde de foot ! Cela me fait penser au court billet que j’avais fait l’an dernier, ici, comme quoi certains camping pouvaient rembourser les vacances des vacanciers en cas de mauvais temps…. Oui, on pourrait s’en douter, il y a un contrat d’assurance derrière – afin d’éviter que ce revendeur (il n’est pas le seul d’ailleurs) ne fasse faillite ! Des amis qui suivent le foot me faisaient remarqué que la prime d’assurance ne devaient pas être trop élevée….
Pour être un peu plus précis, Berkshire Hathaway a annoncé avoir assuré un de ses souscripteurs en cas de victoire de l’équipe de France lors de la prochaine coupe du monde. La perte maximale ne semble pas collossale, comme le notait Warren Duffet: « je pense que nous allons perdre 30 millions de dollars, ou quelque chose comme ça, si la France gagne ».

Quant aux probabilités dans le cas des vacances (ici), Meteo France propose des estimations objectives des probabilités. Dans le cas du foot, on peut faire comme en finance, et aller extraire les probabilités des marchés, en l’occurence des sites de pari en ligne, comme ici. En l’occurence, on apprend que la cote de la France est de l’ordre de 21… mais je reviendrais là dessus dans un autre billet !

Market valuation des garanties des produits d’assurance

Pour le dernier cours d’actuariat 2, on parlera de market valuation, i.e. de valorisation financière. Je vais aussi en profiter pour éclairer Bruno (pour qui j’avais déjà commencé à poster des billets sur le contrôle optimal) sur “comment introduit-t-on la mesure risque neutre dans un passif ?” , sous-entendu en assurance-vie (en assurance non-vie c’est à mon avis plus compliqué, mais c’est la question que l’on se pose quand on valoriser des cat-bonds par exemple). Notons que ce problème s’est posé assez tôt dans la littérature économique, je renverrais par exemple au papier de Brennan et Schwartz en 1976.

  • Valorisation de produits financiers (en marché complet)

Je passerais un peu rapidement (en renvoyant ici ou là pour les grands principes), mais les techniques principales pour valoriser les actifs financiers sont les prix d’Arrow-Debreu, les probabilités risque-neutre, et les déflateurs. Mais auparavant, rappelons que le marché est composé de n actifs financiers (bien distincts) dont les prix et les payoffs sont parfaitement connus, et de n états de la natures, de telle sorte que la matrice des payoffs soit de plein rang. Introduisons le concept de portefeuillle de réplication. Compte tenu du fait que la matrice des payoffs est de plein rang, on a l’existence et l’unicité d’un tel portefeuille. Considérons un ensemble de payoff contingents aux états de la nature

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Il est alors possible de créer un portefeuille (dit de réplication) qui permette de toucher précisément ces payoffs à la date 1. Le prix (à la date 0) d’un tel actif est alors le prix du portefeuille de réplication.
Considérons les actifs rapportant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon, à la date 1, i.e.

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appelés actifs d’Arrow-Debreu. On note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-15.png le prix aujourd’hui d’un tel actif. Notons que le prix d’un actif sans risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-1.png. Aussi, si on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-14.png le taux sans risque, alors

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Le prix de l’actif rapportant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-12.png à la date 1 est alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-10.png.
Posons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-09.png tel que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-08.png soit une distribution de probabilité. Alors

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où l’espérance est prix sous la mesure de probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-pst.pngappelée probabilité risque-neutre.
Je renvoie ici (par exemple) pour l’introdution de cette probabilité via les arbres binomiaux. Bref, c’est ainsi que l’on arrive au théorème fondamental de la valorisation d’actif en marché complet: le prix d’un actif contingent l’espérance sous probabilité risque neutre, des payoff actualisés.
Aussi, prenons l’exemple d’un put européen, de maturité T et de strike K. Le prix (à la date 0) du put est donné par

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Rappelons d’ailleurs que la formule de Black et Scholes donne un prix pour un tel produit financier (un put européen),

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et

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Voilà rapidement comment on valorise un produit financier en marché complet, en calculant la valeur d’un portefeuille de réplication.

 

  • Valorisation de produits d’assurance

Pour valoriser les produits d’assurance, classiquement, on calcule des primes pures, ou des valeurs actuelles probables. Par exemple en assurance-vie (car c’est essentiellement de ça dont on parle non ?), considérons simplement une garantie plancher, où l’on s’engage à verser 1€ au décès d’un souscripteur. La valeur actuelle probable (que l’on calcule sous la  probabilité historique) est alors

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que l’on pourrra réécrire

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(où j’adopte une convention de temps continu pour les taux pour garder une analogie avec le cas financier, mais ça n’est pas vraiment important ici). Bref, par rapport à la valorisation financière on valorise toujours des flux futurs (payoffs) actualisés, mais en prenant l’espérance sous la probabilité historique. Et c’est généralement comme ça que l’on valorise un produit d’assurance: les risques ne sont pas échangés sur des marchés liquides, on n’a donc pas vraimentt de marché complet, et les assureurs espèrent simplement que la mutualisation (via la loi des grands nombres) leur permettra d’avoir égalité entre les flux entrants et les flux sortants.
Remarque: j’avais fait l’an dernier un rapide billet sur la transformée d’Esscher (ici) qui présentait une méthode conciliant les deux approches. Mais je suis toujours à la recherche du papier original (datant de 1932) pour proposer une nouvelle discussion sur ce sujet…

  • Valorisation des garanties planchers dans les contrats d’assurance vie, une approche heuristique

Là où les choses se compliquent c’est quand on mélange des garanties d’assurance (un décès) avec des garanties financières (sur des taux ou bien un actif financier pour des contats en unité de compte). Considérons pour cela un contrat décès, où l’assureur s’engage à payer, au moment du décès à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-tau.png le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-07.png et le niveau atteint par l’actif lors du décès, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-06.png. Autrement dit, l’assureur s’engage à verser https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-05.png. De manière plus général, disons qu’il existe une valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l’on notera K.
Notons que l’on peut réécrire le payoff

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Le terme de gauche est la valeur de l’actif, et le second terme peut être interprété comme la valeur de la garantie plancher. Par la suite, on ne s’intéressera qu’à la valeur de cette garantie. Le flux versé (pour cette garantie) à la date t, pour un individu d’âge x à la souscription est alors tout simplement

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(les dates étant supposées discrètes ici). Si l’on cherche à calculer la valeur actuelle probable de l’ensemble des flux, on voit que deux espaces de probabilités intervienne: l’espace des probabilités actuarielles (sous lesquelles on couvre le risque de décès en supposant les risques mutualisables, i.e. l’univers historique https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-05.png) et l’espace des probabilités financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers, i.e. l’univers risque neutre https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-06.png). Autrement dit, la valeur actuelle probable s’écrit

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que l’on pourrrait réécrire

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où le terme à droite est le prix d’un call de strike K de maturité t.
Notons que la commission de contrôle s’était penché sur le sujet il y a quelques années, via le mémoire d’actuariat de Sylvain Merlus et Olivier Pequeux (ici), et c’est ce genre de formule qui avait été proposé, à savoir de faire somme somme de prix de put. Et c’est cette approche que  la réglementation a imposé de valoriser cette garantie.
Pour aller plus loin, il avait aussi été précaunisé d’utiliser la formule de Black et Scholes pour valoriser ces puts, ce qui a donné la formule “standard

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et

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Voilà comment on valorise une telle garantie. Je n’ai parlé de la couverture, car on voit qu’elle ne serait pas parfaite, loin de là.
Comme toutes les formules standards, elle a l’avantage de la simplicité.
Bon formellement, si on veut faire ça proprement, ça risque d’êetre plus compliqué, et il faudrait parler des mesures risques neutre forward, mais on fera ça une autre fois. Sinon tout ça est repris dans une multitude de documents que l’on peut trouver ici, , voire ici ou encore . Et pour aller plus loin, il y a eu récemment pas mal de livres qui abordent ces sujets….

En complément, je pourrais aussi mettre des vieux transparents d’un cours donné il y a plusieurs années maintenant,

Quand les assureurs souhaiteraient faire la pluie et le beau temps

Damned, je me suis fais devancé par un très très beau billet d’Anne (ici) sur l’assurance proposée par AXA et AON. Ca m’apprendra à ne plus lire régulièrement Le Monde

Tout comme Anne, je suis un peu agacé par le nom donné sur le site d’AON: un assureur ne peut pas garantir la pluie et le beau temps, de même qu’il ne peut pas garantir que vous ne tomberez pas malade ou que vous n’aurez pas d’accident de voiture dans l’année ! Ou alors c’est autre chose que de l’assurance…

Je suis également un peu sceptique car ces risques ne sont pas vraiment indépendants, surtout au niveau local (dans un même département, il y a des chances pour que tout le monde soit sinistré la même semaine). Peut être qu’au niveau national, il existe des dipôles climatiques qui font que s’il pleut dans un département, il y a de très fortes chances pour qu’il ne pleuve pas dans un autre. C’était une étude qu’on souhaitait mener avec des collègues de Paris 6, et nous n’avions riens trouvé sur le sujet. Mais les gens d’AXA et de Metnext savent ce qu’ils font, je pense… Car il faut reconnaître que les garanties (ici) excluent beaucoup de choses si on regarde en détails le contrat, en particulier quand on lit qu’il faut “3 heures consécutives” de pluie, “entre 8 heures et 20 heures“…etc.
En tous les cas AON a l’honnêteté d’annoncer clairement la couleur sur son site (ici). Tout d’abord avec de joli petit logo que j’ai reproduit ci dessous, avec cette superbe accroche (évoquée en détails ici) cette garantie est, pour les voyagistes, “une source de revenus complémentaires“…
Sinon il faut reconnaître également que les assureurs offraient déjà ce genre de garanties, mais seulement dans les grands évènements, comme des championnats du monde de football, des tournois de tennis, ou des concerts de grosses stars….pour la première fois, la garantie n’est plus pour Michael Jackson qui souhaiterait remplir des stades, mais pour Robert et Raymonde qui voudraient faire du camping au sec….

Expliquer l’assurance vie et la retraite

En fouillant un peu dans mes cartons, j’ai enfin remis la main sur un article qui avait trôné dans mon bureau à l’ENSAE pendant plusieurs mois. De mémoire, je croyais qu’il s’agissait d’un article du Monde, mais après quelques recherches, je me suis rendu compte qu’il s’agissait d’un article paru fin 2003 dans le Canard Enchaîné, hebdomadaire pour lequel j’ai une immense admiration pour les informations (et surtout les jeux de mots), mais pour une fois, je serai assez critique.

En particulier, le petit encadré en bas à gauche m’avait interpellé,

Cet article parle du calcul des retraites – sujet ô combien important – et s’étonne, ou s’insurge, que le calcul d’une retraite soit “insensé” (c’est à dire selon mon dictionnaire “qui a perdu le sens“). Or précisément cette formule a du sens (tout du moins si l’on remplace x – qui est l’inconnue révélatrice de l’incompréhension face aux formules mathématiques dans l’imaginaire collectif – par un signe de multiplication). Les rapports des L sont les probabilités d’être en vie – et donc de pouvoir toucher effectivement une retraire, et on retrouve les facteurs d’actualisation devant. Bref, on retrouve une formule qui s’interprète “simplement” comme valeur actuelle probable des flux futurs. Le document initial peut se trouver ici (merci à Benoit Bellone pour la référence), il s’agit de la section 8.3 (“Garantir le niveau des retraites: Les conséquences financières pour les futurs retraités”) du Rapport économique, social et financier, Tome I  Perspectives économiques 2003-2004 et évolution des finances publiques. Une partie explique en détail la “neutralité financière d’un régime de retraite“, et ce sont ces formules qui semblent avoir inspiré l’article du Canard,

Je pense que cet article (pourtant paru dans un journal dont le lectorat est majoritairement de la classe supérieure élevée) est assez symptomatique du manque de culture scientifique des journalistes. Sans vouloir faire offense à l’esprit anticlérical du Canard, cet article m’a rappelé une réflexion du philosophe Calvin (ami de Hobbes, le tigre)

Article de l’Argus: assurance versus finance

Pour compléter le dernier paragraphe de l’article de l’Argus de l’assurance, sur la comparaison entre la finance et l’assurance

  • en assurance on étudie les pertes, alors qu’en finance, on s’intéresse aux rendements ou aux gains. Mathématiquement c’est très proche (au signe près), mais comme l’ont noté Daniel Kahneman et Amos Tversky (papier), les gains et les pertes, ce n’est pas du tout pareil…

  • pour reprendre l’expression de Pierre Devolder, si l’assurance valorise dans un monde réel (sous probabilité historique), la finance valorise dans un monde “virtuel” (d’où les nombreux probabilités dites risques neutres)
  • enfin, si l’on s’intéresse aux problèmes d’optimisation, on notera que dans la littérature financière, on cherche à maximiser les gains moyens, sous une contrainte de risque, alors que dans la littérature actuarielle, c’est généralement le problème dual qui est considéré, à savoir minimiser le risque global sous contrainte de rendement moyen.

Finance et Risque, à l’Université de Nantes

Exposé sur les méthodes de valorisation en finance et en assurance, à l’atelier Finance et Risque de l’Université de Nantes.

Les nouvelles règles comptables pour les compagnies d’assurance imposent désormais une notion de “market-consistent valuation“: les risques assurantiels doivent aujourd’hui être valorisé comme des produits financiers. Mais au delà de l’aspect comptable, des produits permettent effectivement de transférer les risques des compagnies d’assurance (ou de réassurance) vers les marchés financiers. Le risque de longévité ou de mortalité peut être couvert à l’aide de mortality/longevity bonds. Depuis plus de 10 ans, les risques de catastrophes naturelles aux Etats-Unis peuvent être titrisés via l’émission de cat bonds. Et parallèlement, plusieurs bourses proposent aujourd’hui des options sur indices climatiques (voire assurantiels) permettant d’introduire formellement des cat options. Ces ILS (insurance linked securities) ne sont pas sans poser des problèmes de valorisation. Au premier abord, la valorisation actuarielle (basée sur la notion de prime pure et sur la probabilité historique) et la valorisation financière (basée sur l’utilisation d’une probabilité risque neutre) n’ont rien en commun. Mais les ILS ne sont pas utilisé – le plus souvent – sur des risques de masse, mais davantage sur des risques extrêmes. Les outils classiques de valorisation actuarielle ne conviennentalors plus, et des méthodes plus économiques sont alors préconisées(basées sur l’espérance d’utilité, ou mieux encore, sur l’approche duale de Yaari, et sur les mesures de risques par distorsion). De même, les outils financiers classiques ne sont valident qu’en marché complets, et comme ce n’est plus le cas, des méthodes proches de celles utilisées en assurance sont alors retenues (indifférence d’utilité, transformée d’Esscher). Aussi, les méthodes de valorisation en finance et en assurance, qui semblaient jusqu’alors incompatibles, peuvent enfin être présenté dans un cadre commun, précisément pour les risques qui se situent à la frontière entre la finance et l’assurance.