# Lausanne

I will be back in Lausanne (I was already there last summer) to spend a few days, visiting Florian, at HEC Lausanne. I will also give a talk on old and new results on (standard) families of copulas. There will be also a discussion on tail dependence. Slides can be downloaded from here,

# Mandelbrot, fractals and counterexamples in applied probability

Benoît Mandelbrot died yesterday. Like most of the blogs dealing with applied mathematics, it looks like I have to mention this event. Unfortunately, I don’t know much about fractals…

The first time I heard about Mandelbrot and chaos was when I have been working on fractional time series (see eghere). Murad Taqqu gave a very interesting short course in Paris, and I have been using it in two papers (actually one more should appear soon in Climate Change).

The second time was in Québec (city), five years ago, when Roger Nelsen gave a talk on copulas with fractal suppport (here). By that time, we were finishing our paper with Alessandro (in mathematical finance, and limiting theorems). I remember adding a Remark in the paper (that can be found here), since using that kind of copulas was a nice way to show that, without sufficient regularity conditions, the limit we were looking for had no sense.

A few months after, with Johan, in a paper on pitfalls on lower tail dependence for Archimedean copulas (here), we used again this fractal construction (here applied to Archimedean copulas) to find a nice counterexample to a (false) theorem on regular variation. Again, the goal was to understand how the dependence structure of  given  and  changed when  goes to 0. In the case of Archimedean copulas, the copula of the conditional pair is still Archimedean (with another generator, except for Clayton copula). The graph below show how  changes, as  decreases… Actually, I draw  since Archimedean generators are not unique.

I have also decided to plot .

Here, we see that there is no way of talk about a possible limit for the conditional copula because of a fractal behavior in 0 of the generator (even if my fractal are not as nice as the one you can find on the internet….). So thanks Benoît for giving us a nice toy to build interesting counterexamples !

# Tails of Archimedean copulas

Publication de Tails of Archimedean Copulas, coécrit avec Johan Segers, dans le Journal of Multivariate Analysis, enfin… en ligne sur http://sciencedirect.com/science…

A complete and user-friendly directory of tails of Archimedean copulas is presented which can be used in the selection and construction of appropriate models with desired properties. The results are synthesized in the form of a decision tree: Given the values of some readily computable characteristics of the Archimedean generator, the upper and lower tails of the copula are classified into one of three classes each, one corresponding to asymptotic dependence and the other two to asymptotic independence. For a long list of single-parameter families, the relevant tail quantities are computed so that the corresponding classes in the decision tree can easily be determined. In addition, new models with tailor-made upper and lower tails can be constructed via a number of transformation methods. The frequently occurring category of asymptotic independence turns out to conceal a surprisingly rich variety of tail dependence structures.

# Conférence couverture des risques extrêmes

Exposé sur les dépendances extrêmes (slides) à l’Université Paris Dauphine, en insistant sur le comportement des copules Archimédiennes. L’intégralité des présentations peut se télécharger depuis http://researchfund.axa.com/

# Journées de statistiques, Ottawa

Je serais aux Journées de Statistiques, a Ottawa, avec au programme un exposé sur Tails of Archimedean copulas.

Un répertoire complet et convivial des queues de copules est présenté. Il peut être utilisé pour la sélection et la construction de modèles appropriés avec les propriétés voulues. Les résultats sont synthétisés sous forme d’arbre de décision : compte tenu des valeurs de certaines caractéristiques du générateur archimédien, chacune des queues inférieures et supérieures de la copule est classée dans une des trois catégories, l’une de ces catégories correspondant à la dépendance asymptotique et les deux autres à l’indépendance asymptotique. Pour une longue liste de familles à paramètre unique, les quantités pertinentes de queues sont calculées afin que les catégories correspondantes dans l’arbre de décision puissent être facilement déterminées. De plus, de nouveaux modèles avec des queues inférieures et supérieures personnalisées peuvent être créés grâce à un certain nombre de méthodes de transformation. On constate que la catégorie de l’indépendance asymptotique, qui se présente souvent, masque une  diversité étonnamment riche de structures de dépendance de queue.

Je serais aussi organisateur de la session Copules, avec comme invités Anne Catherine Favre (site), Johanna Neslehova (site), et Stéphane Loisel (site).