Revenons à nos histoires d’alcoolique un instant (les précédentes sont en ligne iciet là). L’avant dernière fois (ici), nous avions parlé de la marche aléatoire, et du temps mis avant de trouver la sortie de la rue de la soif.
Et j’avais évoqué la probabilité la probabilité qu’il ne récupère pas les clés (i.e. qu’il ne repasse pas par l’origine) s’il peut sortir un jour de la rue. En probabilité, on appelle cela la probabilité de repasser par l’origine et cela vérifie une propriété étrange dès lors que l’on change de dimension… On va suivre notre alcoolique et noter
sa position à la date
, puis poser

autrement dit la probabilité de se retrouver à sa position initiale à la date n (et de retrouver ainsi ses clés), le
pouvait être en n’importe quelle dimension, on posera

correspondant à la probabilité de premier retour à la position initiale, et enfin

qui est la probabilité de revenir un jour au point de départ, c’est à dire
… C’est cette dernière grandeur qui nous intéresse….
- De la probabilité de récupérer ses clés dans la rue
La rue est ici infinie (contrairement à l’autre fois, où on pouvait en sortir, soit vers la place de Lices, soit vers la place Sainte Anne). Autrement dit, on s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur
issue de
repasse un jour par
. S’il va à droite ou à gauche avec probabilités
et
respectivement, notons que
, car il faut un nombre de pas pairs pour revenir à l’origine, et

Il est possible de montrer que

et en particulier

On peut relier les
et les
en notant que

Or
constitue une distribution de probabilité, dont on peut définir la fonction génératrice

On notera que que l’on peut écrire

soit, en utilisant l’expression donnée auparavant

Soit finalement

ce qui se traduit par
si la série
converge. Aussi,

donc si
, notre alcoolique repassera presque sûrement par le point d’origine, alors que si
, il ne repasse pas par le bar où il a oublié ses clés avec probabilité
|.
- De la probabilité de récupérer ses clés sur une place
La place est ici infinie de part et d’autre. Autrement dit, on s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur
issue de
repasse un jour par
. Il a alors 1 chance sur 4 d’aller devant lui, autant d’aller en arrière, d’aller à gauche ou d’aller à droite. On peut noter que là encore
, car il faut un nombre de pas pairs pour revenir à l’origine, et

Or on peut réécrire cette somme en notant que

et que

aussi,

que l’on peut approcher (via la formule de Stirling) sous le forme

La série
est alors divergente, et donc
. Aussi, même sur une place, notre alcoolique reviendra presque sûrement à sa place initiale (et ce une infinité de fois, car une fois qu’il y est revenu et qu’il en repart, il repassera presque sûrement à cette position, etc).
- De la probabilité de récupérer ses clés dans l’espace
Bon, cette fois notre alcoolique passe en dimension 3…. j’admets, il faut de l’imagination. On s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur
issue de
repasse un jour par
. Il a alors 1 chance sur 6 d’aller devant lui, autant d’aller en arrière, d’aller à gauche ou d’aller à droite, d’aller en haut ou d’aller en bas.

Il y a désormais 6 voisins, et en raisonnant comme avant (le maillage est un peu plus complexe), on obtient que

Je laisse les amateurs de combinatoires faire des calculs ou des approximations, mais on peut montrer que

La série \sum u_n est alors convergente, et

qui vaut un peu plus de 1/3. Autrement dit, on a seulement 1 chance sur 3 de revenir à l’origine et de retrouver ses clés…
Bref, en dimension 1 ou 2, on repasse presque sûrement une infinité de fois à l’origine, mais en dimension 3, on a 2 chances sur 3 de ne jamais y repasser…. J’ai toujours trouvé ça étonnant….
pour faire quelque chose de plus formel). Il arrive de la place sainte Anne, et là, il souhaite choisir le bar le moins cher. Le soucis est qu’il n’a pas le droit de faire demi-tour1 et il ne connaît pas les prix pratiqués dans les différents bars. Il part avec un a priori qui est que le prix d’une pinte est compris entre 3 et 6 euros, que le prix est uniformément réparti entre ces deux prix, et que les prix sont indépendants d’un bar à l’autre. Pour les financiers, il a une option (de commander une bière), et peut l’exercer quand il le souhaite. Une option américaine en quelque sorte. Supposons qu’on soit arrivé au bar
. On peut soit payer
(qui est supposé aléatoire, uniformément distribué et indépendant des autres bars), soit espérer que l’on puisse payer moins cher plus loin,
la valeur de cette option, alors


désigne la loi du prix de la bière (soit ici une loi uniforme) avec une condition terminale de la forme
. Posons
. Alors







de la place Sainte Anne et à une distance
de la place des Lices. On se demande s’il arrivera un jour à quitter la rue de la soif, et surtout au bout de combien de temps (ou après avoir parcouru quel distance)… Au delà du temps moyen passé à errer dans la rue, on pourra se demander la probabilité pour qu’il soit sorti de la rue pour 8 heures, histoire d’avoir une chance d’arriver à l’heure en cours.
la position à la date
. On suppose qu’à la date
. S’il sort par la partie inférieure (en
).
où
prend les valeurs
avec probabilités
,
s’il se dirige vers Sainte Anne,
s’il part place des Lices.
.
appartient forcément à
, et donc

est une martingale, nulle à la date initiale. Aussi,



,
, mais sur la transformée de Laplace
dont on peut montrer que la transformée de Laplace du temps de sortie d’un corridor de la forme
est

,

,

est indépendant de
. On peut alors montrer que si
est le temps d’arrêt défini comme le premier instant où le processus atteint
, alors




essais,

=15 clés, par exemple, on obtient la probabilité suivante, en fonction du nombre d’essais nécessaire pour ouvrir la porte,
, alors plus le nombre de clés essayé est grand, plus cela “prouve” que l’on a de forte chances d’être à jeun. On retrouve ça sur le graphique ci-dessous,



On retrouve alors quelque chose qui pourrait paraître plus intuitif… Quoi que. Si au 12ème essai, la porte n’était pas ouverte, la police a tout intérêt à arrêter notre jeune héros, car la probabilité qu’il soit ivre est supérieure à la probabilité a priori. En revanche, s’il réussit à l’ouvrir au 13ème essai, elle a intérêt à ne pas l’arrêter, car il y a de très fortes chances pour qu’il soit à jeun. Étonnant non ?
Considérons une personne ayant un trousseau de 10 clés, ou disons n pour généraliser. Il souhaite ouvrir la porte de chez lui, mais ne sait plus laquelle est la bonne. Combien d’essais – en moyenne – faudra-t-il avant de tomber sur la bonne clé ?
l’évènement “la bonne clé est tirée au bout de
essais“, alors







. Pour ceux qui ne savent plus comment calculer l’espérance d’une telle loi, on peut prendre trois lignes pour refaire le calcul

.