Tag Archives: ACT2121

ACT2121 premier examen

Cet après-midi avait lieu le premier examen d’actuariat 1, préparatoire pour l’examen P de la SOA. Comme pour l’examen P, il y avait des questions à choix multiples, en un temps (très limité). Le sujet est en ligne, ainsi que des éléments de corrections (bientôt) ici. Si vous n’êtes pas d’accord avec mes corrections, merci de me le dire rapidement, si possible avant que je n’attribue les notes…

ACT2121, éléments de correction (2)

Un petit complément pour revenir sur un calcul fait hier, en classe, au tableau.

Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoires continues fonction dont on donne la densité conjointes. Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1.

Au tableau, je m’étais lancé dans des calculs un peu compliqué (notant que les variables étaient indépendantes, on pouvait utiliser la convolution pour trouver la loi de la somme facilement… mais on reviendra sur ce calcul plus tard). La solution la plus simple était la suivante: la loi de https://latex.codecogs.com/gif.latex?(X,Y) admet pour densité https://latex.codecogs.com/gif.latex?f_{X,Y}(x,y)=2xboldsymbol{1}_{[0,1]times[0,1]}(x,y). Le remboursement https://latex.codecogs.com/gif.latex?R est la variable aléatoire

https://latex.codecogs.com/gif.latex?R=h(X,Y)=(X+Y-1)boldsymbol{1}_{]1,+infty[}(X+Y)

On peut alors faire le calcul de
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_{mathbb{R}^2}%20h(x,y)f(x,y)dxdy
i.e.
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_0^1%20int_{1-x}^1%20[x+y-1]2x%20dy%20dx
soit
https://latex.codecogs.com/gif.latex?int_0^1%202xleft[(x-1)y+frac{y^2}{2}<br /> ight]_{1-x}^1%20dx=int_0^1%20x^3dx=frac{1}{4}
Voilà pour la version simple (et finalement assez générale). Pour la version plus compliquée
https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20f_{X,Y}(x,y)=2xboldsymbol{1}_{[0,1]times[0,1]}(x,y)=underbrace{2x%20boldsymbol{1}_{[0,1]}(x)}underbrace{%20boldsymbol{1}_{[0,1]}(y)}
autrement dit, on a obtenu que les deux composantes étaient indépendantes, et que https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20Y est uniformément distribuée sur https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20[0,1]. Aussi, pour la loi de la somme
https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20mathbb{P}(S%3Es)=int_{0}^1%20mathbb{P}(S%3Es|Y=y)f_Y(y)dy=int_{0}^1%20mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)dy
et par indépendance,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=mathbb{P}(X%3Es-y)=int_{s-y}^1%20f_X(x)dx

i.e.
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=%20int_{s-y}^1%202xboldsymbol{1}_{[0,1]}(x)%20dx=int_{max{s-y,0}}^1%202xdx
soit

https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=left[x^2<br /> ight]_{max{s-y,0}}^1=1-(max{s-y,0})^2

Aussi

https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3Es)=int_{0}^1%20big(%201-(max{s-y,0})^2%20big)dy

Première chose, on note que
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1)=int_{0}^1%20big(%201-(max{1-y,0})^2%20big)dy=int_{0}^1%20big(%201-(1-y)^2%20big)dy
i.e.
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1)=left[y+frac{(1-y)^3}{3}<br /> ight]_0^1=1+0-frac{1}{3}=frac{2}{3}
J’avais alors suggéré d’utiliser (en utilisant la propriété que pour une variable positive, l’espérance est l’intégrale de la fonction de survie) que
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_0^1%20mathbb{P}(R%3Es)ds
Or cette expression n’est valide que pour une variable strictement positive ! Or ici, il y a de forte chance (1/3) que le remboursement soit nul. Le plus simple est alors de faire des calculs classiques d’espérance. Notons que
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1+s)=left[y+frac{(1+s-y)^3}{3}%20<br /> ight]_0^1=1+frac{s^3}{3}-frac{(s+1)^3}{3}
donc un peu de calcul de dérivées permet d’écrire https://latex.codecogs.com/gif.latex?f_S(s)=s(2-s) pour https://latex.codecogs.com/gif.latex?sin[1,2]. On peut alors calculer l’espérance du remboursement
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_1^2(s-1)f_S(s)ds=int_1^2(s-1)s(2-s)ds
soit
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_1^2(s^3+3s^2-2s)ds=left[frac{s^4}{4}+s^3-s^2<br /> ight]_1^2=frac{1}{4}
Youpi, avec plein de calculs, on arrive au même résultat…

Faisons un peu de simulations pour vérifier,

> n=1000000 
> set.seed(1) 
> X=sqrt(runif(n)) 
> Y=runif(n)

On peut vérifier par exemple la densité de https://latex.codecogs.com/gif.latex?S sur https://latex.codecogs.com/gif.latex?[1,2],

> u=seq(1,2,by=.01) 
> hist(X+Y,probability=TRUE,col="light blue") 
> lines(u,u*(2-u),lwd=2,col="red")

Si on regarde maintenant la prime pure, on retrouve le résultat obtenu par deux calculs différents,

> R=(X+Y-1)*(X+Y>1) 
> mean(R) 
[1] 0.2497528

Actuariat 1, ACT2121, troisième cours

Pour la troisième série d’exercices, les exercices sont en ligne ici.

Je rappelle que lundi 29 octobre aura lieu le premier examen (qui compte pour 33,33% de la note finale, comme annoncé dans le plan de cours, en ligne ici). Il y aura 30 questions, en français, du même type que celles vues toutes les semaines. La correction se fera suivant le principe de l’examen P de la SOA

A candidate’s score will be based on the number of questions answered correctly. No credit will be given for omitted answers, and no credit will be lost for wrong answers; therefore, a candidate should answer all questions, even if the candidate needs to guess.

Actuariat 1, ACT2121, second cours

Comme la dernière fois, je mets en ligne quelques exercices (une soixantaine cette fois). On devrait commencer à parler des lois usuelles de probabilités, pour l’instant des lois discrètes

  • la loi de Poisson

Si https://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathcal{P}(lambda),

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-lambda}frac{lambda%20^k}{k!},

Dans ce cas, https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(X)=lambda et https://latex.codecogs.com/gif.latex?text{Var}(X)=lambda. La fonction génératrice des moments est alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20mathbb{E}(e^{tX})=expleft(lambda%20(e^t-1)<br />
ight)

  • la loi binomiale

Si https://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathcal{B}(n,p),

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=mathbb%20P(X%20=%20k)=%20{n%20choose%20k}%20,%20p^k%20q^{n-k}

Dans ce cas, https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb%20E(X%20)=np et https://latex.codecogs.com/gif.latex?text{Var}(X%20)=np(1-p). La fonction génératrice des moments est alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-lambda}frac{lambda%20^k}{k!},

  • la loi binomiale négative

Enfin,, si https://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20BN(r,p),

 https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20%20frac{Gamma(r+k)}{k!,Gamma(r)},p^r,q^k%20!

Dans ce cas,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20mathbb%20E(X%20)=%20frac{r(1-p)}{p}!

et

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20text{Var}(X%20)=%20frac{r(1-p)}{p^2}!

La fonction génératrice des moments est alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20mathbb{E}(e^{tX})=%20left(frac{p}{1-[1-p]%20e^t}<br />
ight)^r%20!

Je remettrais la semaine prochaine les lois continues les plus usuelles. Demain, soit on attaque cette nouvelle série, soit on revient sur des exercices de la semaine passée qui auraient posé problème…

Actuariat 1, ACT2121, premier cours

Le premier cours de l’automne d’ACT2121 actuariat I  aura lieu lundi après midi, au local SH3220. Comme il s’agit de préparer l’examen P de la SOA, nous allons passer les séances à faire des exercices. Le plan de cours sera mis en ligne prochainement. L’ouvrage de référence est le livre de Jacques Labelle, exercices de probabilités appliquées. A chaque séance, je proposerai une série de 90 exercices, et on en fera autant que possible (dans les conditions de l’examen, avec préparation de 6 minutes par exercices). Pour la première séance, les exercices sont en ligne,

Je rajouterai au fur et à mesure des compléments de cours, voire des corrections…