# Copulas and tail dependence, part 3

We have seen extreme value copulas in the section where we did consider general families of copulas. In the bivariate case, an extreme value can be written

where $A(\cdot)$ is Pickands dependence function, which is a convex function satisfying

Observe that in this case,
where $\tau$ is Kendall’tau, and can be written
For instance, if
then, we obtain Gumbel copula. This is what we’ve seen in the section where we introduced this family. Now, let us talk about (nonparametric) inference, and more precisely the estimation of the dependence function. The starting point of the most standard estimator is to observe that if $(U,V)$ has copula $C$, then
has distribution function
And conversely, Pickands dependence function can be written

Thus, a natural estimator for Pickands function is

where $\widehat{H}_n$ is the empirical cumulative distribution function of
This is the estimator proposed in Capéràa, Fougères  & Genest (1997). Here, we can compute everything here using

> library(evd)
> X=lossalae
> U=cbind(rank(X[,1])/(nrow(X)+1),rank(X[,2])/
+ (nrow(X)+1))
> Z=log(U[,1])/log(U[,1]*U[,2])
> h=function(t) mean(Z<=t)
> H=Vectorize(h)
> a=function(t){
+ f=function(t) (H(t)-t)/(t*(1-t))
+ return(exp(integrate(f,lower=0,upper=t,
+ subdivisions=10000)\$value))
+ }
> A=Vectorize(a)
> u=seq(.01,.99,by=.01)
> plot(c(0,u,1),c(1,A(u),1),type="l",col="red",
+ ylim=c(.5,1))

Even integrate to get an estimator of Pickands’ dependence function. Note that an interesting point is that the upper tail dependence index can be visualized on the graph, above,

> A(.5)/2
[1] 0.4055346

# Comparer des notes entre pays

A Montréal, l’an passé, le principal souvenir que je garderai de mon cours est le mal que j’ai eu à comprendre comment mettre des notes. Je ne ferais pas un billet sur la difficulté à évaluer le niveau d’un étudiant (car j’ai toujours détesté les examens, aussi bien en tant qu’étudiant que prof), mais j’ai une une réelle difficulté à comprendre ce que vaut une note… Par exemple, un C, ça correspond à quoi (avec mon référentiel de prof français) ? C’est bien ou pas ? C’est quoi la moyenne ?
La seule information dont on dispose pour mettre les notes est le tableau ci-contre. Et autant je pense voir ce qu’est un travail “excellent“, ou “faible“, mais “passable” ? Car le tableau me dit qu’un élève qui a 50 sur 100 a une note passable, ce qui est aussi la référence que l’on utilise en France. Sauf que les élèves ont commence à me dire que 50, c’est pas terrible… qu’une note moyenne ici c’était plutôt 60, voire 65. Bref, sous-entendu (voire entendu, tout court), “monsieur, vous devez remonter les notes“. Et comme je l’ai prouve ici, il ne faut jamais croire les élèves…
Et effectivement, dans un vieux rapport datant des années 90 (en maths et informatiques), je suis tombé sur le graphique suivant
qui donne la distribution “typique” des notes. Autrement dit, la médiane est à 63,ce qui signifie que plus de moitie a une note qui est “bien“,”très bien” voire “excellent“. En revanche, une distribution comme celle dessous est considérée comme “dure et discriminatoire
Pour mieux comprendre les notations au Canada et en France, j’ai voulu faire une petite étude (non, je ne reviendrai pas sur les notes). On continue aujourd’hui àtrouver ce genre de distribution à Montréal. Par exemple, si on considère les cours, analyse (en première année), algèbre linéaire et calcul, on a les histogrammes suivants

ce qui donne le boxplot suivant

i.e. pour les cours algèbre linéaire et calcul on est effectivement sur des moyennes autour de 60. Prenons maintenant, a titre de comparaison, des cours de maths, dans une université française, en l’occurrence a Rennes, comme analyse (en première année), arithmétique et algèbre linéaire, on a des histogrammes beaucoup plus plats,

A titre de comparaison, j’ai été voir du cote du département de Sciences Économiques, avec macroéconomie, microéconomie et mathématiques appliquées, on a

i.e. on retrouve de belles gaussiennes pour les cours d’économie, mais une distribution assez différente pour le cours de maths,

On a effectivement des distributions assez différentes, généralement, en première année à l’université, entre le Canada et la France. Ce qui explique que les profs, lorsque les étudiants souhaitent passer d’un pays a l’autre ne regarde plus vraiment les notes, mais plus le rang de l’étudiant au sein de sa promotion. D’ailleurs, si on fait un graphique quantile-quantile, avec les cours de maths à Montréal versus les cours de maths a Rennes, on a le graphique suivant

autrement dit, une note de 50 à Montréal correspond à 33 en France (soit 6.5 sur 20), alors que 50 en France (10 sur 20) correspond a 59 à Montréal. On retrouve la encore le fait qu’une note médiane correspond à 60 ici… c’est a dire un C. Il va falloir que je m’adapte l’année prochaine….