Tag Archives: π

Fin des débats sur la valeur de π

La rumeur avait agité pas mal de monde en août dernier lors du congrès international de mathématiques, à Hyderabad (même si à l’époque, ce sont surtout les médailles Fields qui avaient retenu toute l’attention, en France en tous les cas), mais finalement le communiqué de l’Union Internationale de Mathématiques (IMU) est finalement tombé hier soir: à compter du 1er juillet, π sera officiellement égal à 4.
Pour ceux qui ont suivi les débats (je n’ai eu que des bruits de couloir), Microsoft avait augmenté la pression ces derniers mois, quand le cap des 5000 milliards de décimales avait été franchi (ici). Comme l’avait dit Bill Gates avant le congrès à Hyderabad, bientôt la moitié de ma mémoire d’un processeur sera dédiée à stocker les décimales de π.

Et comme il l’avait souligné “la recherche sur les décimales de π allant plus vite que la recherche des améliorations de Windows, nous allons rapidement faire face à un choc informatique sans précédant”. Il avait comparé la situation au bug de l’an 2000 (en ajoutant que – comme il y a 11 ans – la transition se fera, selon lui, en douceur).
Dans le communiqué de l’IMU, il est mentionné que “π gardera son interprétation originelle « περίμετρος »” (périmètre en grec), et en particulier, l’IMU utilise la définition géométrique suivante:

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/animation-pi.gif

Mais en quoi cela peut avoir un intérêt pour mon blog (hormis faire mon frimeur pour montrer que j’ai compris une démonstration géométrique). Tout simplement car π joue un rôle central en statistique et en probabilité (même si on a souvent tendance à l’oublier) au travers de la loi normale ! Pareil en risk management, y compris pour va valorisation des options, mais aussi le capital réglementaire calculé dans les accords de Bâle. Les banquiers se sont réjouit de l’annonce de l’IMU hier soir, car pour ceux qui l’auraient oublié, la loi normale intervient partout en finance . En particulier dans les calculs de quantiles. Rappelons que la densité s’écrit

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/dens-gauss-pi.gif (pour les utilisateurs de R, la version 2.12.3. sera lancée exceptionnellement plus tôt afin d’intégrer cette mise à jour – et je crois que MSExcel a prévu un addins qui sera bientôt en ligne, comme pour le passage à l’an 2000).
Si on regarde “à la main” ce que vont devenir les probabilités de dépassement de seuils, on obtient

> 1-pnorm(2)
[1] 0.02275013
> integrate(f=function(x){exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)},2,+Inf)
0.02275013 with absolute error < 1.5e-05
> integrate(f=function(x){exp(-x^2/2)/sqrt(2*4)},2,+Inf)
0.02016178 with absolute error < 1.3e-05

autrement dit, la probabilité de dépasser 2 va passer de 2.27% à 2.02%. Pour les quantiles à 99.5% (utilisées par les institutions financières), on a

> qnorm4(.995)
[1] 2.543701
> qnorm(.995)
[1] 2.575829

Autrement dit la baisse est finalement relativement faible. On peut alors s’attendre à une (très) légère baisse des fonds propres des banques et institutions financières (même si pour l’instant, les instances de Bâle ne se sont pas encore prononcées).

 

"Générer" du hasard, partie 3

Pour poursuivre l’idée développée dans le billet précédant (ici), prenons une autre fonction de récurrence.

Toujours dans ces notes de cours (donné il y a un peu plus de 10 ans par Christian Gouriéroux), il y avait cette tent function que l’on retrouve sur le graphique de gauche. Si je fais tourner l’algorithme à partir de π-3, on obtient, avec une simple fonction R

[1]  0.14159265 0.28318531 0.56637061 0.86725877 0.26548246 0.53096491
[7]  0.93807017 0.12385966 0.24771932 0.49543864 0.99087728 0.01824545
[13] 0.03649090 0.07298179 0.14596358 0.29192717 0.58385434 0.83229132
[19] 0.33541736 0.67083471 0.65833057 0.68333886 0.63332228 0.73335543
[25] 0.53328913 0.93342173 0.13315654 0.26631308 0.53262615 0.93474770

Bref, ça marche bien là aussi (à condition là aussi d’avoir une écriture très longue de π). On peut là aussi montrer simplement que l’on génère une suite de nombre uniformément distribués sur [0,1], car cette loi est invariante par la fonction de récurrence (tout comme celle proposée par Whittle). Mais on n’a toujours pas d’indépendance….

“Générer” du hasard, partie 2

Une première piste (qui n’est pas de moi mais qui a été proposé par Peter Whittle en 1963, et que j’ai retrouvé dans des notes prises lors d’un cours de Christian Gouriéroux) est une idée simple de récurrence. On prend un nombre u entre 0 et 1 (si possible irrationnel, sinon ça n’a pas grand intérêt), et on considère la suite. Par exemple si on prend comme valeur initiale π-3, on obtient, avec une simple fonction R

[1]  0.14159265 0.28318531 0.56637061 0.13274123 0.26548246 0.53096491
[7]  0.06192983 0.12385966 0.24771932 0.49543864 0.99087728 0.98175455
[13] 0.96350910 0.92701821 0.85403642 0.70807283 0.41614566 0.83229132
[19] 0.66458264 0.32916529 0.65833057 0.31666114 0.63332228 0.26664457

Bref, ça marche bien (à condition numériquement d’avoir une écriture avec un nombre infini de décimales).  Le plus simple est de passer en base 2 (on peut trouver π en base 2 sur le net, par exemple ici). Bref, on peut obtenir la série suivante,
Plus généralement sur le caractère aléatoire des décimales de π, je renvoie aux publications de David H. Bailey (ici).
Bref, cette méthode pourrait marcher car on génère effectivement des nombres uniformément sur l’intervalle [0,1]… sauf que les tirages ne sont pas du tout indépendants. On observe un beau processus autorégressif AR(1), avec une autocorrélation  en 2-h.
XXBref, en l’état cette méthode n’est pas vraiment géniale pour générer du “hasard“… à suivre donc.