… que je ne peux m’empêcher de partager (afin de me sentir moins seul)
En surfant sur la toile (ici) j’ai appris que “60% de la population vit au-dessous du revenu médian”. Damned ! Je comprend que les classes moyennes ne soient pas très contentes…

… que je ne peux m’empêcher de partager (afin de me sentir moins seul)
En surfant sur la toile (ici) j’ai appris que “60% de la population vit au-dessous du revenu médian”. Damned ! Je comprend que les classes moyennes ne soient pas très contentes…


Exposé au R.I.S.K. Symposium à la Caisse des Dépôts à Paris, sur le fonctionnement des systèmes de retraites, dans une table ronde sur “Conditions de pérennité du système des retraites”.

J’étais invité à une table ronde avec David Adam (de la Banque de France) et Frédéric Planchet (de Winter et associés). Je continue à m’interroger sur ma légitimité dans un tel débat (face à des interlocuteurs qui connaissent mille fois mieux le sujet que moi), mais il y a bien un ou deux points sur lesquels je devrais pouvoir rebondir. Enfin j’espère. En tous les cas, mes slides sont ici.
En fait, ce qui m’a surpris en tant qu’économiste (je ne reviendrais pas sur le débat initié sur certains blogs pour savoir si oui ou non j’étais un économiste), c’est le parallèle tellement simple que l’on peut faire entre les interrogations sur les systèmes de retraites, et le débat qui a lieu ces jours-ci sur le réchauffement climatique. Ou comment piloter sur du très long terme quand on a du mal à faire des prévisions à un tel horizon. D’ailleurs sur le climat, je renvoie en particulier vers le rapport Stern (ici ou là) sur la problématique de l’actualisation (qui se retrouve à l’identique dans la problématique du pilotage des systèmes de retraites). Bref, pour ceux qui veulent ces choses intelligentes sur le sujet, rien ne sert de venir m’écouter parler, je peux renvoyer vers Charpentier (2009). Mais je ne pourrais pas faire illusion longtemps: il s’agit d’un travail remarquable (je trouve) de François Charpentier – avec qui je ne crois pas avoir de lien de parenté (proches en tous les cas).
A chaque fois que je prends le métro à Paris, ou que je traverse la gare Montparnasse en descendant du train, je suis surpris par les affiches de publicités qui nous harcèlent. Mais ce qui me surprendra le plus, ce sont les compagnes où on nous présente un Stéphane, un Mathieu, voire un Jean-Pierre, qui doivent nous rendre les affiches plus “humaines” (enfin, je pense). Les gens qui font du marketing ne sont pas forcément stupides (même si personnellement, me montrer la gentille bouille de Stéphane ne va pas me faire aimer quelqu’un qui verbalise des usagers à deux-roues), et je me suis demandé si le choix du prénom (oui, je suis persuadé que le brave Stéphane de l’affiche ne s’appelle pas Stéphane… depuis quand le monde de la pub’ coïnciderait avec le monde réel ? même mes enfants savent que ce n’est pas le cas) était vraiment pertinent…. Bref, j’ai demandé au réseau Quetelet un accès à la base des prénoms…

Pour mon nouvel ami Stéphane, on note effectivement que les Stéphane ont, en moyenne, un peu plus de 36 ans (comme sur la photo), et si on regarde les quantiles, la moitié ont entre 32 ans (quantile à 25%) et 41 ans (quantile à 75%). Bref, on cible bien les trentennaires.


On retrouve bien un flash pendant une petite dizaine d’années, plutôt dans la partie nord de la France… Bref, la campagne semble très ciblée….

Pour les Mathieu, on veut nous vendre des téléphones portables, je crois…Et effectivement, on est sur un âge moyen beaucoup plus faible, de l’ordre de 25 ans. En revanche, un peu plus étalé que tout à l’heure, avec la moitié ayant entre 15 et 28 ans.

Ici la distribution est plus étalée sur la France, dans le temps,


Bon, le dernier, c’est Jean-Pierre…. alors Jean-Pierre, on ne peut pas trop le voir. On voit qu’il captive des enfants1 en leur racontant son expérience, ce qui correspondrait à une personne un peu âgée, avec de l’expérience. Alors effectivement, si on regarde dans l’historique, les Jean-Pierre ont 55 ans en moyenne, avec 50% entre 50 et 62 ans.

Et là aussi, on retrouve une population proche des Mathieu quant à sa répartition géographique (des pays de cheminots ?).

1 au delà de la fascination exercée par notre ami Jean-Pierre sur ces élèves, pour ma part, ce sont les élèves qui me fascinent… une classe presque exclusivement constituée de gauchers ! peut être pour accentuer le fait qu’il ne faut pas croire que la pub’, c’est comme dans la vraie vie, je ne sais pas… Remarquez, je n’ai rien contre les gauchers sur les photos ! mais c’est un peu comme les auvergnats: un ça va, mais c’est quand il y en a trop que ça devient gênant….
Tous les bloggers d’économie se sentent régulièrement obligés de parler de ce film culte… et je n’y couperais par aujourd’hui.
Ce week end, en sortant de l’exposition sur les mammouths à Rennes avec mon fils, on est passé à la fête de la science, voir si on pouvait faire quelques casses têtes à un stand tenu par des collègues de Beaulieu. Et là, un petit problème de théorie des jeux m’a été soumis, et je ne pouvais pas passer à côté de l’occasion (surtout quand on connaît la morale) d’en parler ici.
Tout le monde connaît la scène du “duel à trois” où le bon, la brute et le truand se font face… Pour les besoin du jeu, on va faire quelques hypothèses (c’est le principe de base d’un jeu: il faut une règle),
..La question est simple “que doit faire Clint, alias Blondin ?“. Raisonnons simplement en étudiant les scénarios,
mais on a regarder ce qui se passait si, par malheur, Blondin tuait quelqu’un… peut être devrait on se demander ce qu’il se passait s’il rate son coup
Bref, en ratant son premier tir, il augmente ses chances de gagner…. je laisse les personnes intéressées faire les maths, mais ce petite exemple montre clairement que, dans la vie, il est parfois optimal de ne rien faire !
1 a priori on peut supposer aussi un jeu à la roulette russe, avec une balle chacun, qui doit arriver à la même conclusion…
Tous les blogs économiques saluent la parution en poche du joli petit livre de Daniel Zajdenweber, Economie des Extrêmes. En particulier, beaucoup de monde salue ce livre qui explique simplement des choses complexes…. Par exemple Alexandre dès 2001 “Passé le premier chapitre, un peu ardu, et qui nécessite du lecteur des connaissances de base en statistique et probabilités (notion de lois de probabilité, d’espérance, de variance…) qui décrit en termes littéraires les caractéristiques de ces lois, l’auteur applique ces résultats à un grand nombre de phénomènes concrets, et en tire les conséquences“. Mais peut-on parler d’économie des extrêmes sans être technique ?Histoire que mon message ne soit pas déformé, je trouve passionnant ce petit livre introductif à la problématique des risques extrêmes (qui est un de mes dadas depuis quelques années) mais j’espère qu’il servira d’encouragement à une lecture d’ouvrages plus détaillés sur le sujet. Car la vulgarisation a des limites que l’on atteint vite quand on parle de sujets aussi complexes.

L’exemple que j’ai le plus étudié est celui des sinistres de perte d’exploitation (longuement évoqué par Daniel Zajdenweber dans son livre). Il y a quelques années j’avais utilisé cette partie du livre comme base pour faire un sujet d’examen pour le cours de “réassurance et grands risques” que je donnais alors à l’ENSAE1. Et malheureusement, mes compétences littéraires sont très limitées, donc je vais faire des maths. Dans le livre, la figure suivante est présentée,

qui correspond effectivement à la fonction tracée dès 1925 par Karl Gustav Hagstroem (j’avais souligné (ici) ses travaux précurseurs où l’intérêt de la loi de Pareto pour modéliser les très grands riques apparaissait pour la première fois). C’est en effet assez naturel: si on a une loi de Pareto, i.e.

alors on pourrait écrire, en passant au logarithme

Si on représente la version empirique, c’est à dire le nuage de points

alors pour une loi de Pareto, les points devraient être alignés suivant une droite, et la pente doit correspondre au paramètre de la fonction puissance. C’est visiblement l’idée exploitée ici.

Autrement dit, les pointillés ne sont un intervalle de confiance, mais juste un outils graphique pour se demander si la pente vaut 1, ou pas. Daniel Zajdenweber affirme que la pente doit ici être -1.

Le fait que la valeur soit unitaire ou pas a en effet un impact très important en terme d’assurabilité du risque de perte d’exploitation. Rappelons que pour une variable positive (et c’est le cas ici). Et si on a une telle loi de Pareto (de puissance unitaire), alors la prime pure d’un traité de réassurance, couvrant entre m et M s’écrit

soit

ce qui correspond aux calculs de Daniel Zajdenweber… Mais encore une fois “l’absence d’espérance mathématique de la distribution des sinistres” est une conclusion très forte sur laquelle on peut essayer de revenir.

aussi ici

autrement dit, l’espérance est finie si la pente est strictement plus grande (en valeur absolue) que 1. Si la pente est inférieure (ou égale) à 1, le risque n’est pas assurable ! Ce qui est une conclusion très très forte pour les assureurs.
J’ai donc demandé à la FFSA la base de données utilisée ici, et pour éviter des problèmes d’inflation des coûts de sinistres entre 1992 et 2000. Si je prends tous les sinsitres, on obtient l’ajustement de Pareto suivant

soit une pente (en valeur absolue de 1.47). Mais encore une fois, l’ajustement de Pareto se fait sur les grands sinistres. Hill a proposé un estimateur très populaire pour estimer ce coefficient, où on ne prend en compte que les k observations les plus grandes, et on regarde l’estimation de la pente du graphique de Pareto pour ces quelques valeurs. On représente alors l’estimation en fonction du nombre de grands sinistres, ou du seuil définissant les graphs sinistres. Numériquement, en posant

on peut écrire comme estimateur de la pente

soit, en simplifiant le numérateur,

tel que l’a construit Hill en 1975. Graphiquement, on a ici

Bref, la question est ce savoir si on atteint la valeur 1 pour les grands sinistres. Graphiquement, on a malgré tout envie de rejeter cette hypothèse.
Une solution peut être de faire un test statistique, basé sur de ratio de vraisemblance, comme le suggèrent Reiss & Thomas (2001) or Coles (2001). En fait, on peut même utiliser d’autres estimateurs que celui de Hill, comme celui obtenu en faisant un ajustement de loi GPD (Pareto généralisée
) sur la loi des Excès, ou une loi GEV sur des maximas par blocs (Generalized Extreme Value). On introduit alors la statistique de test suivante

et on regarde les p-value (ainsi que la correction de Bartlett à droite),

On peut aussi, plus simplement, estimer plusieurs coefficients de pentes pour des seuils différents, et regarder la borne supérieure de l’intervalle de confiance,

Bref, même si avec un des ajustements de loi GPD on hésite à retenir une pente unitaire, la plupart des tests rejettent cette hypothèse, et donc le risque de perte d’exploitation semble être assurable, d’espérance mathématique finie. Bref, les dessins c’est très bien pour faire passer une idée, mais ne retenir que ça pour en tirer des conclusions aussi fortes me laisser sceptique….
Un petit billet aujourd’hui sur les méthodes de provisionnements, et sur les calculs d’incertitude à 1 an, ou à l’ultime, de montants de provisions pour sinistres restant à payer…. Ce sujet avait été évoqué ici (surtout dans les commentaires à l’époque).
Le mse dans le cadre du modèle de Mack est proposé dans la library(ChainLadder), via la fonction MackChainLadder(). Sur le triangle utilisé dans les exemples et formations en provisionnement, on obtient les mse estimés suivants
> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/bases.R")
> library(ChainLadder)
> MackChainLadder(PAID)
MackChainLadder(Triangle = PAID)
Latest Dev.To.Date Ultimate IBNR Mack.S.E CV(IBNR)
1 4,456 1.000 4,456 0.0 0.000 NaN
2 4,730 0.995 4,752 22.4 0.639 0.0285
3 5,420 0.993 5,456 35.8 2.503 0.0699
4 6,020 0.989 6,086 66.1 5.046 0.0764
5 6,794 0.978 6,947 153.1 31.332 0.2047
6 5,217 0.708 7,367 2,149.7 68.449 0.0318
Totals
Latest: 32,637.00
Ultimate: 35,063.99
IBNR: 2,426.99
Mack S.E.: 79.30
CV(IBNR): 0.03
Mais il s’agit fondamentalement d’une formule sur l’estimation ultime de la charge. Pour une année de survenance donnée, la formule dérivée par Thomas Mack ressemble à ça

(honteusement emprunté dans des slides de Mario Wüthrich, par paresse, ici), où pour rappel,

Pour faire simple, il existe une formule fermée, un peu complexe, et une simplification, reposant sur l’idée que, si on note

alors, Michael Merz et Mario Wüthrich ont montré que

Le code sur le triangle mentionné ici donne le résultat suivant (ce code est parfois appelé dans divers documents MackMerzWuthrich.R)
> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/merz-wuthrich-triangle.R")
> MSEP_Mack_MW(PAID,0)
MSEP Mack MSEP observable approchée MSEP observable exacte
1 0.0000000 0.000000 0.000000
2 0.6393379 1.424131 1.315292
3 2.5025153 2.543508 2.543508
4 5.0459004 4.476698 4.476698
5 31.3319292 30.915407 30.915407
6 68.4489667 60.832875 60.832898
7 79.2954414 72.574735 72.572700
La dernière ligne (notée ici 7 correspond au total – toutes années de survenance confondues). Ici, on regarde l’erreur à un an. Et Mario Wüthrich concluait – lors d’une jolie école d’été à Lyon il y a quelques années – en notant le point suivant

Sur le triangle étudié ici, on était à 91%. Mais supposer que l’on soit inférieur à 1 est un point qu’il me semble intéressant de discuter…
Dans un billet datant un peu (ici), on laissait entendre qu’il était sûrement possible que l’incertitude à court terme excède l’incertitude à long terme.
Arnaud Lacoume a trouvé un vrai triangle dans lequel l’incertitude de court terme excède l’incertitude à long terme (détaillé ici dans une feuille xls). Pour information, il s’agit du risque GAV, garanties accidents de la vie, bref, rien de très exotique…
> Triangle = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/GAV-triangle.csv",sep=";")
Si on utilise le code gentiment offert par Arnaud, on note qu’effectivement, l’incertitude à 1 an est grande, très grande…
> MSEP_Mack_MW(Triangle,0) MSEP Mack MSEP observable approchée MSEP observable exacte 1 0.00 0.0 0.0 2 12459.74 129692.2 152605.9 3 209431.14 214136.5 214419.6 4 258003.38 198072.3 198773.0 5 3055297.40 3048489.5 3065525.1 6 58429393.29 57056117.3 67375794.0 7 58669646.13 57301552.4 67586106.6
On note ici que le MSE exact à un an (car Merz et Wüthrich proposent aussi une formule approchée, basée sur une approximation qui contraint l’estimation à un an à être inférieure à l’estimation à horizon ultime) est – si on regarde toutes années de survenance confondues – 15% plus élevé que le MSE à ultime. Avec un résultat du même ordre pour la dernière année (ce n’est donc pas un problème d’agrégation). On peut jouer à simuler des triangles, via un processus de déroulé de paiements.
Regardons par exemple le code suivant pour simuler des triangles. L’idée est ici que l’on n’a pas d’incertude sur la valeur à l’ultime,
> M=matrix(NA,10,10)
> for(i in 1:10){
+ X=rexp(10)
+ Y=cumsum(X)/sum(X)
+ M[i,1:(11-i)]=Y[1:(11-i)]*100}
> Triangle = M
On tire des variables positives, car on veut un modèle à incréments positifs. Par exemple, une des simulations a donné le triangle suivant
> Triangle [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 35.4 36.3 38.2 47.6 50.7 66.1 71.3 72.1 98.7 100 [2,] 15.5 20.2 22.3 23.7 63.9 68.2 75.9 79.3 95.1 NA [3,] 4.1 30.3 32.3 33.3 49.4 53.1 62.8 77.1 NA NA [4,] 1.1 19.4 38.9 41.9 48.0 66.5 68.3 NA NA NA [5,] 0.3 7.2 10.8 17.8 28.1 30.1 NA NA NA NA [6,] 15.6 32.2 46.0 50.6 68.1 NA NA NA NA NA [7,] 4.0 9.9 10.6 15.8 NA NA NA NA NA NA [8,] 6.1 24.0 29.4 NA NA NA NA NA NA NA [9,] 0.0 0.5 NA NA NA NA NA NA NA NA [10,] 2.3 NA NA NA NA NA NA NA NA NA
En faisant le calcul sur les mesures d’incertitude à la Merz & Würthrich, on obtient une très grande incertitude à court terme,
> MSEP_Mack_MW(Triangle,0) MSEP Mack MSEP observable approchée MSEP observable exacte 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 6.820602 12.776729 118.050196 3 13.377536 13.119557 13.126625 4 17.415678 13.638880 13.651131 5 11.797752 5.574916 5.580840 6 26.767233 18.407916 18.429069 7 27.184076 23.725348 23.773581 8 44.100071 16.410374 16.444281 9 7.227724 3.450343 3.460982 10 54.012270 49.443633 49.593284 11 99.184167 85.042393 145.008282
Ici je suis 50% plus élevé ! Bon, mais c’est beau de montrer pourquoi une idée partagée par beaucoup de monde n’est pas toujours vraie…mais il reste à comprendre plus en détails le pourquoi … à suivre donc !
En attendant, je mets ici le code utilisé pour quantifier cette incertitude à un
### MERZ & WUTHRICH
MWChainLadder <- function(Trian, bool = 0, warning = FALSE){
## variables
I <- nrow(Trian)
J <- ncol(Trian)
diag <- matrix(NA,I,1)
diag_inv <- matrix(NA,I,1)
S_I <- matrix(NA,1,J)
S_II <- matrix(NA,1,J)
Phi <- matrix(NA,I,1)
Psi <- matrix(NA,I,1)
Delta <- matrix(NA,I,1)
Gamma <- matrix(NA,I,1)
Lambda <- matrix(NA,I,1)
Upsilon <- matrix(NA,I,1)
cov_obs <- matrix(0,I,J)
cov_reel <- matrix(0,I,J)
msep_obs <- matrix(NA,1,J+1)
msep_reel <- matrix(NA,1,J+1)
Delta[1] <- Phi[1] <- Psi[1] <- Upsilon[1] <- Lambda[1] <- 0
Mack<-MackChainLadder(Trian)
Mack$sigma[J-1] <- sqrt(min(Mack$sigma[J-2]^4/
Mack$sigma[J-3]^2,min(Mack$sigma[J-2]^2,Mack$sigma[J-3]^2)))
#plot(Mack)
for (i in 1:I){
diag[i] = Trian[i,I-i+1]
diag_inv[i] = Trian[I-i+1,i]
}
for (j in 1:J){
S_I[j] <- sum(Trian[1:(I-j),j])
S_II[j] <- sum(Trian[1:(I-j+1),j])
}
S_I[I] <- 0
Delta[2] <- Mack$sigma[I-1]^2/(S_I[I-1]*(Mack$f[I-1])^2)
Phi[2] <- 0
Psi[2] <- Mack$sigma[I-1]^2/(diag[2]*(Mack$f[I-1])^2)
Upsilon[2] <- Mack$sigma[I-1]^2/(S_II[I-1]*(Mack$f[I-1])^2)
Lambda[2] <- diag[2]*Mack$sigma[I-1]^2/((Mack$f[I-1]^2)*S_II[I-1]*S_I[I-1])
for (i in 3:I){
Delta[i] <- Mack$sigma[I-i+1]^2/(S_I[I-i+1]*(Mack$f[I-i+1])^2) + sum(
(diag_inv[(I-i+2):(J-1)]/S_II[(I-i+2):(J-1)])^2*
Mack$sigma[(I-i+2):(J-1)]^2/(S_I[(I-i+2):(J-1)]*(Mack$f[(I-i+2):(J-1)])^2))
Phi[i] <- sum((diag_inv[(I-i+2):(J-1)]/S_II[(I-i+2):(J-1)])^2*
Mack$sigma[(I-i+2):(J-1)]^2/(diag_inv[(I-i+2):(J-1)]*(Mack$f[(I-i+2):(J-1)])^2))
Psi[i] <- Mack$sigma[I-i+1]^2/(diag[i]*(Mack$f[I-i+1])^2)
Upsilon[i] <- Phi[i] + Mack$sigma[I-i+1]^2/(S_II[I-i+1]*(Mack$f[I-i+1])^2)
Lambda[i] <- diag[i]*Mack$sigma[I-i+1]^2/((Mack$f[I-i+1]^2)*S_II[I-i+1]*S_I[I-i+1]) + sum(
(diag_inv[(I-i+2):(J-1)]/S_II[(I-i+2):(J-1)])^2*
Mack$sigma[(I-i+2):(J-1)]^2/(S_I[(I-i+2):(J-1)]*(Mack$f[(I-i+2):(J-1)])^2))
}
Gamma = Phi + Psi
#MSEP par acc. year
for (i in 1:I){
msep_obs[i] = Mack$FullTriangle[i,J]^2 * (Gamma[i] + Delta[i])
msep_reel[i] = Mack$FullTriangle[i,J]^2 * (Phi[i] + Delta[i])
}
#Covariance
for (i in 2:(I-1)){
for (k in (i+1):I){
cov_obs[i,k] <- Mack$FullTriangle[i,J]*Mack$FullTriangle[k,J]*(Upsilon[i] + Lambda[i])
cov_reel[i,k] <- Mack$FullTriangle[i,J]*Mack$FullTriangle[k,J]*(Phi[i] + Lambda[i])
}
}
#MSEP aggregated
msep_obs[I+1] = sum(msep_obs[2:I]) + 2*sum(cov_obs)
msep_reel[I+1] = sum(msep_reel[2:I]) + 2*sum(cov_reel)
##################################################################################################################
## EXACTES
##################################################################################################################
#DÈclaration des variables
facteur <- matrix(1,I,1)
Phi_exact <- matrix(NA,I,1)
Psi_exact <- matrix(NA,I,1)
Gamma_exact <- matrix(NA,I,1)
Upsilon_exact <- matrix(NA,I,1)
cov_obs_exact <- matrix(0,I,J)
cov_reel_exact <- matrix(0,I,J)
msep_obs_exact <- matrix(NA,1,J+1)
msep_reel_exact <- matrix(NA,1,J+1)
Phi_exact[1] <- Upsilon_exact[1]<- Gamma_exact[1] <- 0
# i=2
Phi_exact[2] <- Psi_exact[2] <- 0
Gamma_exact[2] <- Mack$sigma[I-1]^2/(diag[I-1]*(Mack$f[I-1])^2)
Upsilon_exact[2] <- Mack$sigma[I-1]^2/(S_II[I-1]*(Mack$f[I-1])^2)
# loop for prior
for (i in 3:I){
facteur[i] <-prod(1 + diag_inv[(I-i+2):(J-1)]*(Mack$sigma[(I-i+2):(J-1)]^2)/((S_II[(I-i+2):(J-1)]*
Mack$f[(I-i+2):(J-1)])^2))
Phi_exact[i] <- (1 + Mack$sigma[I-i+1]^2/(diag_inv[I-i+1]*(Mack$f[I-i+1])^2))* (facteur[i]-1)
Psi_exact[i] <- (1 + Mack$sigma[I-i+1]^2/(S_II[i]*(Mack$f[I-i+1])^2)) * Phi[i] /
(1 + Mack$sigma[I-i+1]^2/(diag_inv[I-i+1]*(Mack$f[I-i+1])^2))
Upsilon_exact[i] <- (1 + Mack$sigma[I-i+1]^2/(S_II[I-i+1]*(Mack$f[I-i+1])^2))* facteur[i]-1
Gamma_exact[i] <- (1 + Mack$sigma[I-i+1]^2/(diag_inv[I-i+1]*(Mack$f[I-i+1])^2))* facteur[i]-1
}
#MSEP per accident year
for (i in 1:I){
msep_obs_exact[i] = Mack$FullTriangle[i,J]^2 * (Gamma_exact[i] + Delta[i])
msep_reel_exact[i] = Mack$FullTriangle[i,J]^2 * (Phi_exact[i] + Delta[i])
}
#Covariance
for (i in 2:(I-1)){
for (k in (i+1):I){
cov_obs_exact[i,k] <- Mack$FullTriangle[i,J]*Mack$FullTriangle[k,J]*(Upsilon_exact[i] + Lambda[i])
cov_reel_exact[i,k] <- Mack$FullTriangle[i,J]*Mack$FullTriangle[k,J]*(Psi_exact[i] + Lambda[i])
}
}
#MSEP ag.
msep_obs_exact[I+1] <- sum(msep_obs_exact[2:I]) + 2*sum(cov_obs_exact)
msep_reel_exact[I+1] <- sum(msep_reel_exact[2:I]) + 2*sum(cov_reel_exact)
##################################################################################################################
##Outputs Fonction
##################################################################################################################
msep_Mack <- array(0,c(1,I+1))
msep_Mack[1:I] <- Mack$Mack.S.E[,I]
msep_Mack[I+1] <- Mack$Total.Mack.S.E
Vari <- array(0,c(1,I+1))
for (i in 1:I){
Vari[i] <- Mack$FullTriangle[i,J]^2 * Psi[i]
}
Vari[I+1] <- sum(Vari[1:I])
# complete vision
if(bool==1){
result <- cbind(t(msep_Mack), t(sqrt(Vari)), t(sqrt(msep_obs)), t(sqrt(msep_obs_exact)), t(sqrt(msep_reel)), t(sqrt(msep_reel_exact)))
result <- as.data.frame(result)
l <- list("Variance CDR", "MSEP Mack","MSEP obs. approx.","MSEP obs. exact", "MSEP real approx.","MSEP real exact")
names(result) <- l
return(result)
}
#si l'on souhaite uniquement l'aspect solvabilité
if(bool==0){
result <- cbind(t(msep_Mack), t(sqrt(msep_obs)), t(sqrt(msep_obs_exact)))
result <- as.data.frame(result)
l <- list("MSEP Mack","MSEP obs. approx","MSEP obs. exact")
names(result) <- l
return(result)
}
}
Je ne sais pas si c’est la proximité avec Halloween, mais je trouvais ce vendredi 13 qui s’annonce avait quelque chose de spécial.. Et tant pis si après mes études sur les jours de naissance les jours de pleine lune, je passe définitivement pour un mystique. Disons plutôt que j’aime bien interroger les croyances de grands mères…. de la même manière que j’aime questionner les pratiques des actuaires (souvent pleines de bon sens, mais parfois un peu bancales).
Le problème avec les vendredi 13 est que l’on ne sait jamais si c’est un jour qui porte chance, ou au contraire un jour qui doit porter malheur… Dans le doute,
je n’ai pas pu m’empêcher de mettre quelques trèfles à quatre feuilles, des brin de muguet et un pompon de marin.. Comme disait un très grand scientifique, “je n’y crois pas, mais il parait que ça marche même pour ceux qui n’y croient pas“. Je ne vais donc pas me priver !
Bon notons tout d’abord qu’avoir un vendredi 13 n’a rien d’exceptionnel… il y en a déjà au moins un par an. Mais ce qui est troublant c’est que le 13 d’un mois a plus de chances de tomber un vendredi qu’un autre jour.
Pour avoir un cycle de semaines entières, il faut compter 400 ans, soit 20871 semaines (ce que l’on appelle un cycle grégorien). Mais en 400 ans, on a 4800 mois, soit 4800 “13”… qui n’est pas divisible par 7, ce qui tend à laisser penser que certains jours de la semaine tomberont (un peu) plus souvent que les autres… Et Brown a montré que c’était le cas (dès 1933, dans le American Mathemical Monthly1). Pour les amateurs, Jean-Luc Nothias avait fait un article en mars dernier sur le sujet (ici).
De plus, certains auteurs ont tenté des études statistiques sur le sujet. Par exemple, en 1993, le British Medical Journal avait publié un article sur le sujet (“Is Friday the 13th Bad for Your Health?” , ici) “Friday 13th is unlucky for some. The risk of hospital admission as a result of a transport accident may be increased by as much as 52 percent. Staying at home is recommended.” Bon, on va essayer de jeter un oeil….
Les données a notre disposition (gentillement données par la Caisse d’Assurance Maladie) correspondent au nombre de consultations d’un médecin généraliste, par jour… Bon, ces données présentent un soucis technique: les données arrivent avec un (léger) délai, et les données du vendredi arrivent regroupées avec celles du samedi et du dimanche le mardi suivant. On ne peut donc pas comparer un vendredi au jeudi précédant par exemple… Pour éviter ce genre de soucis, la stratégie la plus simple consiste à comparer le nombre de consultations chez le médecin….

avec en rouge les vendredi 13, et en jaune la moyenne des vendredi 6 et 20…. Vu de loin, on consulte un peu plus les vendredi 13 que les vendredi avant et après. Si on fait un test de Student (quelle que soit l’hypothèse alternative) on rejette l’hypothèse comme quoi on conculte plus son médecin un vendredi 13…
> t.test(V13,V)
Welch Two Sample t-test
data: V13 and V
t = 0.6126, df = 9.052, p-value = 0.5552
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
Mais peut être est-ce par qu’une consultation chez le médecin généraliste n’est pas associé à de la “malchance” ?
Cherchons autre chose que l’on pourrait associer à cette prétendue “malchance“. Si on regarde les communes classées catastrophes naturelles en France, entre août 1982 et mars 2008, il y a eu 131 285 classements de communes comme touchées par une catastrophe naturelle.(et paru au Journal Officiel, ces données sont publiques). Seuls 393 classements ont été fait un vendredi 13, ce qui pourrait sembler très faible… En fait, cette série est très ératique.

Le graphique montre l’évolution du nombre de classements les mois où il y a eu un vendredi 13. Statistiquement, on pourrait noter qu’il y a beaucoup plus de communes touchées par une catastrophe naturelle un mercredi 11 par exemple… Bref, la base semble inutilisable pour cette étude… simplement car un cinquième des classements concernent les tempêtes de décembre 1999 (ou plutôt les inondations qui ont suivies, car les tempêtes sont exclues du régime cat nat, en métropole).

J’aurais préféré avoir d’autres données d’assureurs, mais comme toujours, lorsque j’ai demandé les données, on m’a expliqué que c’étaient des données sensibles, et que je ne pourrais rien avoir ! Fort heureusement, il me reste quelques jeux de données…. en particulier une base de gros sinistres de sinistres en perte d’exploitation en France.
Cette fois, ma base va de début 1985 à fin 2000, avec en tout 2387 sinistres (cette fois l’interpréation devrait être plus simple car les données sont identifiées comme des sinistres). Au final 17 sinistres majeurs2 se sont produits un vendredi 13. Cette fois, le chiffre est significativement grand, car par exemple, seulement 4 se sont produit un jeudi 12, et 9 un samedi 14…

Là encore, si on regarde ce qui s’est passé les mois où il y avait un vendredi 13, on note qu’il y a eu beaucoup de sinistres ces jours là… Envie de faire un test ? On a en tout 2387 sinistres à faire tomber sur 5824 jours, parmi lesquels, on compte 27 vendredi 13. Bref, en supposant les sinistres indépendants, chaque sinistre à une probabilité de 0,463% de tomber un vendredi 13. Le nombre de sinistres tombant un vendredi 13 est donc supposé suivre une loi binomiale

On pourrait espérer avoir 11 sinistres qui tombent un vendredi 13 (et on en observe 17). Si on calcule le quantile à 95%, on tombe sur 17. En fait, on avait environ 1 chance sur 20 d’avoir autant de sinistres ces jours là…. ce qui correspond exactement au seuil que l’on retient pour juger de la significativité d’un test (comme je l’évoquais un peu ici). Bref, on ne peut pas vraiment conclure….
En fait, comme il s’agissait de sinistres d’entreprises, je pensais qu’il y aurais un biais, car (par définition) les vendredi 13 tombent un vendredi, et que les jours de semaines devaient avoir plus de sinistres que les jours de week end. Mais ce n’est pas le cas

Bref, on est dans la zone d’incertitude des tests statistiques….
Mais on peut aussi utiliser une base d’incendies intreprises que j’ai sous le coude depuis quelques années, avec des sinistres survenus entre 1982 et 1996. Cette base contient 9613 gros sinistres: En utilisant la même méthode que pour les sinistres de perte d’exploitation, on note que beaucoup d’incendies sont survenus un vendredi 13 dans cette base: 52. C’est un peu plus que ce que nous aurions pu espérer, à savoir 45,62. Là encore, en notant que le nombre d’incendies devrait suivre une loi binomiale, notons qu’il y avait 15,4% de chances d’atteindre 52 sinistres, ce qui n’est – cette fois-ci – pas particulièrement rare.

Par contre, sur cette base, l’effet week end semble plus prononcé, ce qui semble aller dans le sens que ces 52 sinistres, c’est loin d’être exceptionnellement elévé pour un jour de semaine.

On pourrait aussi parler de karma, ou de chose dans le genre….
1 B. H. Brown, “Solution to Problem E36”, American Mathematical Monthly, vol. 40, issue 10 (1933), p. 607 Pour faire simple, un cycle grégorien correspond à 400 années, soit 136097 jours, ou encore 20 871 semaines. Si on regarde la distribution des jours on voit que samedi et jeudi tombent 684 fois, lund et mardi 685, mercredi et dimanche 687, et vendredi 688. Bon, d’accord, je pinaille…

2 pour les plus curieux, ou les plus sceptiques, je mets ici les codes pour ceux qui veulent jouer avec les données… c’est un exercice amusant pour jouer avec la manipulation de dates sous R…
> B1=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/data-cat-nat.txt",header=TRUE)
> B2=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/data-pe.txt",header=TRUE)
> B4=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/data-incendies.txt",header=TRUE)
> B3=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/date-v13.txt",header=TRUE)
> B2$DATEPE=as.character(B2$DATEPE)
> x2=as.Date(B2$DATEPE,"%d/%m/%Y")
> B3$date=as.character(B2$date)
> x3=as.Date(B3$date,"%d/%m/%Y")
> p2=sum((x3>=min(x2))&(x3<=max(x2)))/as.numeric(max(x2)-min(x2))
> n2=length(x2); n2*p2
> qbinom(.05,n2,p2); qbinom(.95,n2,p2)
> pbinom(sum(x2%in%x3) ,n2,p2)
> NOM=weekdays(x3[1]+1:7-5)
> S=rep(NA,7)
> for(i in 1:7){S[i]=sum(weekdays(x2)==NOM[i])}
> barplot(S,names.arg=NOM,col="light blue")
voilà pour les sinistres en perte d’exploitation… le reste n’est qu’une variation sur le même thème…
Ce week-end – merci à Serge qui m’a raconté cette histoire – beaucoup de mes illusions de jeunesse se sont envolées…. Mais gardons un peu de suspens pour que mes lecteurs lisent le billet en entier….

Le jeu “pierre, ciseaux, feuille” semble être né en Chine (soit sous le joli nom 五雜俎, alias wuzazu, datant de la fin de période Ming, soit 手勢令 i.e.shoushiling) ou au Japon (soit sous la forme 一二三 , i.e. Hi-fu-mu, c’est à dire un, deux, trois,soit じゃんけんぽん ou plus simplement じゃんけん, alias janken , lui même basé sur deux anciens jeux, 数拳 – su ken – et 三すくみ拳 -saan sukumi ken). Pour rappel, la pierre (ぐう) bat les ciseaux (ちょき) qui bat à la feuille (ぱあ) qui à son tour bat la pierre. Bref, ce jeux vient d’orient !
Pour preuve, en avril 2005, Takashi Hashiyama, alors président de Maspro Denkoh Corporation, une entreprise d’électronique située à Nagoya, au Japon, n’arrivait pas à savoir chez qui (entre Christie’s et Sotheby’s) il allait vendre sa collection d’art (estimée à plus de 20 millions de dollars). N’arrivant pas à choisir, le choix s’est fait par “pierre, ciseaux, feuille” (ici).
Pour comprendre ce jeu, il faut revenir un peu sur des résultats classiques de théorie des jeux. La matrice de gain pour le joueur X est ici
|
GAINS
|
X joue « pierre »
|
X joue « feuille »
|
X joue « ciseaux »
|
|
Y joue « pierre »
|
0
|
1
|
-1
|
|
Y joue « feuille »
|
-1
|
0
|
1
|
|
Y joue « ciseaux »
|
1
|
-1
|
0
|
et de manière symétrique, on peut définir la matrice de gain pour le joueur Y. Notons que l’on suppose ici un “jeu à somme nulle” (i.e. ce que perd X, Y le gagne, et réciproquement). Cette seconde matrice de gains est alors l’opposé de celle-ci.
La stratégie de base du jeu a été énoncée par Italo Calvino sous la forme suivante, “tu sais que ce que tu peux espérer de mieux est d’éviter le pire”.
Intuitivement, supposons que X souhaite jouer “pierre” on peut penser que Y reconstitue les anticipations de X, et donc joue “feuille”, mais à son tour X doit modifier ses anticipations et donc jouer “ciseaux”, plutôt que “feuille”, etc. Bref, rien ne se stabilise et aucune stratégie pure ne s’impose.
Mais s’il n’y a pas de stratégie pure, tentons des stratégies mixtes, i.e. choisissons intelligemment une mesure de probabilités sur l’ensemble des stratégies pures. En pratique, on jouera alors aléatoirement, en pondérant chaque tirage suivant la mesure de probas choisie. Une stratégie mixte (pour X) est alors caractérisée par un vecteur du simplexe,

La stratégie mixte

consiste à décider au hasard quel coup on jouera avec équiprobabilité.
Formellement, notons que le tirage équiprobable – par les deux joueurs – est un équilibre de Nash. En effet, si A désigne la matrice de gain pour X (on est sur des jeux à somme nulle), John von Neumann a montré ce que l’on appelle aujourd’hui le théorème du minimax (en fait, Emile Borel avait également obtenu ce résultat) en 1926, sous la forme suivante: il y a un équilibre de Nash associé à A si et seulement si

L’intuition est assez évidente (mais la preuve de ce théorème du point fixe est un peu technique):
est un équilibre de Nash si aucun des jours n’a intérêt de dévier dans sa stratégie, i.e.

et

On recherche alors un point selle dans la matrice des gains.
Dans le cas de notre jeu de “pierre, ciseaux, feuille“, notons que si

alors
, et on note que
ainsi que
. Aussi, pour toute stratégie mixte,

et de même

Bref, cette stratégie est une équilibre de Nash.
Bref, comme on vient de le noter, la meilleure stratégie à adopter quand on jour à “pierre, caillou, feuille” c’est de ne pas avoir de stratégie… ce qui revient à dire que l’issue du jeu est purement aléatoire. Pour Kenneth Binmore (ici) la méthode du minimax consiste à dire que face à un “bon” joueur, il n’y a rien de mieux à faire de que choisir la stratégie mixte du théorème de von Neumann.
Bon, si on réfléchit deux minutes, on sait qu’on ne joue pas une fois à ce jeux, mais que l’on répète le jeux quelques fois (avant de se lasser). C’est ce qu’a décrit Julia Robinson en 1950. L’idée était d’avoir une approche que l’on peut qualifier de bayésienne, consistant à utiliser pour la stratégie de l’adversaire les probabilités observées.

Maintenant que j’ai fini avec les rappels de théorie, revenons à la discussion de samedi soir…. J’ai appris qu’il existait un champion du monde de “pierre, ciseaux, feuille” ! Serge prétendait – samedi soir – qu’un joueur avait été vainqueur deux années de suite (ce qui m’a vraiment fait douté sur le côté aléatoire du jeu… malheureusement pour mon histoire, ce n’est qu’une légende, car les champions du monde entre 2002 et 2008 ont été Peter Lovering, Rob Krueger, Lee Rammage, Andrew Bergel, Bob Cooper, Andrea Farina et Monica Martinez).
Comment peut-il y avoir un champion du monde à un jeu qui repose exclusivement sur du hasard ? C’est comme si on inventait un champion du monde de lancer de pièces (ou de dés), qui serait récompensé pour sa régularité1 !
En creusant un peu, j’ai aussi découvert qu’il existait un livre qui apprend à gagner au jeu (je ne l’ai encore lu, mais promis, si la BU le commande, je le dévorerais et ferais un compte rendu détaillé ici même).
L’outil de base pour l’étude des systèmes bonus-malus est l’utilisation des chaînes de Markov, dès lors que l’on travaille sur des classes de bonus. Pour plus de compléments sur les chaînes de Markov, je renvoie à des vieilles notes de cours (inachevée, et sûrement remplis de coquillettes) ici.
L’outil de base pour l’étude des systèmes bonus-malus est l’utilisation des chaînes de Markov, dès lors que l’on travaille sur des classes de bonus. Pour plus de compléments sur les chaînes de Markov, je renvoie à des vieilles notes de cours (inachevée, et sûrement remplis de coquillettes) ici.
Pour reprendre les grandes idées, on considère une suite de variables aléatoires à valeurs dans
,
. Cette suite est sera une chaîne de Markov si pour tout
, et pour tout

telle que

on ait


On parlera d’absence de mémoire (au sens où seule la dernière valeure intervient dans le calcul de la loi conditionnelle, et pas l’intégralité de la trajectoire). Si
est une chaîne de Markov de distribution initiale
et de matrice de transition P, pour tout
,


Pour étudier l’évolution sur le long terme, on peut utiliser l’équation de Chapman-Kolmogorov: si
est une chaîne de Markov de distribution initiale
et de matrice de transition P, pour tout
, pour tout
,

Un corrolaire important est que si

alors

Bref, on peut facilement étudier l’évolution à long terme de la chaîne de Markov en faisant un peu de calcul matriciel, i.e. des calculs de puissances de matrices.
En fait, formellement, on peut soit étudier des matrices, soit des graphes. Par exemple,
Si on veut étudier l’évolution sur deux périodes, il suffit de calculer le carré de la matrice, i.e.
Les tableaux ci-dessous sont tirés des annexes de la bible de Jean Lemaire, Bonus-Malus systems in automobile insurance. Le plus simple est probablement celui de Hong Kong, qui est Markovien (à l’ordre 1),

L’exemple ci-dessous est celui qui a existé en Allemagne dans les années 80,

puis celui qui existait en Finlande,

et enfin le système italien du début des années 90,

Pour tous ces sytèmes, une fois spécifiée la loi du nombre de sinistres par an, il est possible de construire la matrice de transition des classes de bonus sur un an, ou plus.
En particulier, l’étude de la loi invariante de ce genre de sytème (que je mentionnais en introduction) permet d’étudier la viabilité du système à plus ou moins long terme, et la vitesse de la convergence vers l’état stationnnaire.
En France, le mécanisme de bonus-malus peut paraître un peu plus compliqué, et il fonctionne de la manière suivante.

Le calcul du bonus-malus s’ef
fectue en fonction des sinistres survenus (ou non) pendant la période de douze mois consécutifs précédant de deux mois l’échéance annuelle du contrat d’assurance.
Seuls les accidents responsables donnent lieu à malus. C’est à dire qu’en cas de foce majeur, ou si l’accident est entièrement imputable à un tiers, alors le conducteur n’aura pas de malus. Notons aussi que Le malus est rattaché au contrat d’assurance. Autrement dit, si quelqu’un cause un accident avec un véhicule assuré par un tiers, il se supportera pas le malus.
La prime de référence est la prime qui sera utilisée pour ensuite actualiser le montant de prime en tenant compte du coefficient de majoration ou minoration. Il s’agit de la prime technique calculée par l’assureur en fonction de charactéristiques a priori, comme la puissance du véhicule véhicule, la zone géographique de circulation, l’usage socioprofessionnel ou encore le kilométrage parcouru….
A partir de cette prime de référence, on calcule une prime qui tient compte de l’expérience passée, via un coefficient multiplicatif.
La valeur de référence est de 1 pour le taux de majoration-minoration. Ce taux subie une réduction – corrrespondant à un bonus – pour une année sans accident, d’un niveau de 5 %. Toutefois, la valeur du coefficient est arrêté à la deuxième décimale et arrondi par défaut. Au final, le taux prend donc un nombre fini de valeurs. Pour résumer schématiquement
| 1 année sans accident | 100 x 0.95 = 0.95 de Bonus |
| 2 années sans accident | 0.95 x 0.95 = 0.90 de Bonus |
| 3 années sans accident | 0.90 x 0.95 = 0.85 de Bonus |
| 4 années sans accident | 0.85 x 0.95 = 0.80 de Bonus |
| 5 années sans accident | 0.80 x 0.95 = 0.76 de Bonus |
| 6 années sans accident | 0.76 x 0.95 = 0.72 de Bonus |
| 7 années sans accident | 0.72 x 0.95 = 0.68 de Bonus |
| 8 années sans accident | 0.68 x 0.95 = 0.64 de Bonus |
| 9 années sans accident | 0.64 x 0.95 = 0.60 de Bonus |
| 10 années sans accident | 0.60 x 0.95 = 0.57 de Bonus |
| 11 années sans accident | 0.57 x 0.95 = 0.54 de Bonus |
| 12 années sans accident | 0.54 x 0.95 = 0.51 de Bonus |
| 13 années sans accident | 0.51 x 0.95 = 0.48 plafonné à 0.50 |
La réduction maximale est donc de 0.50, soit 50% de réduction sur la prime de référence.
En revanche, chaque accident responsable donne lieu à une majoration – on palera de malus – de 25 % du coefficient par accident. Toutefois, cette majoration est réduite de moitié (12,5 %) si la responsabilité n’est que partiellement engagée.Là encore, le coefficient obtenu est arrêté à la deuxième décimale et arrondi par défaut. Aussi, avec deux accidents responsables dans l’année, le coefficient sera multiplié par un coefficient de 1,56. Afin d’éviter l’absence d’assurance, on notera qu’en aucun cas, le coefficient de réduction-majoration ne peut excéder 3,50.
Pour les jeunes conducteurs, l’article A. 335-9-1 du code des assurances prévoit que l’assureur a la possibilité de majorer la prime de référence (dans des limites fixées par la loi là encore).
Notons enfin qu’il existe des avantages pour les bons conducteurs: si un conducteur est au bonus maximal depuis au moins trois ans, il conserve son bonus après le premier accident responsable. Notons que c’est le genre de disposition qui figure dans la loi et que certains assureurs utilisent à des fins commerciales (comme le montre l’affiche ci-dessus ou ci-dessous, qui a été analysée sur le blog de Gizmo (ici)).

Il existe aussi une règle dite de descente rapide qui peut atténuer les effets des malus: après deux années consécutives sans accident, votre coefficient ne peut être supérieur à 1.
Ce qui rend le système intéressant, c’est qu’il est obligatoire, en France. Aussi, en cas de changement d’assureur, le coefficient de bonus-malus sera recalculé à partir d’un relevé d’information: l’assureur est tenu de fournir ce document à la résiliation du contrat (contenant des informations sur le conducteur et le véhicule, ainsi que le nombre des sinistres survenus au cours des cinq années précédant l’établissement du relevé d’information, ainsi que leur nature et la part de responsabilité retenue)
Davantage d’information se trouve ici, là (ce document propose d’ailleurs une petite simulation à la fin sur le coût d’un accident) ou là encore (pour une approche plus actuarielle), voire là (pour une approche plus économique).
Lors du dîner de gala des JEEA jeudi soir, Mohamed m’a posé une question intéressante, et je lui ai promis un billet (ou plutôt deux car son problème est compliqué, et je ne connais la solution qu’à une version simple). Le problème est le suivant: un gros assureur à trois lettres souhaite encourager les agents commerciaux par une prime. On leur donne un joker, et durant une période d’un mois, ils concluent des affaires nouvelles. Ils ont la possibilité de toucher une fois (et un seule) une prime (en utilisant leur joker) qui sera proportionnelle au montant de l’affaire signée. Quelle est la stratégie optimale pour utiliser leur joker ?. Une question plus courte pour résumer cette optimalité: le deuxième jour, un gros contrat (aux yeux du vendeur) est signé: faut-il utiliser son joker ou vaut-il mieux attendre un peu ? Bon, le vrai problème est qu’ils ont 5 jokers, et qu’ils peuvent les utiliser en une seule fois, ou en plusieurs…. Avant de réfléchir à cette histoire de 5 jokers, regardons un peu avec un….
Faisons quelques hypothèses forcément simplificatrices… On suppose que chaque jour, un contrat est signé, et que les montant des contrats sont indépendants et identiquement distribués (on ne fait pas de plus gros deal en début de mois). Soit
le montant de la prime associée à la kième affaire (si on utilisait le joker). Il faut alors arbitrer, chaque jour k, entre

Notons
la valeur du joker à la date k. Alors

Aussi

soit

On sait aussi que
(le dernier jour, si on a le joker, on l’utilise). Autrement dit, on devrait y arriver par induction backward… Et la résolution dépend de la loi des montants des affaires.
Dans ce cas, l’équation se simplifie. Si
,

et

soit

On peut visualiser cette fonction sur le graphique suivant, en fonction du temps

Autrement dit, on se fixe une stratégie a priori, et on s’y tient ! Sur la simulation suivant, on utilise son joker dès le 4ème jour,

Bon, je suis nul en calculs, mais en faisant du monte carlo, on en déduit la loi de la date optimale d’exercice,

ainsi que le gain espéré (ce qui permettra à Mohamed de se couvrir).

Notons que l’espérance de la date d’exercice est environ le 12ème jour, et le montant moyen est de 95 (contre 50 en exerçant le dernier jour).
Je pense qu’on peut faire des calculs fermés…. mais je suis un peu paresseux…. on obtient la courbe suivante

La distribution de la date optimale donne

et pour le montant empoché

Dans ce cas, on exerce en moyenne au bout de 17 jours, pour un gain moyen de 174.
Damned, mais tout ça correspond au problème de valorisation des options américaines (ou plutôt Bermudéennes car le temps est discret). Les options dites bermudéennes peuvent être exercée à un ensemble prédéterminé de dates

L’idée de la valorisation est simple: à chaque date, le détenteur de l’option a en effet de choix,

en 
Si on note
le facteur d’actualisation entre les dates
et
, on en déduit que la valeur en
de l’option peut s’écrire

où
est la filtration naturelle, et
est une probabilité risque neutre, sous laquelle la valeur actualisée de l’actif est une martingale, i.e.

Je renvoie à mes notes de cours de méthodes numériques en finance (ici) mais en utilisant les arbres binomiaux, on peut valoriser un put américain, par exemple,


Suite de Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance
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Les présentations sont maintenant en ligne sur le site http://jeea.univ-rennes1.fr/jeea-exposes.html.

Les Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance (ou les “premières” journées pour reprendre un lapsus qui décidément aura marqué) ont commencé ce matin. Cette première journée comptait un peu moins d’une centaine de participants. Je mettrais en ligne les slides des exposés sur le site des JEEA (http://jeea.univ-rennes1.fr/)
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La suite demain matin, toujours Amphi 2, à la faculté de Sciences Eco…

Lors de l’organisation des JEEA (ici), la principale incertitude était non pas le nombre de participants (qui n’a cessé d’augmenter jusqu’à ce qu’on se décide à clôturer, et finalement les prévisions faites il y a un mois, lorsque l’on a contacté les traiteurs pour les plateaux repas du midi se sont avérées très précises), mais les remboursements de frais de transports1.
Pour laisser toute souplesse aux intervenants, je leur avais laissé acheter eux-même leurs billets pour venir sur Rennes, sans aucune précision sur le mode de transport. Pour le train, les prix sont assez stables, mais j’avais très peur pour les personnes qui venaient en avion, qu’elles s’y soient prises trop tôt, ou trop tard et que le prix soit très élevé. Bref, comme à chaque fois que je dois acheter un billet d’avion, je me pose la même question: “existe-t-il une date optimale pour acheter ton billet d’avion en ligne ?”.
Benny Mantin a fait une étude semblable, en regardant sur la période de 3 mois précédant le départ (ou 90 jours pour être précis) un millier de vols (au sens origine-destination), chaque vol étant considéré à 6 dates différentes (6 mercredis consécutifs).
Par exemple pour un vol. ABQ-BOS (Albuquerque-Boston), on a les six évolutions de prix suivantes,

(on peut visualiser une prédiction par régression locale, en rouge). Si l’on prend comme prix de départ comme référence (base 100), on observe les évolutions suivantes sur les 200 premiers vols,

Vu de loin, on semble observer une réelle tendance avec un optimum à 30 jours du départ. Si on change la fenêtre de la régression locale, on obtient des résultats assez similaires,

pour un lissage beaucoup plus fin,

On peut d’ailleurs regarder la distribution de la date optimale de départ (sur la régression lowess). On note que la date optimale semble être 1 mois avant le départ,

Si on prend une fenêtre de lissage beaucoup plus fine, on observe la distribution suivante pour la date où le minimum est atteint,

Si on regarde quand est obtenu le minimum sur la base brute (ou plutôt le moment où est atteint le minimum pour la première fois, car le prix est parfois constant deux jours consécutifs), et non pas sur les données lissées, on obtient la distribution suivante,

Si on fait la même chose sur le moment où le minimum est atteint pour la dernière fois, on a

Ces deux graphiques sont beaucoup plus difficile à lire, car les données brutes sont beaucoup plus ératiques que la prédiction par régression locale.
Bon, c’est bien tout de voir qu’il est optimal d’attendre un mois avant le départ pour avoir un prix en moyenne plus bas. Mais c’est aussi la période où les prix sont les plus volatiles…. Par exemple sur le premier vol que nous avons étudié, si on normalise le prix en base 100 (comme dans la partie précédante) on obtient une volatilité de la forme suivante, qui augmente au fur et à mesure que l’on se rapproche de la date de départ.

Pour une personne qui ne cherche pas le meilleur prix en moyenne, mais qui cherche à éviter que le prix soit trop élevé, on peut regarder par exemple une régression quantile. La courbe en rouge ici présente le quantile à 90% du prix du billet d’avion.

Comme précédement, on peut chercher la date optimale pour que le prix – en tant que quantile et pas en tant que prix moyen – soit le plus bas possible,

Notons que l’on a chercher une régression quantile sous une forme polynomiale (ici un polynôme de degré 5). Si on utilise un polynôme de degré plus faible (par exemple 4), la distribution du maximum – sur la courbe lissée – change un peu, mais finalement pas tant que ça….

Ce qui confirmerait la robustesse de nos conclusions…
Un dernier point avant de cloturer ce billet. Sur les graphiques suivant, on s’intéresse aux variations du prix du billet d’avion d’un jour sur l’autre (aux log-rendements). On s’intéresse là encore au premier vol, ABQ-BOS, avec les zones bleues correspondant aux week-end,

La courbe en rouge est une régression locale afin de visualiser une éventuelle tendance, avec un voisinage fin afin de prendre en compte les cycles hebdomadaires. Ce qui est intéressant, c’est que les plus grandes variations ont lieu en dehors des week-end, avec en particulier des baisses de prix en début de semaines, et de hausse de prix juste avant les week-end,

Afin de mieux visualiser ces centaines de courbes brutalement superposées, on peut plutôt superposer les tendances lissées,

Cette impression d’avoir des baisses les lundi et des hausses le vendredi est confirmé sur ce graphique. On peut aussi regarder brutalement la moyenne des log-rendement en fonction du jour,

On peut aussi étudier la volatilité brute, en chacun des jours,

On note que les prix sont relativement calmes le week end, et que généralement, ils ont tendance à baisser le lundi…. moralité, mieux vaut attendre de revenir au bureau pour commander son billet… Bon bien sûr, il faut habiter aux Etats-Unis….
1 un parti pris était de faire une conférence gratuite, en fournissant des repas le midi pour tous les participants. En contrepartie, la conférence avait obtenu des subventions de la chaire AXA grands risques, et de différentes entités locales (ville de Rennes, Rennes métropoles, conseils général et régional). Mais nous ne souhaitions pas trop solliciter le CREM (le labo de la faculté de sciences économiques). Bref, nous avions une limite dans notre budget, et avec une centaine de participants, nous ignorions réellement quelle souplesse nous avions….
Histoire de poursuivre le billet sur la régression logistique (ou logit, ici), je continue avec la régression probit. Chester Bliss (papier de 1934 en ligne ici) travaillait, en tant que biologiste, sur la conception de pesticides. Au lieu de travailler (comme habituellement) sur le pourcentage de nuisibles détruits, mais sur une grandeur qu’il a appelé “probability unit“, soit “prob…it“, qu’il condensa en probit. De manière arbitraire, un pourcentage de tués valant 0,0001 correspondait à une probit nulle, et un pourcentage de 0,9999 à une probit de 10.
Il avait d’ailleurs proposé une table de correspondance, permettant de passer du pourcentage au probit. Il proposait alors de relier le probit au logarithme de la dose de pesticides produits, ce qui devait aboutir – dû moins l’espérait-il – à une ligne droite. Il appela ce modèle un modèle probit.
David Finney (là pour un article rétrospectif) a poursuivi cette idée, toujours dans le domaine toxicologique. Dans son livre de 1952, on retrouve une table de convertion associée à cette grandeur introduite par Bliss

Mais pour aller plus loin, il faut remonter à un papier publié par Finney et Stevens en 1948, où ils eurent la bonne idée de renormer les grandeurs de Bliss en translatant tout de 5, autrement dit un pourcentage quasi-nul (0,0001) correspondait à une probit de -5, et un pourcentage de 0,9999 à une probit de 5. Aussi la probit de 0 correspondait au cas où le pourcentage valait 1/2. Ils notent ainsi que la probit Y associée à une proportion P est la grandeur qui vérifie

Voilà pour la petite histoire…
J’ai abordé à plusieurs reprises les tirages du loto (ici ou là), en mentionnant par exemple que Slutsky avait proposé les utiliser comme générateurs de nombres aléatoires. Or je suis tombé un peu par hasard l’autre jour sur un rapport – qui date un peu, certes – expliquant que la loterie britannique était biaisée, la boule 37 tombant (selon ledit rapport) un peu trop souvent.
On retrouve le même genre de remarque sur le loto français, où certains trouvent surprenant que certains numéros soient sortis plus souvent que d’autres…. Certains notent – sans rire – que le fait que la boule 7 soit sorti 722 fois sur 4858 tirages confirme le pouvoir magique de ce chiffre (en moyenne, une boule n’est sortie que 694 fois). Je laisse les amateurs de pratiques ésotériques s’amuser avec la base qui est téléchargeable ici (on pourra noter que les multiples de 5 apparaissent aussi plus souvent que la moyenne).
Mais je m’égare. Le but était de voir si, sur les tirages du loto en France, certaines boules sortaient éventuellement tropsouvent. Si on prend la base et que l’on regarde les statistiques d’ordre, on obtient le graphique suivant

En l’occurrence, la boule qui est le plus sortie est sortie 745 fois (il s’agit du 34), et celle qui est le moins sortie est sortie 652 fois (le 29). Cette répartition me rappelant la fonction quantile de la loi normale, j’ai décidé de la représenter aussi sur le graphique. Intuitivement, quand on tire des boules dans une urne (avec remise), on s’attend à trouver un loi binomiale, qui s’approche d’une loi normale quand le nombre de tirages est grand. Avec près de 5000 tirages, on pourrait penser que l’approximation asymptotique ne serait pas absurde.
Mais si l’ajustement n’est pas mauvais pour les boules les plus sorties, on voit qu’il est assez mauvais pour les boules les moins sorties….La première explication à laquelle j’ai pensée est que mon approximation est valide si l’on fait des tirages avec remise. Or formellement, entre chaque tirage, on remet bien toutes les boules dans l’urne, mais à l’intérieur d’un tirage, les tirages se font sans remise (ce qui fait qu’une boule ne peut sortir qu’un fois par tirage). Bref, ceci pourrait expliquer la non-normalité…
Ceci m’a fait pensé à l’idée du latin hypercube, qui est souvent utilisé pour rendre “plus uniforme” les tirages avec des lois de Monte Carlo.
Les figures ci-dessous montrent des simulations de Monte Carlo classiques à gauche, et avec une partition avec 10 tirages uniformes dans 100 carrés, à droite.

C’est l’idée du latin hypercube… Les figures ci-dessous correspondent à des estimations nonparamétriques des densités par des noyaux betas, avec le même paramètre de lissage (pouvant être interprété comme une fenêtre),

Autrement dit, l’utilisation de la méthode latin hyperbube permet d’avoir des choses beaucoup plus uniformes…
C’est finalement la même chose que l’on a ici. Mais ceci fait qu’on devrait être de variance plus faible, mais cela n’explique pas l’asymétrie que l’on observe. Car effectivement, si l’on calcul la skewness (moment centré réduit d’ordre 3), on obtient 0,1928.
Afin de voir s’il y avait un soucis, la méthode la plus simple consiste à faire du Monte Carlo. Et afin de valider cette histoire de latin cube, deux techniques ont été considérée ici,
En faisant 10000 tirage de ces 4858 tirages du loto, on obtient les résultats suivants, résumés par les valeurs moyenne en trait plein, et les quantiles à 5% et 95% en trait pointillé. Les traits verts sont la simulation de vrais tirages, et les traits mauves correspondent à la version avec remise. On peut noter que la courbe verte présente moins de variance que la courbe mauve, ce qui semble confirmer ce que je racontais dans le paragraphe précédant,

Bref, on note que les boules qui sont peu sorties sont finalement trop sorties par rapport à ce qu’aurait du donné des tirages indépendants. Mais ceci ne prouve rien, si ce n’est que c’est statistiquement surprenant….