Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou là – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.
Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base là
> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";") > head(sinpe) DSUR MNTPE 1 19850206 240439 2 19851228 125674 3 19850504 488331 4 19851118 457347 5 19850220 990919 6 19851214 182939 > annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4)) > sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992] > XS=sinistres/100000
On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient
> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d") > jour=datesur[annee>1992] > plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600)) > ded=50 > abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,
> library(evir) > n=length(X) > plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)), + xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8) > out <- gpd(XS, 15) > XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) > x0=seq(2,8,.01) > lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,
> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”
> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0; seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2])
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))



is said to be an admissible solution for starting point x,
and
. If we reformulate the dynamic programming idea, we obtain that if
, then for all
, sequence
is a solution to problem
. It comes that function v is a solution of Bellman’s equation



,
and
.












. The dynamic is then















. Assuming that

has a form that can be explicited).


le prix aujourd’hui d’un tel actif. Notons que le prix d’un actif sans risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est
. Aussi, si on note
le taux sans risque, alors
à la date 1 est alors
.
tel que
soit une distribution de probabilité. Alors
appelée 





le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat,
et le niveau atteint par l’actif lors du décès,
. Autrement dit, l’assureur s’engage à verser
. De manière plus général, disons qu’il existe une valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l’on notera K.

) et l’espace des probabilités financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers, i.e. l’univers
). Autrement dit, la valeur actuelle probable s’écrit


















that maximizes the following function
(a state space) and
(i.e. some dynamic constraints). Assume further that the starting point is given, i.e.
. In economic application, note that frequently
i.e. we consider a discounted version of the value.




is a solution of the problem
then, for all
,
is a solution of problem
.




is solution of
if and only if for all
, 
denote the consumption at period 
. Let
be capital he got at time t. Assume that his initial capital is a given amount
, and suppose that this period’s capital and consumption determine next period’s capital as
is a positive constant and
. Assume further that capital cannot be negative. Then the consumer’s problem is simply
. Bellman’s equation is then
and
. And to solve that problem, we use backwards induction techniques.
is known, we can derive easily
, and so on until
. More precisely, given
, we can get
which is the maximum of function
. One can see that the following function is a possible solution
is a constant. Further, the optimal amount to consume at time
is



was the variable of interest,
was the control variable, and
. Thus, the programm











En cours d’actuariat, nous commencerons à parler des tables de mortalité prospectives.











En surfant sur la toile (











Ce week end, en sortant de l’exposition sur les mammouths à Rennes avec mon fils, on est passé à la fête de la science, voir si on pouvait faire quelques casses têtes à un stand tenu par des collègues de Beaulieu. Et là, un petit problème de théorie des jeux m’a été soumis, et je ne pouvais pas passer à côté de l’occasion (surtout quand on connaît la morale) d’en parler ici.