Interpréter la corrélation linéaire (2)

20/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Je vais prendre 10 minutes pour continuer la discussion amorcée ici . Le carré de la corrélation est parfois interprété comme la “proportion de variance de Y expliquée par X“. Pour Rodgers and Nicewander (1988) il s’agit d’une “covariance standardisée” (où on transforme – de manière affine – les variables pour qu’elles soient alors de variance unitaire). J’avais essayé de trouver une interprétation en tant que probabilité de covariation (ou disons de concordance pour être plus juste), ou plutôt comme fonction de cette probabilité (Eisenbach et Falk (1984) notent d’ailleurs que certains étudiants pensent que les deux sont égales pour des variables positivement corrélées). Aujourd’hui je vais plutôt essayer de voir s’il n’existerait pas des interprétations “naturelles” de cette mesure de corrélation.

Le cas du vecteur Gaussien et l’interprétation géométrique

Dans le cas du vecteur Gaussien, on avait évoqué que la corrélation (au sens de Pearson) pouvait être reliée à une probabilité de concordance, dans un précédant billet. Mais sinon, si on revient à la construction des vecteurs sphériques (que je devrais évoquer bientôt), on verra que la corrélation apparaissait naturellement, dans la matrice de rotation.
Comme le rappellent Dominque Drouet-Mari et Samuel Kotz, il existe aussi une interprétation géométrique du coefficient de corrélation. Comme nous l’avions rappelé ici, les courbes de niveau de la densité du vecteur Gaussien sont des ellipses (on supposera que l’on s’intéresse à un vecteur centré). Comme le montre la figure ci-dessous, le coefficient de corrélation indique la pente des tangents des courbes de niveaux avec les axes des coordonnées.

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/tangeance-correl.PNG

La corrélation dans les tableaux de contingence 2×2

Mais c’est surtout dans le cas des tableaux de contingence que l’on devrait voir apparaître la corrélation. L’idée sous-jacente étant que la corrélation est très liée à l’espérance du produit, qui dans le cas des lois de Bernoulli suit toujours une loi de Bernoulli. Et comme l’espérance est alors interprétée comme une probabilité pour ces variables dichotomiques, on ne devrait pas être surpris de voir apparaître de la corrélation de Pearson apparaître “naturellement“.
Dans le cas de variables qualitatives (disons un couple de variables de Bernoulli), la corrélation vaut

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn6882.png$

Aussi, on peut montrer facilement que la corrélation est nulle (dans le cas 2×2) si et seulement si les lignes (mais aussi les colonnes) sont proportionnelles, c’est à dire si et seulement les deux variables sont indépendantes.

où on voit apparaître des régression,

Comme on le voit en économétrie, le coefficient de corrélation entre X et Y est compris entre la pente de la régression de Y sur X, et celle de la régression de X sur Y. Et plus précisément, on peut montrer (par un rapide calcul) que

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn8206.png$

ou encore

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn7339.png$

la signe étant donné par les coefficients de régressions (qui sont forcément de même signe). Autrement dit, comme l’avaient noté Rodgers et Nicewander (1988), la corrélation est la moyenne géométrique des pentes.

et où on voit apparaître des probabilités conditionnelles…

Revenons dans le cas 2×2. Dans ce cas, les coefficients de régression (oui, ça peut paraître surprenant de s’intéresser à une régression linéaire pour deux variables dichotomiques, mais c’est pour la simplicité des calculs) s’interprètent comme des différences entre des probabilités conditionnelles, i.e.

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn2459.png$

soit

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn7085.png$

ce qui s’écrit enfin

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn7599.png$

Cette différence entres les probabilités conditionnelles – quand on lit horizontalement dans le tableau de contingence – se lit

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn1796.png$

Rappelons que ces différences de probabilités ne sont pas encore la corrélation linéaire, mais simplement un des termes dans la moyenne géométrique. Ce qui n’empêche pas de voir une confusion dans certains ouvrages, dont Shweder (1977) qui prétend que la corrélation est “a comparison between two conditional probabilities“, ou encore Ward et Jenkins (1965), pour qui, “perhaps the simplest formulation of contingency which is adequate to the case of unequal marginal frequencies involves a comparison of two conditional probabilities“. Cette idée est aussi évoquée dans Jennings, Amabile et Ross (1982), lorsqu’ils écrivent “one satisfactory method, for example, might involve comparing proportions (i.e., comparing the proportion of diseased people manifesting the particular symptom with the proportion of nondiseased people manifesting that symptom)“.
En fait, cette différence entre les probabilités conditionnelles pourrait davantage être vu comme une mesure causale que comme une mesure de corrélation (mais ça sera l’objet d’un autre billet, qui sera la suite de celui là).
Bref, la corrélation est la moyenne géométique des différences des probabilités conditionelles à la fois en lisant verticalement et horizon
talement le tableau de contingence, i.e.

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqn7714.png$

une apparition naturelle de la corrélation, dans un tableau 2×2

Bref, comme je l’évoquais un peu plus haut, il n’est pas surprenant de voir apparaître la corrélation au sens de Personne dans les tableaux de contingence (2×2, ne généralisons pas trop non plus). En fait, on retrouve la notation suivante dans Falk et Well (1996), si on suppose que les deux variables ont la même loi

	Y=0	Y=1	total
X=0	r(1-p)+(1-r)(1-p)²	(1-r)p(1-p)	1-p
X=1	(1-r)p(1-p)	rp+(1-r)p²	p
total	1-p	p	1

et c’est d’ailleurs assez commun de voir cette écriture en épidémiologie. Le coefficient de corrélation est alors parfois appelé “probability of identity by descent“, comme dans Falk (1993).

Finance, Miscellaneous

Andreas Gursky, visualiser les marchés financiers

16/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Histoire de poursuivre mon précédant billet (ici), je voulais rajouter des photos très classiques d’Andréas Gursky (ici). J’hésitais à les mettre car je trouve qu’elles perdent toute leur force sur un ordinateur, ceux qui avaient vu l’expo à Beauboug en 2002 savent de quoi je parle…

Actuarial science, Extreme Value, Risk

Les généralités sont généralement fausses

16/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Suite à un commentaire sur un vieux billet (ici), concomitante avec une demande d’intervention pour la formation ERM proposée par l’Institut des Actuaires, je me suis replongé dans les calculs de SCR (solvency capital requierement). Plus je lis la documentation technique, plus je suis surpris par l’importance de l’hypothèse de normalité ! J’ai repris mon Loss Model, qui est le livre de base pour l’examen d’actuariat non-vie dans les pays anglo-saxons, et j’ai vu des dizaines de lois bizarres… mais rien sur la loi normale…

de l’hypothèse de normalité dans la formule d’agrégation

Comme je le disais dans un vieux billet (ici), on ne peut montrer la validité de la formule de calcul du SCR que dans le cas Gaussien (ou plus précisément dans le cas elliptique, voire ici). En effet, la preuve est assez simple. Je renvois vers un papier tout chaud de Laurent Devineau et Stéphane Loisel sur le sujet, ici.

où l’on continue à entrevoir l’hypothèse de normalité

En fait l’hypothèse de normalité est vraiment partout dans les calculs de SCR. Mais bien sûr, sans le dire. Par exemple dans un papier de la SCOR,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.doc14-1_m.jpg

Comme je le disais l’autre jour (ici), le problème des documents “professionels” (par opposition à “académiques“), c’est que comme on veut que le CEO le lise, on évite de parler d’hypothèses, ou pire, de mettre un peu de maths…. Bref, on apprend que “generally” (terme d’une grande rigueur scientifique, que je recaserai un jour dans mes démonstrations), “the expected shortfall[…] at the 99 % level corresponds quite closely to the[…] value-at-risk at a 99.6% level “. Mais on retrouve la même phrase dans un rapport de l’edhec

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.SCR-edhec_m.jpg

Là aussi, aucune source… Damned ! En creusant un peu, Actuaris m’a mis sur la piste (ici), car on apprend que c’est l'”autorité suisse” qui a énoncé ce résultat que je qualifierais de surprenant¹.

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.actuaris-var_m.jpg

Effectivement, on peut retrouver le document originel,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.doc13-1_m.jpg

J’avoue avoir essayé – sans grand succès – de lire l’annexe D. Je n’ai pas tout compris, mais j’y ai lu un “assuming that the distribution functions follows a normal law”,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.doc13-2_m.jpg

Donc si j’ai bien tout compris, “generally”, “the distribution functions follows a normal law” ! Bon, je crois que je vais pouvoir envoyer un mail à Stuart, Harry et Gordon pour leur expliquer qu’ils peuvent virer des pages à leur livre ! Ou peut-être Jean-Luc Besson (pour lequel j’ai une immense estime !) qui présente beaucoup de lois utiles en assurance dans l’ouvrage qu’il a coécrit avec Christian Partrat…
Mais peut-être a-t-il raison…? On peut se dire qu’en actuariat, on avait l’habitude de présenter l’approximation “normal power“, et peut être que ce résultat est vrai pour d’autres lois….
Regardons vite-fait sur quelques lois….. Par exemple, pour la loi lognormale, si on regarde en fonction de l’écart-type de la loi normale sous-jacente,

Effectivement, on colle au quantile à 99.6%. L’ordonnée est en échelle logarithmique pour que le dessin soit présentable, avec en pointillé la VaR (formule exacte, à 99.6% en rouge, et à 99.8% en bleu), et les ronds sont des estimations de la TVaR à 99%. Par contre, par exemple pour la loi lognormale, si on regarde en fonction de l’écart-type de la loi normale sous-jacente, plus la volatilité est grande, plus l’approximation est mauvaise.

Bon, essayons une loi Gamma (classique en assurance, car c’est une loi de la famille exponentielle, et souvent comparée à la loi lognormale).

Visiblement, là aussi l’approximation semble marcher…. mais rappelons que la loi Gamma est une loi à queue fine… Allons-y franchement, comparons avec le cas d’une loi de Pareto…

cette fois, l’abscisse se lit dans l’autre sens: à gauche, c’est le cas le plus risqué (avec une variance infinie entre 1 et 2). On notera que pour les risques les plus importants, là aussi on sous-estime la TVaR en considérant la VaR (à un seuil plus important). On retrouve d’ailleurs exactement le même type de graphique avec une loi de Student,

Bref, on me dira que je pinaille, n’empêche qu’à mon avis, les compangies sous-estiment “généralement” la TVaR (à supposer que ça soit la mesure de risque qui les intéresse) en prenant une hypothèse de normalité…

¹en tant qu’enseignant, ce genre de conclusion me gêne toujours, car je me fatigue à faire des cours sur la mesure de risque, j’essaye de présenter des notions aussi proprement que possible, en expliquant que les hypothèses c’est important, qu’il faut définir différentes notions de mesures de risques (entre les convexes, les cohérentes, les dynamiques, etc), et là tout d’un coup, on nous apprend que “generally” c’est kif kif….

ECO431, Microeconomics

Le bois et la mine

10/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Petit complément sur le premier exercice, sur « l’apologue du bois et de la mine »
APOLOGUE, subst. masc.

DIDACT. Court récit imaginaire ou parfois réel dont se dégage une vérité morale. Synon. histoire, conte, parabole, fable :

1. Cependant je ne doute point que vous n’ayez lu, dans beaucoup de préfaces de fables, que l’apologue est une instruction déguisée sous l’allégorie d’une action : …
Florian, Fables, De la Fable, 1792, p. 10.

2. Les patriciens envoyèrent au peuple celui des leurs qui lui était le plus agréable, Menenius Agrippa. Il leur adressa l’apologue célèbre des membres et de l’estomac, véritable fragment cyclopéen de l’ancien langage symbolique.
Michelet, Hist. romaine, t. 1, 1831, p. 110.

ÉTYMOL. ET HIST.

I.− xv^e s. « petit récit d’un fait vrai ou fabuleux, par lequel on veut présenter une vérité instructive » (G. Tardif ds Delb. Rec. ds DG : Le premier apologue ou fable).
II.− 1616-20 « apologiste » (D’Aubigné, Confessions du sieur de Sancy, [dédicace] ds Œuvres, éd. Reaume-de-Caussade, t. 2, p. 236 : un des traducteurs du Tasso, qui a choisi pour son apologue le Prince de Conty); repris par DG où il est qualifié de vieilli.
I empr. au lat. apologus, « id. » Plaute, Stich., 570 ds TLL s.v., 250, 7; cf. Cicéron, Inv. 1, 25, ibid., 249, 83; empr. au gr. ἀπολόγος « récit détaillé, narration » (Platon, Resp. 614a ds Bailly) d’où « fable » (Cependant le mot gr. ne figure pas ds Cicéron, De Orat., 2, 264, éd. Courbaud : Et ad hoc genus ascribamus etiam narrationes apologorum); II dér. de apologie* sur le modèle de analogie/analogue.

Il existe quelques références sur cet apologue, introduit par Gabriel Dessus à la fin des années 40 (sur la tarification des services publiques). Je peux renvoyer vers quelques pages en annexe de la thèse de Frédéric Marty, ici (ou là pour la version intégrale des annexes). Pour remettre dans le contexte de l’époque, cet « apologue du bois et de la mine » a permis de préciser les insuffisances d’une tarification au coût moyen par rapport à la tarification au coût marginal. Tout cela est également repris, avec le contexte historique, dans des documents ici, toujours de Frédérci Marty.

ECO431, Economics

Surplus du consommateur et demande compensée

08/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Les exercices traités la semaine dernière et cette semaine sont respectivement en ligne ici et là. Je mets également ici les exercices de la semaine prochaine (que je distribuerais tout à l’heure).
Petit complément suite à la PC de la semaine dernière, sur des slides présentés en cours par Pierre Picard. Dans un premier temps, on s’intéressait à une utilité très particulière, quasi-linéaire, de la forme Dans ce cas très particulier, on peut se ramener à un programme d’optimisation sans contrainte,

$max_{x_1} u(x_1)+ R-p_1 x_1$

La condition du premier ordre est alors

autrement dit, l’utilité marginale de la consommation de bien 1 est égale à son prix, de telle sorte que la fonction de demande s’écrit tout simplement . Compte tenu de la contrainte budgétaire, on en déduit la demande de produit 2. Et en substituant dans la fonction d’utilité, on en déduit la fonction de demande indirecte,

C’est ce qu’on observe dans les slides

En fait (on rejoint ici un commentaire qui avait été faite dans la première PC), ceci marche à condition que le prix du premier bien n’excède pas notre revenu global !

Si on imagine un individu sans revenu a qui l’on donne un tout petit revenu R. Dans ce cas, son accroissement d’utilité sera

Si cet accroissement dépasse 1, le consommateur n’achète que du bien 1. En fait, il achète du bien 1 tant que l’utilité marginale d’une unité supplémentaire de revenu soit égale à 1. Et tout supplément sera alors consacré à l’achat de bien 2. C’est exactement le commentaire qui avait été fait en classe….
Bref, si les individus ont suffisement d’argent, la demande de bien ne dépend que des prix..
Si l’on s’intéresse au surplus du consommateur, notons tout d’abord que la fonction de demande inverse permet d’écrire

Aussi, on peut obtenir l’utilité associée à un niveau particulier de consommation de bien 1 tout simplement par intégration

Aussi, l’utilité totale (associée à une consommation de bien 1 sera

On obtient la surface située sous la courbe de demande du bien 1, en retranchant la dépense de bien 1.

Si la fonction d’utilité est quasi-linéaire, l’intégrale de la demande correspond à la fonction d’utilité en équivalent monétaire.

La variation compensée est la différence de revenu minimum qu’il est nécessaire de donner à un agent, suite à une variation, afin de s’assurer un niveau d’utilité constant. On peut alors monter que les variations compensatoires et équivalente coïncident: la fonction de compensation est linéaire par rapport au revenu, aussi, la valeur d’une unité monétaire supplémentaire est indépendante du prix.

En fait, le surplus du compensateur ne correspond à la variation compensatoire que dans le cas où la fonction d’utilitaire est quasi-linéaire. De manière plus générale (et c’est ce qui est abordé dans les slides suivants), on n’a qu’une approximation. Il faut utiliser l’équation de Slutsky pour récupérer le terme supplémentaire

Cette propriété de la fonction d’utilité quasi-linéaire est abordée dans plusieurs documents, comme ici ou là. Sinon Hal Varian a aussi publié sur le sujet.

Actuarial science

Grippe, cravate et (ré)assureurs

07/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Entendu sur France Info, dans la revue de presse de Jean Christophe Martin, ce matin, ici, “parmi ces conseils, une bonne nouvelle pour les allergiques à la cravate : en plus des recommandations classiques, se laver les mains et se dire bonjour sans bisous, le Parisien signale que le groupe Scor, 5ème société mondiale de réassurance, demande aussi à ses salariés d’éviter de porter une cravate. Une consigne qui a eu un gros succès dans les bureaux de la Défense, au siège du groupe. Et oui, contrairement aux chemises, on ne fait pas souvent nettoyer sa cravate, qui peut se transformer en boîte à postillons et en bouillon de culture… Le nouveau mot d’ordre dans les bureaux : à bas la cravate, vive la grippe A...”. Chez AXA, on apprend que c’est la bise, qui est interdite (ici).

Statistics

Statistiques en vacances, ou que faire avec ses clés de voiture

02/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Petit souvenir de vacances, avant la rentrée… lorsque nous sommes arrivés à la campagne, j’ai eu le réflexe (que je croyais avoir perdu depuis que j’ai quitté Paris) de fermer à clé les portes de la voiture après avoir vidé le coffre. Et comme toujours, les réflexions n’ont pas tardé, avec un classique “eh, ici c’est pas la ville ! tu peux laisser ta voiture ouverte !“. Ne souhaitant froisser mon hôte, j’ai laissé la voiture ouverte, mais je me suis promis que je poserais la question à Laurent Mucchielli (ici, qui a également lancé son blog), en rentrant. A savoir y-a-t-il vraiment moins de délinquance à la campagne, si on corrige de l’effet population. Et sans tarder, Laurent m’a renvoyé vers les rapports disponibles à la Documentation Française (téléchargeable ici par exemple), en me mettant en garde sur l’interprétation, à savoir ce sont des statistiques de police (“qui ne sont pas des statistiques d’enquête en population générale et dépendent de plusieurs logiques d’enregistrement, à prendre avec beaucoup de précaution“). Bref, si on regarde les statistiques de 2008, il y a un “classement par tranche de population suivant le taux de criminalité globale pour 1 000 habitants“, dont j’ai fait le résumé un peu simpliste suivant, qui semble effectivement confirmer l’intuition de notre hôte….

	délits¹	population	taux de délits
Paris	236,527	2,154,000	10,981 %
plus de 250,000 hab.	536,067	5,685,191	9,298 %
de 100,000 à 250,000	579,949	7,598,189	7,633 %
de 50,000 à 100,000	690,007	9,441,848	7,308 %
de 25,000 à 50,000	336,444	4,819,803	6,980 %
moins de 25,000	103,272	1,574,266	6,560 %

Bref, pour ceux qui ne sont pas convaincus, j’ai fait ce petit dessin avec le taux de délits (pour 100 habitants) en fonction de la population, la base de données étant téléchargeable ici.

Le même dessin ci-dessous en échelle logarithmique pour la population,

En y regardant de plus près, la conclusion est un peu moins claire qu’auparavant, car il semble que pour les “petites” villes, la délinquance puisse être relativement importante…

en particulier dans les villes qui, l’été, voient augmenter fortement leur population (la population au sens de l’insee n’étant pas un bon proxi de la population fréquentant les villes l’été). En effet, si l’on écarte les villes chaudes de la banlieue parisienne, on retrouve dans le top des villes ayant le plus fort taux de délinquance Le Touquet, Agde, Dives sur Mer, Deauville, Cavaillon, Lourdes (bref, des villes dont la population explose l’été).

En fait, étrangement, si je compare par rapport à Rennes (6,615%), où que je parte en vacances, le taux de délinquance semble plus élevé… il semblerait logique que j’inverse mes habitudes, à savoir laisser ma voiture ouverte à Rennes, et la fermer en vacances…

¹ selon la terminologie du ministère de l’intérieur, “le total des crimes et délits“

ECO431, Maths, Microeconomics

Théorème de l’enveloppe

28/08/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) $f(bold x,bold r)$ qui dépend de paramètres $bold r$ , i.e. on cherche

$f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),$

La fonction $f^*(bold r)$ est alors la fonction optimale pour les paramètres $bold r$ donnés. Soit $bold x^*(bold r)$ la valeur optimale en $bold x$ , fonction du paramètre $bold r$ , de telle sorte que

$f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)$

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment $f^*(bold r)$ varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =$

Autrement dit, la dérivée de $f^*(bold x,bold r)$ suivant $r i$ est donnée par la dérivée partielle de $f(bold x,bold r)$ suivant $r i$ , lorsqu’on l’évalue en $bold x =$ .

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

$max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0$

dont le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)$

où de manière classique $boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n})$ est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

$bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))$

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =$

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

$max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y<br /> ight)}uleft(mathbf{x}<br /> ight)$

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

$B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y<br /> ight}$

La solution est alors notée $mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y<br /> ight)$ (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)$

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

$frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i$ .

L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

$v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))$

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

$min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}$

La solution de ce programme d’optimisation $mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$ est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

$e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: $x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}$

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

$e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)$

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

$frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)$

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

$u'_i=frac{p_i}{lambda}$

Comme en $u(mathbf{x})=bar u$ , nous sommes à un optimum, on en déduit

$sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0$

et donc

$frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0$

et comme $lambda e 0$ c’est que la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

$e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y$
$v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u$
$x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]$
$x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]$

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

$frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}$

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible là.
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.

Games

Jeux noncoopératifs et assurance des catastrophes

28/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Présentation d’un papier (pas encore complètement fini) lors de la réunion AST&Risk à Grenoble¹, sur l’assurance des catastrophes naturelles. Les slides seront mis en ligne dès lors que le papier sera finalisé (encore quelques jours)…

En théorie de la décision, les agents prennent des décisions en fonction de leurs croyances, et de leur utilité. Un jeu est un cadre (formel) où les décisions des agents sont interdépendantes: la décision que je prends dépend de ce que font les autres. On parle alors de stratégie.
La notion d’équilibre dans les jeux à somme nulle découle du théorème minimax de John von Neumann (en 1926). Mais c’est John Nash qui a proposé la notion la plus générale en 1950 (je l’avais mentionné ici). Ce résultat est fondamentalement un théorème de point fixe. Pour comprendre la notion d’équilibre de Nash, prenons l’exemple suivant (que j’ai trouvé ici): considérons un jeu avec deux joueurs (A et B) qui doivent choisir entre deux stratégies S1 et S2. Les gains des 2 joueurs (connus) sont représentés dans le tableau suivant sous la forme (Gain de A ; Gain de B).

On se demande simplement comment les agents doivent prendre une décision. Pour résoudre ce problème, on étudie toutes les stratégies possibles

est-ce que (S1 ; S1) est une situation stable ? Non, car le joueur A aura plutôt intérêt à choisir S2 (afin d’augmenter son gain de 3 à 4), tandis que le joueur B voudra dévier en S2 (pour avoir un gain de 4 plutôt que de 3). Bref, les deux joueurs chercheront à dévier: ce n’est pas un équilibre.
en (S1 ; S2), A aura intérêt à choisir la stratégie S2 afin de faire passer son gain de 0 à 1. B n’a pas intérêt à dévier dans cette situation. Si l’un des agents a intérêt à dévier, on se doute qu’on ne restera pas sur cette stratégie: ce n’est pas un équilibre.
en (S2 ; S1), A n’a pas intérêt à dévier, mais B va préférer la stratégie S2 qui lui donne un gain de 2 plutôt que de 1.
en (S2 ; S2), aucun des joueurs n’a intérêt à dévier, il s’agit d’un Équilibre de Nash. Aucun des joueurs ne peut faire mieux en modifiant unilatéralement sa stratégie.

On parle de jeux non-coopératif car les décisions sont prises unilatéralement. On peut alors schématiquement représenter ces déviations sur le schéma suivant

Notons également que l’on a un équilibre de Nash, mais aucunement une situation optimale: les joueurs gagnent respectivement 1 et 2, alors qu’ils pourraient gagner 3 (tous les deux) avec la stratégie (S1 ; S1)

¹ Le groupe organise d’ailleurs un workshop Modélisation spatiale et temporelle de la dépendance & Applications au risque, qui se tiendra à Luminy du 26 au 30 avril 2010, ici.

ECO431, Maths, Microeconomics

Economie, et optimisation sous contraintes

26/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible ici, avec au programme la consommation des ménages. Je mets ici les exos de la prochaine PC (et là une autre feuille d’exercices – que nous ne traiterons pas).

Petit complément sur la résolution du programme d’optimisation avec contrainte, via le Lagrangien. Comme je l’ai évoqué (très) rapidement, c’est lié à des résultats connus sous le nom de théorème (ou condition) de Kuhn et Tucker. De manière assez générale, le but est de trouver $X^* in mathbb{R}^n$ qui maximise $f(X) ,$ sous contrainte $g(X) ge 0$ , c’est-à-dire résoudre le programme
$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous contrainte $g(X) ge 0$ où $g(X)=(g_i(X))_{1 le i le m}$ (correspondant à un ensemble de m contraintes).

Comme précisé en cours, l’idée de la résolution du problème (sous des hypothèses – fortes – de concavité des fonctions) est d’introduire des multiplicateurs de Lagrange (autant que de contraintes) $lambda = (lambda_i)_{1 le i le m} in mathbb{R}_+^m$ , et on définit le Lagrangien comme la fonction

$L(X, lambda) = f(X) + sum_{i=1}^m lambda_i g_i(X)$

On considère alors le problème d’optimisation (sans contrainte) du Lagrangien. Les conditions du premier ordre donne n premières conditions, à savoir

$frac{partial f}{partial X}(X) + sum_{i=1}^m lambda_i frac{partial g_i}{partial X}(X)=0$

et les m dernières correspondent à une saturation des contraintes (en fait $g_i(X)>0 Rightarrow lambda_i = 0$ , donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “conditions de Kuhn-Tucker“. L’intérêt de cette formalisation est que l’on a le résultat suivant:

$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous les contraintes $g(X) ge 0$ si et seulement si $(X^*, lambda^*) ,$ est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Pour plus plus d’information, je peux renvoyer aux slides de Christophe Gonzales àParis 6, ici, ou aux notes de Julien Grenet, de l’ENS, là. Sinon j’avais fait un billet il y a quelque temps sur un sujet connexe (et qu’on verra apparaître dans les cours suivants normalement), i.e. le principe de dualité en optimisation (ici).

Conferences

Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance

25/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Réjouissons nous un peu, le programme des Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance, qui seront organisées à Rennes dans un peu moins de deux mois, est enfin fixé (et se trouve ici pour plus de détails) !
Jeudi matin, le 22 octobre, on commence par deux exposés sur le provisionnement et le risk-management, avec Emmanuuel Pierron du Group Risk Management d’AXA, et Klaus Schmidt de l’université de Dresde. Emmanuel parlera du calcul des provisions dans une optique Solvabilité II et Klaus de l’utilisation du modèle linéaire en provisionnement.
Ensuite, un exposé un peu transversal de Georges Dionne, de HEC Montréal, qui parlera d’économétrie de panels et d’aléa moral.
L’après midi, on attaquera avec 3 interventions sur les grands risques, avec Emmanuel Dubreuil de AON Benfield, puis Nicolas Treich de Toulouse et enfin Robert Kast de Montpellier. Emmanuel reviendra sur la titrisation des grands risques, Nicolas sur l’auto-assurance, et Robert sur la modélisation des catastrophes naturelles.
Le lendemain, le vendredi 23, on commence avec deux exposés sur l’assurance-vie et les risques de longévité/mortalité, avec Olivier Cabrignac de la SCOR et Stéphane Loisel de l’ISFA. Olivier reviendra sur l’assurabilité du risque de longévité, et Stéphane sur la modélisation de ces risques.
Ensuite, 3 interventions sont prévues autour de l’économie de l’assurance, de l’antisélection et de l’aléa moral. On commencera (avant d’aller manger) avec Pierre Picard, de l’Ecole Polytechnique, puis l’après midi, avec Renaud Legal de la Caisse d’Assurance Maladie, et enfin Pierre-Yves Geoffard de PSE. Pierre parlera des contrats avec participations, Renaud reviendra sur l’aléa moral et l’antisélection en assurance santé, et enfin Pierre-Yves conclura avec une application économétrique.
Bref, le programme est fixé, seuls les noms de présidents de session sont encore à finaliser…
Sinon je rappelle que l’inscription est certes gratuite, mais obligatoire, et elle se fait ici.

Maths, Probability

Paradoxe et enseignement des probabilités

24/08/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

L’été semble être propice aux billets sur les paradoxes et autres bizarreries intellectuelles (je renvoie par exemple au très bon billet de Laurent, ici). Je vais en rajouter une couche (j’avais déjà parlé du paradoxe des enveloppes, ici ou de Simpson, là). En fait, je voulais revenir sur un paradoxe que j’avais lu en Terminale (à l’époque il y avait une introduction aux probabilités). J’y repense car je suis en train de finir de préparer mon cours de rappels de probabilité, et je cherche des exercices “simples” évitant toute ambiguité afin d’être un peu éclairant… pas comme ici….

Lançons trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que les 3 pièces tombent du même côté (peu importe lequel) ?

Réponse 1: facile, faisons un peu de dénombrement, il y a 8 cas possibles (PPP, FPP, PFP, PPF, FFP, FPF, PFF, FFF), qui sont équiprobables, et seuls deux nous intéressent (FFF et PPP), on a alors 1 chance sur 4.

Réponse 2: facile, raisonnons deux minutes et essayons de trouver une réponse élégante. Comme j’ai 3 pièces pour seulement deux faces, il y en a forcément deux qui sont tombées du même côté, et pour la troisième, il me reste une chance sur deux, et la réponse est alors 1 chance sur 2.

“Etonnant, non?“.

Bon, c’est un exemple assez classique en théorie des probabilités, je laisse aux lecteurs le temps de la réflexion…. le but étant de montrer qu’il y a une faute dans le raisonnement de la personne ayant donné la seconde réponse… Oui, c’est toute la difficulté des TD de probas: comment expliquer qu’un raisonnement qui semble juste est falacieux…

Academe

Pourboire, des vacances à la rentrée

15/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Oui, les vacances ça a du bon…

Comme on se ballade et comme il fait chaud, on traine davantage dans les bars…. Et à chaque fois ce pose la question du pourboire.

POURBOIRE, subst. masc.

Étymol. et Hist. 1760 (Comptes de la duchesse de Mazarin ds R. rétrospective, t. 16, 1892, p. 410). Subst. de la prop. inf. pour boire (de pour* et de boire¹*) att. à partir du xvii^e s. (1662, Molière, École des femmes, IV, 4, éd. E. Despois, t. 3, p. 239 : voilà pour boire).

Je dois reconnaître que la pratique me surprend… Dans certains pays, on nous explique que les serveurs sont payés au pourboire, et donc on rajoute 10%, 15% ou 20% de l’addition, et ce “salaire” me paraît alors justifié.. mais en France ? Certains auteurs en économie ont tenté de justifier le principe (ici par exemple, ou encore là pour un survey) par un mécanisme incitatif, pour les serveurs, mais sur le fond, je dois avouer que j’ai du mal à comprendre la justification (ou alors si c’était justifié, pourquoi ne pas généraliser alors). Peut-être devrais-je aussi laisser un petit bol sur mon bureau, lorsque je fais cours, pour que les élèves me versent un pourboire (ou un “pourapprendre“) si le cours était bien ? C’est un peu comme Pierre Desproges qui s’interrogeait sur la pratique du “rappel” dans les spectacles.
D’un autre côté, cette pratique du pourboire dans l’enseignement peut se retrouver évoquée par exemple chez Éric Maurin (ici) dans Université, un autre financement est possible, qui mentionnait l’idée suivante “Il s’agirait de faire contribuer, non pas les étudiants à l’orée de leur scolarité universitaire, mais les anciens étudiants, une fois qu’ils sont devenus diplômés du supérieur et qu’ils se trouvent dans une période de leur vie professionnelle où le remboursement progressif de leurs études ne leur pose plus de problèmes financiers”. Envisager d’augmenter le nombre de prêts étudiants peut être dangereux, en particulier si les étudiants ne trouvent pas de travail à l’issu de la formation. En revanche, et c’est ce que j’avais entendu dans une interview d’Éric Maurin, on peut penser à un système où les frais d’inscriptions restent modestes, mais que les anciens soient davantage sollicités (via des donations). Cela permet en plus de motiver le corps enseignant qui se doit de dispenser une bonne formation, et de contourner (plus ou moins) l’effet taille¹. Bref, on retrouve l’idée du pourboire…. non ?

¹ la critique habituelle étant que les salaires des très grandes écoles sont bien plus élevés que ceux des élèves issus des universités; les très grands écoles forment un tout petit nombre d’étudiants par rapport aux universités. Dans ce dernier cas, les pourboires par tête seraient faibles, mais les universités bénéficient d’un effet de masse (compte tennu du nombre important d’étudiants).

Statistics

Compter les burkas (ou tant d’autres choses)

07/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Plusieurs journaux ont repris une information que j’avais entendu sur la route, en écoutant France Info (pour être honnête, seul l’état du trafic m’intéressait alors¹), que l’on peut retrouver à droite par exemple.
Au delà des félicitations qui s’imposent (pour cet estimation d’un taux de l’ordre de 0,000564% de la population française portant une burka, car malgré la forme utilisée, il s’agit d’une “estimation” et pas du résultat d’un recensement exhaustif), ce comptage des burkas m’a rappelé les jeux que j’ai fais un peu avec ma fille pendant les vacances, à savoir le comptage des princesses ou des baguettes de fée² (ou de plein d’autres choses sur une thématique relativement proche),

A un moment, elle m’avait fait une réflexion très judicieuse suite à un de mes navrants “c’est dur, hein ?” (car je peinais à trouver la troisième fée qui, pour ma défense, était un peu cachée derrière un jolie fleur). Elle m’avait alors répondu “oui, mais ça serait plus dur si l’image bougeait !”. Et effectivement, ça serait beaucoup plus dur… Fort heureusement, Christian Genest (qui est beaucoup plus fort que moi, et dont les enfants sont aussi plus âgés) a proposé une jolie application de “comptage de choses qui bougent” à savoir le comptage des cerfs dans un bois³, ici. Il s’agit d’un superbe article de vulgarisation scientifique, en particulier sur l’utilisation du bootstrap…
¹ France Info est une radio truculente pour ceux qui cherchent des idées pour alimenter leur blog…

J’ai, par exemple, beaucoup aimé apprendre – le lundi 3 août je crois – qu’un chauffeur de car qui avait eu un accident “avait un taux d’alcool dans le sang négatif lors du drame”. J’ai pensé à une confusion entre le taux et le test associé (le test pouvait être “négatif”, je renvoie à la terminologie de la théorie de la décision que j’avais évoquée ici oulà). Mais peut-être me goure-je, et la valeur nulle est une simple référence standard, une valeur “moyenne” de taux d’alcool (c’est à dire de C₂H₅OH) dans le sang. Mais en l’occurrence j’ai des doutes… Sur ce dernier point d’ailleurs, toujours à propos de France Info, je note que Jacques Kessler – qui avec son délicieux accent nous donne les prévisions météo – entretient sciemment une vague confusion entre “températures normales” et”températures moyennes”: la norme serait alors d’être dans la moyenne ? C’est une idée que l’on retrouvait chez Adolphe Quételet dans sa théorie de l’homme “moyen”. Mais là aussi, je pense qu’un billet plus qu’une note de bas de page serait le bienvenu. En attendant, je peux toujours renvoyer ici ou là.
² tout comme mon voisin Laurent qui s’était senti obligé de rétablir l’équilibre, ou tout du moins une certaine parité, dans son blog (ici), je vais parler un peu de ma fille après avoir parlé de mon fils il y a quelques mois maintenant (ici).
³ j’aurais pu me contenter de cet histoire dans mon blog car sur les conseils de leur grand-père, les enfants ont espéré voir des biches au bout du jardin pendant la première semaine de vacances, mais malgré notre vigilence, on n’en a jamais vu. Faire des statistiques sans observations est un problème délicat.

Readings

De la rationalité et de l’esprit calculateur

23/07/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Sinon un cours billet qui m’a été suggéré ce matin, en écoutant un sportif s’exprimer sur les ondes radios. Quand on parle (dans un papier ou dans un cours) de modélisation du comportement des agents dans des sitations complexes (je pense à de la théorie de la décision dans un environnement incertain, ou de théorie des jeux dynamique), une critique récurrente est que les agents ne peuvent pas être aussi rationnels et calculateurs !

J’ai été très surpris ce matin en entendant ce coureur du tour de France (ou cet entraineur je ne sais plus) qui expliquait avec une certaine forme de détachement qu’il serait possible de grapiller quelques seconde aujourd’hui, mais que ce n’était pas la stratégie car le parcours ne s’y prêtait pas, etc… Cette importance de la stratégie avait été souligné il y a quelque jours avec l’histoire des oreillettes, qui permettaient aux coureurs et aux entraîneurs d’élaborer leur stratégie en temps réel.
Avant-hier soir, j’ai fini un très beau livre “le tour des géants” de Nicolas Debon (chez Dargaud, en vente chez tous les bons libraires, ici, par exemple). A priori je n’ai aucune attirance pour le vélo, mais Nicolas s’en sert de prétexte pour raconter une histoire profondément humaine (exactement comme Jirö Taniguchi dans le sommet des dieux qui raconte une histoire de dépassement de soi, comme le tour des géants, d’ailleurs, sur fond d’alpinisme). En fait, pour ceux qui préfère plus de mots et moins de dessins, cette histoire peut être vue comme la mise en image du récit d’Albert Londres sur le Tour de France*.
Quand on compare avec le tour actuel, ce matin le coureur parlait de “repérages” d’étapes la veille… en 1910, la ville de départ et la ville d’arrivée étaient connues, et entre les deux, il fallait trouver son chemin (avec des épisodes de panneaux intervertis, etc). A côté, les coureurs surmédicalisés actuelement (pour prendre un terme plus neutre) passent pour des enfants de coeur ! Et surtout, ils sont incroyablement calculateurs et rationnels aujourd’hui (un peu comme les élèves qui optimisent leur choix de cours voire leur présence en TD en fonction des notes passées).
Loin de moi l’idée de faire du “c’était mieux avant” mais c’est juste que la comparaison est troublante….

L’idée était surtout d’argumenter un peu sur le fait qu’il n’est pas illégitime de supposer les agents rationnels et très calculateurs !
* la série de reportages a été publiée sous le titre tour de France, tour de souffrance et retrace le tour de France de 1924, alors que Nicolas Debon se situe un peu plus tôt, en 1910. Pour information, en 1910, il y avait 15 étapes pour 4 737 kilomètres, en 1924 15 étapes pour 5 425 kilomètres, et en 2008 (l’an dernier) 21 étapes pour une longueur totale de 3 559,5 kilomètres. En 1910, la vitesse moyenne du vainquer a été de 28,680 km/h, 24,250 km/h en 1924, et en 2008 on était à 40,492 kms/h. Bref, un tour avec des étapes très rapides, alors qu’en 1910, ça courait encore la nuit !

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