Et je dis ça d’autant plus sereinement que j’ai travaillé un temps en salle de marche, que j’ai pas mal d’anciens élèves qui y sont, ainsi que la majorité de mes copains de promo…

On a beaucoup lu sur les cracks en maths qui partaient faire de la finance. Je ne pense pas qu’il y ait besoin d’être un crack en maths pour aller jouer en salle de marche (comme je l’ai dit à plusieurs reprises ici ou là, pas mal de problème de finance sont des problèmes de buveurs d’alcool qui ont du mal à rentrer chez eux), mais c’est vrai que lors des entretiens d’embauche, il n’est pas rare de mettre des petits exos de maths. Le but est surtout de se faire une idée sur la manière dont les candidats résolvent un problème, et de vérifier que les candidats peuvent faire preuve d’un peu de logique (cela dit, j’ai fait la même chose lorsque j’ai recruté un collègue lorsque je travaillais à Hong Kong dans une compagnie d’assurance).
J’y pensais l’autre jour en lisant chasseur de tête (Hodejegerne en vo) de Jo Nesbø (sans l’inspecteur Harry Hole), où un des personnages demandait

En fait, la réponse proposée est fausse, ou partiellement fausse… Et si je le sais c’est parce qu’il y a quelques mois, je discutais avec un ancien élève qui me racontait qu’il posait la même question lors des entretiens d’embauche (ou de stages). Plus précisément, ça commence calmement…
« donnez nous deux nombres premiers qui soient deux nombres impairs consécutifs »
Effectivement, pour l’instant, ce n’est pas trop dur… on peut penser à 3 et 5, ou 5 et 7, 11 et 13, ou encore 17 et 19. Les plus tordus penseront à 31721 et 31723, voire 49919 et 49921. Bref, cette propriété est assez commune chez les nombres premiers, donc c’est facile…
« donnez nous trois nombres premiers qui soient trois nombres impairs consécutifs »
Si on a pensé à 3 et 5 avant, on pensera naturellement à 3, 5 et 7… Et ça marche… Mais ensuite vient la question plus vicieuse…
« pourriez-vous en trouver trois autres »
plus dur déjà… Un indice ? Comme c’est un entretien d’embauche dans une banque (et pas un exercice d’agrégation de mathématiques), soit il y a une réponse simple… soit la réponse est que ça n’est pas possible….
Et effectivement, ça n’est pas possible. Car si on prend trois nombres impairs consécutifs, il y en a toujours un qui est un multiple de 3. Formellement, on a retenu n, n+2 et n+4
Si les deux premiers (n et n+2) sont premiers, alors n=3k-1 et n+2=3k+1. Et donc n+4=3k+3=3(k+1) qui est un multiple de trois…
Si les deux derniers (n+2 et n+4) sont premiers, alors n+2=3k-1 et n+4=3k+1. Et donc n=3k-3=3(k-1) qui est un multiple de trois…
Enfin, si le premier et le dernier sont premiers, alors n=3k-2 et n+4=3k+2. Et donc n+2=3k qui est un multiple de trois… Donc la seule solution est que le multiple de 3 qui doit apparaître soit précisément 3. Donc la solution unique est 3, 5 et 7.
Je sais pas vous… mais moi ça me laisse un petit goût de pas-fini… On aurait envie d’aller plus loin, genre
« donnez nous n nombres premiers qui soient nombres consécutifs, en comptant de p en p »
en notant que, pour l’instant, on a regardé (uniquement) le cas où n vaut 3, et p vaut 2. Et il y a peut-être un résultat plus général derrière, non ?
Comme me l’a fait note Jürgen, la question un peu mieux formulée (en termes mathématiques) serait
« donnez nous une progression arithmétique de longueur n et de raison p formée de nombres premiers »
Intuitivement, on se doute qu’il faut regarder si n et p sont premiers entre eux (car c’est dans ce cas que la réponse risque de ne pas exister) et c’est ce que m’a confirme Agnès. En fait
- dans le cas où n et p sont premiers entre eux
si n n’est pas premier, alors il n’y a aucune solution. Par exemple (n,p)=(4,2).
En revanche, si n est premier, alors il n’y a qu’un nombre fini de solution (qui peut être nul, ou 1 comme dans la question initiale). L’idée est que le premier terme est à chercher dans l’ensemble des entiers
En particulier, n doit être un des termes de la progression.
Par exemple, si (n,p)=(3,2) il y a une seule solution (3,5,7) alors que pour (n,p)=(5,2) il n’y a pas de solution.Et si (n,p)=(5,6) il y a une seule solution avec (5, 11, 17, 23, 29).
- dans le cas où n et p ne sont pas premiers entre eux
Dans ce cas, la question doit être difficile (toujours selon Agnès), et on conjecture qu’il y a un nombre infini de solutions. Je ne sais pas si ça aide, car je ne sais pas si cet infini est grand ou pas… au sens où il faudrait peut être attendre un temps long infiniment long pour avant de tomber sur une telle suite…
En fait, Jürgen me suggérait de regarder un article de Green et Tao (ici) qui ont montré qu’il existe une infinité de progressions arithmétiques (formées de premiers) de longueur arbitraire. Plus précisément, on conjecture que le nombre de progressions de longueur n et de raison p (formées de nombres premiers) dans l’ensemble des nombres entiers de 1 à m serait de l’ordre de m/log(m)^n. Pour rappel, le théorème des nombres premiers dit qu’il y a m/log(m) nombres premiers entre 1 et m (Hadamard, La Vallée Poussin, 1896, ici).
Intéressant problème, non ? En tous les cas, au moins pour repérer des nerds… pour embaucher des gens qui pourront éviter d’acheter ou de vendre n’importe quoi, je ne sais pas trop le rapport…
Cela dit, pour ceux que ces problèmes amusent, un conteur dans le Lot nous a posé une question que je ne serais pas surpris de voir réapparaître dans les entretiens d’embauche, « Dans un lointain pays, un roi souhaite commander plusieurs bagues en or parfaitement identiques a 10 joailliers (et il peut en demander autant qu’il le souhaite à chacun) de 10 grammes chacune . Si 9 sont parfaitement honnêtes, 1 d’entre eux ne peut s’empêcher d’enlever 1 gramme d’or à chacune des bagues qu’il fabrique… Mais le roi ne sait pas lequel. Comment peut-il le démasquer en faisant une unique pesée..? ».
Avis aux amateurs…
En fait, comme il peut demander autant qu’il le souhaite, il demande 1 bague au premier joaillier, 2 au second, 3 au troisième, …., 10 au dernier. Il pèse alors toutes les bagues ensemble. Si tous étaient honnêtes, il y aurait 550 grammes. Le nombre de grammes qu’il manque dit quel joaillier a triché. S’il manque 3 grammes, c’est que 3 bagues sont trop légères, et c’est donc le troisième joaillier qui a triché.











(correspondant à l’apport), on contracte un crédit pour une durée
, et on suppose que le taux pour le crédit est
, et que le taux d’inflation est
(la valeur de la maison peut augmenter dans le temps, mais aussi éventuellement baisser si la valeur de
, à son actif, le propriétaire possède la maison, d’une valeur
(ce qu’il touche s’il revend la maison, si l’on oublie les frais associés); et au passif, il doit rembourser à la banque un montant
, où
est le montant des remboursement effectues tous les ans, i.e. solution de
,









qui donne la distribution “typique” des notes. Autrement dit, la médiane est à 63,ce qui signifie que plus de moitie a une note qui est “bien“,”très bien” voire “excellent“. En revanche, une distribution comme celle dessous est considérée comme “dure et discriminatoire”
Pour mieux comprendre les notations au Canada et en France, j’ai voulu faire une petite étude (non, je ne reviendrai pas sur les notes). On continue aujourd’hui àtrouver ce genre de distribution à Montréal. Par exemple, si on considère les cours, analyse (en première année), algèbre linéaire et calcul, on a les histogrammes suivants









La loi de Benford (que j’avais pu évoquer 







puis on veut voir si l’autre indique le même pneu (s’il ment, il a alors une chance sur quatre de donner le même que son voisin). Cette intuition que la probabilité serait 1/16 est alors un peu surprenante. Cela correspondrait au cas où le professeur sait quel pneu avait éclaté, mais pas les étudiants (on retrouve le mythe que l’enseignant sait toujours tout). Ou au cas où trois étudiants étaient dans la voiture et que l’on demande que les trois répondent la même chose.
(histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime
.
, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).
la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons
la valeur prédite. On gagne si
, et la probabilité de gagner est alors




. Considérons le polynôme
, dont les racines sont
et
, i.e sur
,


lancers, on a un échantillon
et on estime la probabilité de tomber sur pile par
(qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit

, et la probabilité de gagner est alors

(comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est








est la proba annuelle d’incident par an et par réacteur, en supposant les centrales indépendantes, la probabilité d’avoir un incident sur
réacteurs sur une durée de
années est


Hier matin, au moment de quitter la maison, j’ai jeté un œil à la météo (car à Montréal le temps est très changeant, pas seulement d’un jour sur l’autre, comme je l’avis mentionné en arrivant en septembre, 
la variable indicatrice indiquant s’il pleut, ou pas (1 s’il pleut, et 0 sinon) à l’instant
. Supposons qu’il existe un processus latent sous-jacent,
tel que

qui peut encore s’écrire
ou, ce qui sera pleut être plus utile ensuite
Avec notre modèle latent, cette probabilité peut s’écrire
c’est à dire en notant
la fonction de répartition (jointe) du vecteur aléatoire
cette probabilité s’écrit
Or Wassily Hoeffding a montré qu’il était possible d’encadrer une fonction de répartition, avec les bornes suivantes: pour tout 


où 

(qui est associée à la probabilité d’avoir de la pluie pendant une heure en moyenne) et de la corrélation
(qui est associée à la dynamique du processus). Pour simplifier, si on prend 






de services possibles. A son premier service, il choisit le service
. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note
la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera
. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,
petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée (
donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors
.
, avec une fonction croissante pour
, puis décroissante pour
.
correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie
donnée, est alors
donné


.


s’interprète comme
, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente
, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),
Suite à mon 








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